h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Boek III, propositie 10.
       

Twee cirkels hebben hoogstens twee snijpunten.

       
Stel dat twee cirkels drie snijpunten P, Q en R hebben.
Telken PQ en QR.
Teken de middens M en N daarvan (I-10).
Teken de rode lijnen door M en N loodrecht op PQ en QR.  (I-11).

In de groene cirkel snijdt lijn AB de koorde PQ loodrecht doormidden, dus moet het middelpunt van de groene cirkel op AB liggen  (gevolg van III-1).

In dezelfde groene cirkel snijdt lijn DC de koorde QR loodrecht doormidden, dus moet het middelpunt van de groene cirkel op DC liggen (gevolg van III-1).

Het middelpunt van de groene cirkel is dus het snijpunt van AB en CD.

Op precies dezelfde manier is het middelpunt van de blauwe cirkel ook het snijpunt van AB en CD.

Maar twee cirkels die elkaar snijden kunnen niet hetzelfde middelpunt hebben
(III-5)

Dus twee cirkels hebben hoogstens twee snijpunten.

       
 
       
Muggenzifterij:
  Eigenlijk zou het beter zijn om te zeggen dat twee cirkels hoogstens twee gemeenschappelijke punten hebben, want de punten hoeven geen snijpunten te zijn: het kunnen ook punten zijn waar de cirkels elkaar raken.
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)