Het bewijs van de productregel.
       
We beginnen met de definitie van de afgeleide (die van dat "punt vlak ernaast", weet je nog?):
       

       
Bedenk daarbij steeds dat dx zo klein mogelijk moet zijn (het liefst nul, maar dat kan nog niet omdat er dan delen door nul staat)
met f g in plaats van f geeft dat:
       

       
Laten we een grapje uithalen:  we voegen bij in de teller   -f(x + dx) • g(x) +  f(x + dx) • g(x)  toe. Dat is samen toch nul.
       

       
Dat lijkt ter voorlopig niet makkelijker op te worden.
Maar we kunnen deze superbreuk nu in tweeën splitsen:  neem van de teller de eerste twee en de laatste twee termen samen.
Daar kun je f(x + dx)  en g(x)  buiten haakjes halen:
       

       
Dat is eenvoudig te herschrijven tot:
       

       
Nou, als je je bedenkt dat dx het liefst nul is, dan is f (x + dx) = f(x)  en dan staat daar  (fg)'  = f g'  + g • f '
En laat dat nou precies de productregel zijn.......