productregel


De productregel.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Stel dat je een functie hebt die is opgebouwd uit twee andere functies met elkaar vermenigvuldigd. Dan weet je nog niet hoe je daar de afgeleide van kunt maken. Je kunt het al wel door haakjes weg te werken: f(x) = (x² + 5) • (x⁵ + 2x) is een makkie intussen. Verder kun je het ook al door machten samen te nemen: f(x) = 2x•√x daar lig je natuurlijk ook niet meer wakker van.

Maar hoe is het met f(x) = x • √(x + 3) ?????????

In het algemeen: y = y₁ • y₂ waarbij je niet kunt samennemen of haakjes wegwerken?
Zo'n functie y die ontstaat door twee andere functies met elkaar te vermenigvuldigen heet een productfunctie.

We gaan weer de methode van het "punt-vlak-ernaast" gebruiken.
Stel dat tussen punt P en punt Q (afstand dx van elkaar, met dx zo klein mogelijk: hoe kleiner hoe beter!!) de functie y₁ toeneemt met dy₁ en de functie y₂ met dy₂. Hoe zit het dan met de toename van de productfunctie y?
In punt P is y_P = y₁ • y₂
In punt Q zijn die y₁ en y₂ toegenomen, dus is y_Q = (y₁ + dy₁)(y₂ + dy₂)
Werk de haakjes weg: y_Q = y₁• y₂ + y₁• dy₂ + dy₁• y₂ + dy₁ • dy₂
Omdat y_P = y₁ y₂ is de toename van y gelijk aan dy = y₁• dy₂ + dy₁• y₂ + dy₁• dy₂
Maar als je dx heel heel heel heel heel klein kiest, dan is dy dat ook.
Dan kun je dat laatste stukje dy₁• dy₂ verwaarlozen ten opzichte van die andere twee. Kijk maar:

neem bijvoorbeeld y₁ = 5 en y₂ = 8 en dy₁ = 0,00001 en dy₂ = 0,00006
Dan is y_Q = (5 + 0,00001)(8 + 0,00006) = 5 • 8 + 5 • 0,00006 + 0,00001 • 8 + 0,00001 • 0,00006
En omdat y_P = 5 • 8 is dy = 5 • 0,00006 + 0,00001 • 8 + 0,00001 • 0,00006
Die eerste twee stukken zijn al klein, maar dat derde stuk is nog veeeeeeel kleiner.

Dus dy ≈ y₁• dy₂ + dy₁• y₂
Om de afgeleide van y te krijgen moeten we dat delen door dx:

Het volgende plaatje geeft aardig weer wat er bij die productregel nou precies gebeurt:

De hele rechthoek heeft oppervlakte (y₁+ dy₁)(y₂ + dy₂) dus dat is y_Q.

Dat felgroene grootste stuk is y₁ ×y₂ en dat is y_P

Het verschil is die beide randstukken, waarmee we dat kleine vierkantje daar helemaal onder in de hoek verwaarlozen. Bedenk dat dy₁ en dy₂zo klein mogelijk zijn.

Zo klein als je maar wilt....

Dan is inderdaad dy ≈ y₁• dy₂ + dy₁• y₂
en dus is y' = y₁ × y₂' + y₂ × y₁' (alles door dx delen)

Deze regel heet de productregel.
Als we y₁ functie f noemen en y₂ functie g dan geeft dat:

(f • g)' = f ' • g + f • g '

Ik geef het toe.
Dit was een beetje "aannemelijkmakerij"
Een wat formeler bewijs kun je hiernaast vinden........

Voorbeeld 1: Bereken de afgeleide van y = (x² + 2x) • (4x³ + 3)
Daar staat f • g met f(x) = x² + 2x en g(x) = 4x³ + 3
De productregel toepassen:

Voorbeeld 2: Bereken de afgeleide van y = √x • (2x⁴ + 5x)
Daar staat f • g met f(x) = √x = x^0,5 en g(x) = 2x⁴ + 5x
De productregel toepassen:

Denk om de kettingregel!

