© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a.
    substitueer  u = x + 1  dus  x = u - 1, dat geeft:
   
    Die eerste is een makkelijke (kettingregel):  de primitieve is  F1 =  1/2(u2 - 5)-1  = 1/2((x + 1)2 - 5)-1

Substitueer voor die tweede:  u = √5/cosα  dus  du = √5sinα/cos2αdα:
       
    Die laatste integraal is dezelfde als die in voorbeeld 2 van de les.
Een primitieve is
   
    Daar moet dan nog een factor  4/25√5 voor staan.
Terug naar u gaat weer met zo'n driehoekje
cosα = √5/u  geeft  sinα = √(u² - 5)/u  en  tanα = √(u² - 5)/√5 
   
    Tenslotte nog die F1 van bovenaan toevoegen en u weer vervangen door  x + 1
   
       
  b.
    Substitueer u = x + 1, dus x = u - 1 en dx = du
   
    De eerste heeft als primitieve F1 = -1/(u2 - 4)
Voor de tweede gebruiken we de substitutie u = 2/cosα dus  du = 2sinα/cos2αdα
   
    Die laatste integraal is dezelfde als die in voorbeeld 2 van de les.
Een primitieve is
   
    Daar moet dan nog een factor  1/4 voor staan.
Terug naar u gaat weer met zo'n driehoekje
cosα = 2/u  geeft  sinα = √(u² - 4)/u  en  tanα = √(u² - 4)/2
Meteen die F1 van het begin toevoegen geeft dan:
   
    u weer vervangen door x + 1 en je bent klaar:
   
       
  c.
    Daarin is de substitutie u = x - 3 gebruikt.
Die eerste is makkelijk te primitiveren:  F1 = -1/(u2 + 1)
Omdat de tweede een vorm u2 + 1 heeft  gebruiken we de substitutie u = tanα, dus du = 1/cos2α dα
   
    Bij die laatste stap is de verdubbelingsformule voor cos2a gebruikt
Een primitieve is nu F = α + 1/2sin(2α) = α + sinα • cosα
Terug naar u:  u = tanα geeft met zo'n driehoekje  sinα = u/√(u2 + 1)  en  cosα = 1/√(u2 + 1)
Invullen en meteen die F1 van het begin toevoegen:
   
    u = x - 3 vervangen:
   
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)