h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Boek III, propositie 1.
       

Het middelpunt van een cirkel construeren.

       
Teken een willekeurige lijn AB door de cirkel.
Teken het midden C van AB.  (I-10)
Teken een lijn door C loodrecht op AB,   (I-11)
en snij die met de cirkel,  dat geeft de punten D en E.

Teken het midden M van DE.   (I-10)






M is ook het middelpunt van de cirkel, want:

       
Stel dat een ander punt N het middelpunt van de cirkel is.

AC = BC
NC = NC
AN = BN (beiden straal van de cirkel)
Dus de driehoeken ACN en BCN zijn congruent  (ZZZ)   (I-8)

Dus de hoeken ACN en BCN zijn gelijk
Ze zijn samen 180 dus elk is 90   (D10)
Maar dan zijn NCB en MCB beiden 90 en dan is het grotere gelijk aan het kleinere.
Dat kan niet, dus N is niet het middelpunt van de cirkel.

       
Gevolg:
Als binnen een cirkel een lijn een andere lijn  m  loodrecht snijdt en in twee gelijke delen verdeelt, dan ligt het middelpunt van de cirkel op die lijn l.
       
 
       
Muggenzifterij:
Hoe weet je dat de loodlijn op AB vanaf C de cirkel inderdaad snijdt?
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)