Tijdens het toepassen van de productregel kun je de kettingregel nodig hebben, namelijk om die f ' of g' te berekenen.
Neem bijvoorbeeld de functie y = (x² + 5x) • √(6 + 5x³)
Daar staat y = f • g met f(x) = x² + 5x en g(x) = √(6 + 5x³) = (6 + 5x³)^0,5
Als je nu de productregel toepast moet je er wel om denken dat g een kettingfunctie is (er staat eigenlijk [ ]^0,5)
De afgeleide wordt daarom:

Waarbij die laatste 15x²dus de afgeleide is van 6 + 5x³

OPGAVEN

Bereken met de productregel de afgeleide van de volgende functies:

f(x) = x • √(x + 1)

f(x) = x² • (√x - x + 6)

f(x) = (x⁶ - 2x) • (4x³ - 8x²)

y = (x³ + 4x) • ¹/_{(x - 1)}

y = (x + 1)³ • x²

y = (2x - 3)⁴ • (1 - x)

y = (x + 3x² ) • √x

y = √(1 - x) • (x³ - x)

De vragen b) en d) en e) hierboven kun je ook vrij eenvoudig zonder de productregel uitrekenen.
Doe dat en controleer of de antwoorden met en zonder de productregel gelijk zijn.

Gegeven is de functie f(x) = √(3 - x)
Op de grafiek van f ligt punt P met x_P = p en p > 0

Druk de lengte van OP uit in p.

Bereken voor welke p de afstand OP minimaal is.

p = -0,5

Q is de projectie van P op de x-as, dus Q = (p,0)

Maak een formule voor de oppervlakte van driehoek OPQ, en bereken daarna de maximale oppervlakte.

O = 1

De grafiek van y = x • √(5 - x) ziet er uit als hiernaast.

Bereken algebraïsch de x- coördinaat van de top van deze grafiek.

x = 3¹/₃

Van een velletje karton van 40 bij 60 cm wordt de linker bovenpunt omgevouwen tot op de onderrand AB. Zie de figuur hiernaast. Stel AP = x
Voor de oppervlakte van driehoek APD die daardoor ontstaat geldt dan:

Toon aan dat deze formule juist is.

Bereken algebraïsch de maximale oppervlakte van driehoek APD. Geef je antwoord in 2 decimalen nauwkeurig.

153,96

Een gelijkbenige driehoek heeft omtrek 200, en de lengte van de basis is gelijk aan b
Dan geldt voor de oppervlakte O: O = 5b√(100 - b)

Toon aan dat deze formule juist is

Bereken algebraïsch de maximale oppervlakte van zo'n driehoek. Geef je antwoord in 2 decimalen nauwkeurig.

1924,50

Ik heb twee stukken schutting die loodrecht aan elkaar vastzitten omdat ze tegen een balk zijn gespijkerd. de lengtes zijn 3 meter en 4 meter.
Daarmee ga ik een stuk van mijn tuin afzetten zodat mijn kleine dochtertje daarin kan rondkruipen. Ik zet het stuk schutting in een hoek van het terras dat door twee loodrechte muren wordt begrensd. Hieronder staat een bovenaanzicht.

Kies de afstand x als in de figuur hierboven, en verwaarloos de dikte van de balk waartegen de schotten zijn vastgemaakt.
Voor de afgezette oppervlakte O geldt dan O(x) = 6 + ½x• √(25 - x²)

Toon aan dat deze formule juist is.

Bereken algebraïsch de maximale oppervlakte.

12,25

examenvraagstuk

Vers gezaagde planken krimpen in de eerste maanden nadat ze zijn gezaagd. Door de celstructuur van het hout vertoont het krimpproces in de lengte een ander beeld dan het krimpproces in de breedte. In onderstaande grafieken is te zien hoe de lengte en de breedte van een plank van 60 cm bij 60 cm in de loop van de tijd veranderen. De grafiek rechts is een rechte lijn. Na t dagen is de lengte gelijk aan L(t) en de breedte gelijk aan B(t).

Gedurende welke periode krimpt de plank in de lengterichting sneller dan in de breedterichting?

Op t = 0 is de plank vierkant van vorm. Op welk tijdstip is dat weer zo?

Op t = 90 zijn de afmetingen van de plank: 57,93 in de lengte richting en 57,88 in de breedterichting. De plank krimpt dan in de lengterichting met 0,0092 cm/dag, en in de breedterichting met 0,023 cm/dag.
O(t) is de oppervlakte in cm² van de plank op tijdstip t.

Bereken O'(t) op t = 90 in 1 decimaal nauwkeurig.

Mogelijke formules zijn B(t) = 60 - 0,023t en L(t) = 0,00016t² - 0,038t + 60

Op welk tijdstip vermindert de oppervlakte met een snelheid van 2 cm²/dag?