© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Primitiveren met een parameter.
Soms moet je een functie primitiveren terwijl er nog een onbekende p in staat.
Wat te doen in zo'n geval?
Nou dat is heel simpel:
Gewoon doen alsof je neus bloedt!

Dat wil zeggen: doe net alsof je niet door hebt dat daar nog zo'n vervelende parameter staat en begin gewoon de som op te lossen. Doe maar alsof die p gewoon een getal is.
Twee voorbeelden zullen een boel verduidelijken:

1.  p in de grenzen.
Gegeven is de functie  f(x) = 4x + 20 - x2
De oppervlakte van het vlakdeel V onder de grafiek van f  tussen de y-as en 
de lijn x = p  (0 < p <  6)  is gelijk aan  60.  Bereken p in twee decimalen nauwkeurig.

Als we niet door hebben dat p een letter is, dan stellen we de volgende integraal op:

=  (2p2 + 20p -
1/2p3 )  - (0) =  2p2 + 20p - 1/2 p3
En daar moet 60 uitkomen:   2p2 + 20p - 1/2 p3  = 60
Y1 = 2X^2 + 20X - 0.5X^3  en  Y2 = 60 en dan intersect levert  p = 2,76
2. p in het functievoorschrift
Gegeven is de functie  f(x) = a + 3√x
De oppervlakte van het vlakdeel, ingesloten door de grafiek van f, de x-as en de lijnen x = 1 en x = 4 is gelijk aan 23.
Bereken algebraÔsch de waarde van  a.

Als we weer even niet opletten (onze neus bloedt immers?) dan gaan we gewoon integreren:

= (4a +
16) - (a + 2)  = 3a + 14
Dat moet gelijk zijn aan  23, dus a = 3

   
   OPGAVEN
1. V is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafiek van f(x) = x2  en de lijn y = 6 - x.
De lijn x = p verdeelt V in twee delen met gelijke oppervlakten.
Bereken p.  Rond je antwoord af op twee decimalen.

p = -0,50

2. V is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafiek van f(x) = 4/(x≤)  , de x-as, de y-as en de lijnen
x
= 16 en y = 16.
De lijn x = a verdeelt V in twee stukken waarvan de oppervlakten zich verhouden als  2 : 1, waarbij het rechter deel het kleinst is.
Bereken a.

a = 8/11

3. Gegeven zijn de functies  f(x) = x3 - 4x + a
     
a. Het vlakdeel V wordt ingesloten door de grafiek van f0 , de x-as en de lijn x = met  0 < p < √12.  Bereken algebraÔsch  p als de oppervlakte van V gelijk is aan 10,25.
     

p = 3

b. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafiek van fa  met a > 0, de x-as, de y-as en de
lijn x = -2.  Bereken algebraÔsch  a als de oppervlakte van W gelijk is aan 20.
         

a = 8

4. Gegeven zijn de functies  y = xa   op interval [0,1] en  a een geheel getal. De grafiek van deze functie gaan allemaal door (0,0) en (1,1).

Voor twee opeenvolgende waarden van a kun je de oppervlakte tussen de bijbehorende grafiek berekenen. 
Dat is in de figuur hiernaast gebeurd voor a = 3, en het levert de oppervlakte tussen y = x3 en y = x4 op.

a.   Bereken deze oppervlakte algebraÔsch
b.   Voor welk a is deze oppervlakte gelijk aan  1/650  ?

         

a.  0,05
b.  a = 24

5. De parabool  y = x2  en een stijgende lijn y = ax sluiten samen een vlakdeel in waarvan de oppervlakte gelijk blijkt te zijn aan a2
Bereken algebraÔsch voor welke a dat zo is.
         

a = 6

6. a. Bestudeer of maak eerst opgave 3 van de les over de oppervlakte tussen twee grafieken.
   
Als je de procenten op de assen van de Lorentzkromme niet  als een getal tussen 0 en 100 weergeeft, maar als een getal tussen 0 en 1,  dan kun je veel Lorentzkrommen benaderen door de functie y = xa  (met a een getal groter of gelijk aan 1). Immers de grafiek gaat dan altijd door (0,0) en (1,1).
b. De Gini-coŽfficiŽnt van de Verenigde Staten in 2000 was ongeveer 0,40.
Bereken welke a van de Lorentzkromme y = xa  daarbij past.
     

a = 21/3

c. Een land streeft naar meer inkomensgelijkheid en speelt het klaar om het getal a uit de Lorentzkromme
y = xa met 1 te verlagen.
Daardoor zakt de Gini-coŽfficiŽnt met 0,1
Hoe groot is die Gini-coŽfficiŽnt dan geworden?
         

0,5

7. Ik ontdekte laatst iets grappigs.
Teken in een rechthoek van a bij b een parabool met de top in de linker onderhoek en zorg ervoor dat die parabool ook precies door de rechter bovenhoek gaat.
Dan verdeelt die parabool de rechthoek in twee stukken waarvan de oppervlakten zich verhouden als 2 : 1.

Leuk hŤ?

Kies als oorsprong de linker onderhoek van de rechthoek en bewijs deze eigenaardige eigenschap van parabolen.
   
8. De lijn y = a2 en de parabool y = ax2 sluiten een vlakdeel V  in, dat oppervlakte 324 heeft.
Bereken a
 

a = 9

   
9. De grafiek van y = 1/x wordt over een afstand a naar rechts geschoven.
De oppervlakte tussen de beide grafieken die je dan hebt, en de lijnen x = 2 en x = 3 blijkt precies gelijk te zijn aan 1. Bereken de waarde van a in drie decimalen nauwkeurig
 

a = 1,675

   
10.
  V is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafiek van  f en de lijn  y = 6,2
   
  a. Bereken de exacte waarde van de oppervlakte van V
   

12,48 - 2ln5

  b. De oppervlakte van het vlakdeel W, ingesloten door de grafiek van f, de lijn y = x + 1 en de lijnen  x = 1  en  x = p (p > 1) is gelijk aan 2.
Bereken de waarde van  p
   

p = e2

     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)