Machten van polynomen.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Meestal gingen we dan in die noemer kwadraat afsplitsen, en afhankelijk van wat er dan overbleef werd het een arctanx, of een lnx of je kon breuksplitsen.

Maar hoe is het als die vorm in de noemer ook weer tot een macht genomen wordt?
Het blijkt dat ook nu kwadraat afsplitsen een goed begin is. Alleen is de vorm die daarna overblijft ietsje lastiger....
Genoeg abstract gelul, tijd voor een voorbeeld:
       
Kwadraat afsplitsen geeft:  x2 - 6x + 11 =  x2 - 6x + 9 - 9 + 11 = (x - 3)2 + 2
Gebruik nu de substitutie u = x - 3,  dus  x = u + 3 en  dx = du
Die eerste integraal is (hoop ik) intussen een makkie. Die u in de teller is (ongeveer) de afgeleide van u2 + 2 in de noemer, dus dat gaat iets als (u2 + 2)-2 opleveren als primitieve (met nog zo hier en daar wat constanten).

Maar die tweede integraal dat is een echt probleem.......
Bij de wortelvorm (1 + x2 ) in deze les werkte de substitutie  u = tanα. Want dan werd (1 + x2) gelijk aan tan2α.
Dat kun je hier ook proberen.
u2 + 2 = 2(1/2u2 + 1) = 2( (u1/2)2 + 1)  dus als je ervoor zorgt dat  u1/2 = tanα dan gaat het lukken.
Dus neem de substitutie:   u = 2 • tanα  met  du = 2/(cos2a) dα
Maar omdat tan2α + 1 = 1/cos2α = (cosα)-2  gaat dat over in:
Die cos4α kunnen we primitiveren. Dat staat in deze les over machten van sin en cos. De truc was om te gebruiken dat  cos2α = 1/2(1 + cos2α), dus in dit geval geeft dat:
cos4α
= (cos2α )2
= (1/2(1 + cos2α))2
= 1/4(1 + 2cos2α + cos22α)
= 1/4 + 1/2cos2α + 1/4•1/2•(1 + cos4α)
= 1/4 + 1/2cos2α + 1/8 + 1/8cos4α 
3/8 + 1/2cos2α + 1/8cos4α

De primitieve daarvan is   3/8α + 1/4sin2α + 1/32sin4α.
Omdat we terug moeten naar x maken we eerst van die 2α en 4α weer gewoon α.
Dat gaat met de formules sin2α = 2sinαcosα en  cos2α = 2cos2α - 1.
1/4sin2α = 1/4• 2sinαcosα = 1/2sinαcosα
1/32sin4α = 1/32 • 2sin2αcos2α = 1/16 • 2sinαcosα • (2cos2α -1) = 1/4sinαcos3α - 1/8sinαcosα
Samen geeft dat:  
3/8α + 1/4sin2α + 1/32sin4α = 3/8α + 3/8sinαcosα + 1/4sinαcos3α
 
Om terug naar x-en te komen kun je de driehoek hiernaast gebruiken.
Bedenk dat  u = 2 • tanα  en   x = u + 3.
De schuine zijde van de driehoek is uiteraard met Pythagoras gevonden.
Met deze driehoek kun je nu sinα en cosα uitdrukken in x.

Verder geldt, dat als tanα = (x - 3)/2 dat α = arctan( (x - 3)/2 )
Daarmee is de primitieve van cos4α gevonden, en uit te drukken in x-en:

In totaal wordt de primitieve van de oorspronkelijke opgave dan gelijk aan:
       
Mooi hé? 
Daar kan ik nou echt van genieten......
Laten we niet de rode draad van deze afleiding uit het oog verliezen:
       
1.  kwadraat afsplitsen
2.  dezelfde gonio-substitutie die we bij wortels gebruikten 
3.  machten van sin en cos
       
Tot slot nog maar een uitgebreid voorbeeld.
       
kwadraat afsplitsen:  x2 - 4x + 2 = (x - 2)2 - 2  dus substitueer  u = x - 2  dus  x = u + 2 en dx = du.
De eerste integraal gaat eenvoudig met de kettingregel en is  F =  -1/2(u2 - 2)

De tweede is  het probleem.
Omdat er nu staat u2 - 2 gebruiken we de substitutie  u = 2/cosα  en dan is  du = 2sinα/cos2α.
Het tweede deel wordt dan:
Ga van die cosinussen in de teller ook sinussen maken, dan kun je de integraal splitsen:
In een eerdere les hebben we al geleerd hoe je primitieven van 1/cosnx kunt vinden.
Daarom maken we hier eerst maar even cosinussen van door te substitueren:  α = 1/2π - β,  dus  dα = -dβ:
Uit de genoemde eerdere les komt voor de primitieve van 1/cosnx het volgende resultaat:
voor n = 3 geeft dat:
Die laatste integraal is makkelijk:  De primitieve van 1/cosx  is gelijk aan  F2(x) = ln(1/cosx + tanx)
Dat geeft samen:
terug naar β = 1/2π - α  geeft dan
Terug naar u = 2/cosα  geeft cosα = √2/u en  sinα = √(u² - 2)/u   en  tanα = √((u² - 2)/2)   (teken maar weer zo'n driehoekje)
Laten we meteen die eerste primitieve van helemaal aan het begin eraan toevoegen, en vergeet ook die factor √2 die we ergens weggelaten hebben niet, dan hebben we:
vervang tenslotte elke u door  x - 2  en je bent er
     
.....MAKKIE!
         
1. Bereken de volgende integralen:
         
  a.
         
  b.
         
  c.
         
         
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)