© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. f(x) =  x • √(x + 1)  = x • (x + 1)0,5
f ' = 1 • (x + 1)0,5 + x • 0,5 • (x + 1)-0,5
f ' = √(x + 1) + x/(2√(x + 1))
       
  b. f(x) = (x6 - 2x) • (4x3 - 8x2)
f ' =
(6x5 - 2)•(4x3 - 8x2) + (x6 - 2x) •(12x2 - 16x)
       
  c. y = (x + 1)3 • x2
y ' = 3(x + 1)2 • x2 + (x + 1)3 • 2x
       
  d. y = (x + 3x2 ) • √x
y ' = (1 + 6x) • √x + (x + 3x2) • 1/2√x
       
  e. f(x) = x2 • (√x - x + 6)
f ' = 2x(√x - x + 6) + x2 • (1/2√x - 1)
       
  f. y =  (x3 + 4x) • 1/(x - 1)
y ' = (3x2 + 4) • 1/(x - 1) + (x3 + 4x) • -1/(x - 1)2
       
  g. y = (2x - 3)4 • (1 - x)
y ' = 4(2x - 3)3 • 2 • (1 - x) + (2x - 3)4 • -1
       
  h. y =  √(1 - x) • (x3 - x)
y'  = 1/2√(1 - x) • -1 • (x3 - x) + √(1 - x) • (3x2 - 1)
       
2. b. f(x) = (x6 - 2x) • (4x3 - 8x2)  = 4x9 - 8x8 - 6x4 + 16x3
f ' = 36x8 - 64x7 - 24x3 + 48x2
       
  d. y = (x + 3x2 ) • √x  = x1,5 + 3x2,5
y' = 1,5x0,5 + 7,5x1,5
y ' = 1,5√x + 7,5xx
       
  e. f(x) = x2 • (√x - x + 6)  = x2,5 - x3 + 6x2
f ' = 2,5x1,5 - 3x2 + 12x
f
' = 2,5xx - 3x2 + 12x
       
3. a. Punt P heeft de coφrdinaten  (p, √(3 - p))
Pythagoras:   OP2 = p2 + (√(3 - p))2
OP2 = p2 + 3 - p
OP = √(p2 - p + 3)
       
  b. OP' =  0,5(p2 - p + 3)-0,5 • (2p - 1) = 0
2p - 1 = 0
p = 1/2
       
  c. O = 1/2 • OQ • QP = 1/2 • p • √(3 - p)
O ' = 1/2 • √(3 - p) + 1/2 p • 1/2√(3 - p) • -1 = 0
vermenigvuldig met √(3 - p): 
1/2 • (3 - p) - 1/4p  = 0
11/2 - 1/2p - 1/4p = 0
3/4p = 11/2
p = 2
O = 1/2 • 2 • √(3 - 2) = 1
       
4.  y = x • √(5 - x)
y ' = 1 • √(5 - x) + x • 1/2√(5 - x) • -1 = 0
vermenigvuldig met √(5 - x):
5 - x - 1/2x = 0
11/2x = 5
x = 31/3
       
5. a. Als AP = x dan is  PD = 40 - x
Pythagoras:  AD2 + x2 = (40 - x)2
AD2 = 1600 - 80x + x2 - x2
AD = √(1600 - 80x)
oppervlakte is  O = 1/2 • AP • AD = 1/2 • x • √(1600 - 80x)
       
  b. O ' = 0
1/2 • √(1600 - 80x) + 1/2x • 1/2√(1600 - 80x) • -80 = 0
vermenigvuldig met √(1600 - 80x):
1/2 • (1600 - 80x) + 1/4x • -80 = 0
800 - 40x - 20x = 0
60x = 800
x = 131/3
O = 1/2 • 131/3 • √(5331/3) ≈ 153,96
       
6. a. Als de basis b is, en de omtrek 200, dan zijn de andere zijden gelijk, aan 1/2(200 - b) = 100 - 1/2b
Teken de hoogtelijn h, dan geldt Pythagoras;
(1/2b)2 + h2 = (100 - 1/2b)2 
1/4b2 + h2 = 10000 - 100b + 1/4b2
h2 = 10000 - 100b
h
= √(10000 - 100b)
oppervlakte is  O = 1/2 • b• h = 1/2 • b • √(10000 - 100b)
O = 1/2 • b • √(100 • (100 - b))
O = 1/2b √100 • √(100 - b)
O = 5b • √(100 - b)
       
  b. O ' = 0
5 • √(100 - b) + 5b • 1/2√(100 - b) • -1 = 0
vermenigvuldig met √(100 - b):
5(100 - b) - 21/2b = 0
500 - 5b - 21/2b = 0
71/2b = 500
b = 662/3
O = 5 • 662/3 • √(331/3) ≈ 1924,50
       
7. a. Zie de figuur hiernaast.
DB = 5  (Pythagoras in DBC)

Pythagoras in ABD:  AD2 + x2 = 25
AD = √(25 - x2)

Oppervlakte O = 1/2 • AB • AD + 1/2 • 3 • 4
O1/2x • √(25 - x2) + 6

       
  b. O ' = 0
1/2 • √(25 - x2) + 1/2x • 1/2√(25 - x2) • -2x = 0
vermenigvuldig met √(25 - x2):
1/2(25 - x2) - 1/2x2  = 0
25 - 2x2 = 0
x= 121/2
x = √121/2

O = 1/2 • √121/2 • √121/2 + 6 = 121/4
       
8. a. Zie hiernaast.
Verplaats de lijn van B evenwijdig totdat hij de grafiek van L raakt.
Dat is ongeveer bij t = 47

Tussen t = 0 en t = 47 loopt de grafiek van L steiler omlaag dan die van B, dus krimpt de plank sneller
     
  b. De plank is weer vierkant als hij in de lengterichting evenveel is gekrompen als in de breedterichting.
Dat is bij het snijpunt  van B en L; ongeveer op t = 91
       
  c. O = L • B
O ' = L ' • B + L • B'
O ' = -0,0092 • 57,88 + 57,93 • -0,023 = -1,864  cm2/dag
 
       
  d. O = L • B = (0,00016t2 - 0,038t + 60) • (60 - 0,023t)
O ' = (0,00032t - 0,038) • (60 - 0,023t) + (0,00016t2 - 0,038t + 60) • -0,023
O ' = 0,0192t - 2,28 - 0,00000736t2 + 0,000874t - 0,000000368t2 + 0,000874t - 1,38
O ' = -0,000006992t2 + 0,020948t -3,66 = -2
-0,000006992t2 + 0,020948t -1,66 = 0
ABC-formule:  t = 81,46
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)