1. De oppervlakte tussen de grafiek van y = 3sin0,5x  en de x-as voor x tussen 0 en p blijkt gelijk te zijn aan 15.   Bereken p algebraïsch.
     

p = 21/3π
       
2. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1998.
       
  Gegeven is de functie  f :  x → 2/x met domein  R+.

Voor a > √2 is Va het vlakdeel begrensd door de x-as, de lijn x = a,  de lijn y = a en de grafiek van f (zie de figuur).

Bereken a in het geval dat de oppervlakte van Va gelijk is aan 6.

         
3. De oppervlakte, ingesloten door de grafieken van  y = ex en e2x  en de lijn x = p  is gelijk aan 8.

Bereken p 

 
         
4. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2001.
       

  Gegeven is de functie:   f(x) = 6/(x + 2) - 3

In de figuur hiernaast  is rechthoek OPQR getekend met R(0,-3) en P(b,0) met b > 0
De grafiek van f verdeelt de rechthoek in twee delen met gelijke oppervlakte.

Bereken b in twee decimalen nauwkeurig.
     

b = 5,03
         
5. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2005.
         
  De grafiek van y = 1/nx2 verdeelt het vierkant OQnPnRn in twee stukken V en W.
Zie de figuur hiernaast.

De verhouding van de oppervlakten van V en W is onafhankelijk van n

Toon dit aan

         
6. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2007.
         
  We bekijken de grafieken van de functies f en g, gegeven door f(x) = ex en g(x) = e2x voor x ≤ 0. In de volgende figuur staan de grafieken van deze functies. De schaal op de y-as is anders gekozen dan de schaal op de x-as.

Voor elke a < 0 is de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafieken van f en g  en de lijn x = a gelijk aan    
1/2(1 - ea )2 

Toon dit op algebraïsche wijze aan.
         
7. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2008.

De functie f is gegeven door f(x) = e−2x. 
In de figuur hiernaast is voor een waarde van p het vlakdeel grijs gemaakt dat wordt ingesloten door de grafiek van f, de lijn x = p, de x-as en de y-as.

Toon aan dat de oppervlakte van dit vlakdeel voor elke positieve waarde van p kleiner is dan 1/2 .

         
8. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2010.

De parabool met vergelijking  y = 4x − x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 ≤ a < 4 ) snijdt de parabool in de oorsprong O en in punt A. Zie de figuur hiernaast.
A heeft  de coördinaten (4 - a, 4a - a2)

       
  a. Toon dit aan.
       
  Het deel van V boven de lijn OA heeft oppervlakte 1/6(4 - a)3
       
  b. Toon dit aan.
         
  c. Bereken exact voor welke waarde van a de lijn y = ax het gebied V verdeelt in twee delen met gelijke oppervlakte.
       

4 - 321/3

         
9. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2011.

Voor elke positieve waarde van a is de functie fa gegeven door  fa(x) = sinx + a • sin(2x) op het  domein [0, π].
Voor elke waarde van a waarvoor geldt 0 < a < 1/2 ligt de grafiek van  fa  tussen (0, 0) en (π, 0) geheel boven de x-as. Hiernaast  is een  dergelijke grafiek getekend.
Toon aan dat de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt begrensd  door de grafiek van fa en de x-as, onafhankelijk is van a.

         
10. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2012.

Voor elke positieve waarde van p is een functie f gegeven door:   f (x) = -x3 + 3px2
De grafiek van f heeft twee punten met de x-as gemeenschappelijk: O(0, 0) en punt A.
De top van de grafiek van f die rechts van de y-as ligt, noemen we T.
De horizontale lijn door T snijdt de y-as in punt C en snijdt de verticale lijn door A in punt B. De oppervlakte van het gebied onder de grafiek van f  binnen rechthoek OABC is in de figuur grijs gemaakt.

         
  Toon aan dat de verhouding van de oppervlakte van het grijze gebied en de oppervlakte van rechthoek OABC onafhankelijk is van p.
         
11. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2014.

Voor x > 0 is de functie f gegeven door  f(x) = 1/x

In onderstaande figuur is voor p > 0 een rechthoek getekend die wordt begrensd door de lijnen met vergelijkingen x = 2p en  y = 1/p  de x-as en de y-as.
         
 

         
  Voor elke positieve waarde van p verdeelt de grafiek van f de rechthoek in twee stukken.
Bewijs met behulp van integreren dat de oppervlakte van elk van deze stukken onafhankelijk is van de waarde van p.
         
12. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2014.
         
  Voor p > 0 is de functie fp gegeven door fp(x) = 3px2 - x3
De grafiek van fp raakt de x-as in het punt O(0, 0) en snijdt deze in het punt A(3p, 0) .
Verder heeft de grafiek van fp een buigpunt B(p, 2p3).
V is het gebied dat wordt ingesloten door de grafiek van fp en de x-as. De verticale lijn door het buigpunt verdeelt V in twee delen.
In de figuur hiernaast  is deze situatie weergegeven. De oppervlakte van het linkerdeel is 3/4p4.

Bewijs dat de oppervlakte van het rechterdeel acht keer zo groot is als de oppervlakte van het linkerdeel.

         
13. De grafieken van y = e-2x  en  y = ex + a  en de y-as sluiten een vlakdeel V in dat exact oppervlakte  1/2 heeft.

Bereken algebraïsch voor welke waarde van a dat geldt.

       

3ln(1,5)
14. examenvraagstuk VWO wiskunde B, 2015.

In de figuur zijn de grafieken getekend van de functies f en g gegeven door  f(x) = √x  en  g(x) = 1/2√x.
Verder zijn de lijnen getekend met vergelijkingen x = a  en  x = 4  met  0 < a < 4.
         
 

         
  In de figuur zijn twee vlakdelen grijs gemaakt. Het ene grijze vlakdeel wordt begrensd door de grafieken van f en g en de lijn met vergelijking x = a. Het andere grijze vlakdeel wordt begrensd door de grafiek van g, de x-as en de lijnen met vergelijkingen x = a  en  x = 4.
Bereken exact voor welke waarde van a deze vlakdelen gelijke oppervlakte hebben.
       

42/3
15. examenvraagstuk VWO wiskunde B, 2015.

Op het domein [-9,0] is de functie f gegeven door f(x) = √(x + 9) . In de figuur is de grafiek van f getekend en een lijn met vergelijking x = p met  -9 < p ≤ 0. Het gebied dat wordt ingesloten door de grafiek van f, de x-as en deze lijn is met grijs aangegeven.
         
 

         
  De oppervlakte van het grijze gebied noemen we A. De waarde van A hangt af van de waarde van p.
Er geldt:
 

         
  a. Toon deze formule aan.
         
  b. Er is een waarde van p waarvoor A(p)  het achtste deel is van de oppervlakte van het gebied dat wordt ingesloten door de grafiek van f, de x-as en de y-as. Bereken exact deze waarde van p.
       

-6,75
16. P is de parabool y = x2
         
  a. Het vlakdeel, ingesloten door P en de lijn y = 3x, wordt gewenteld om de y-as. Bereken de inhoud van het lichaam dat daardoor ontstaat.
       

131/2π
  b. Q is een punt van de parabool met xQ = a.
V is het vlakdeel in gesloten door de grafiek van P de lijn OQ en de lijn x = 2a
V bestaat uit twee delen, waarvan de totale oppervlakte gelijk is aan 8.
Bereken a
       

a = 2
17. De grafiek van y = √x en de lijn y = ax  sluiten een vlakdeel V in dat oppervlakte  102/3  heeft.

Bereken a.

       

a = 0,25
18. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2018-II

De functie f is gegeven door f (x) = x2.

De raaklijn aan de grafiek van f  in een punt P(p, p2) met p > 0 snijdt de x-as in een punt A.

V is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafiek van f en de lijn OP.
Zie de figuur.
         
 

         
  Bewijs dat de oppervlakte van driehoek OAP anderhalf keer zo groot is als de oppervlakte van V.
         
19. Examenvraagstuk VWO Wiskunde I, 1974-I
         
  Gegeven zijn de functies  f(x) = x2  en   g(x) = (x³ + 2)/x

De lijnen x = k en x = 2k  en de grafieken van f en g sluiten een vlakdeel V in.
Bewijs dat de oppervlakte van V voor k > 0  onafhankelijk is van k.
Onderzoek of deze onafhankelijkheid ook geldt voor k < 0.
         
20. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2022-II
         
  De functie f is gegeven door:  f(x) = 4/√(x + 1) 

De grafiek van  f  snijdt de y-as in het punt (0, 4). In de  figuur hiernaast  is de grafiek van  f  weergegeven. Ook is de rechthoek weergegeven die wordt begrensd door de x-as, de y-as, de lijn met vergelijking y = 4 en de lijn met vergelijking x = q  met q > 0 . De grafiek van f verdeelt deze rechthoek in twee delen.

Er is één waarde van q waarbij de oppervlaktes van deze twee delen even groot zijn.
         
  a.      Bereken exact deze waarde van q.
       

q = 8

  De functie g is de inverse functie van de functie f . Het gebied dat wordt ingesloten door de grafiek van f , de grafiek van g en de lijn met vergelijking x = 4 is in de figuur hiernaast grijs gekleurd.
       
  b. Bereken de oppervlakte van dit gebied. Geef je eindantwoord in één decimaal.
       

2,1
21. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2022-III

De functie f is gegeven door
 

         
  De functie F gegeven door   F(x) =  ln(x2 - 11x + 30)  dan een primitieve van f.
         
  a. Bewijs dit.
         
  In onderstaande figuur is de grafiek van f (die uit drie delen bestaat) getekend.
         
 

         
  V is het gebied begrensd door de grafiek van f, de x-as en de lijnen met vergelijking x = 7 en x = 9 .
W is het gebied begrensd door de grafiek van f, de x-as en de lijnen met vergelijking x = 9 en x = p , met p > 9.

Er is een waarde van p waarvoor de oppervlaktes van V en W gelijk zijn.
         
  b. Bereken exact deze waarde van p.
       

p = 13