Machten van sinx en cosx.

ฉ h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
       
Eerst maar even de makkelijkste, die we zelfs al in een eerdere les hebben gehad.

1.  sinnx  of  cosnx  met n een oneven getal.
       
Dat gaat (bijvoorbeeld bij sinnx) als volgt: 

•  Zet ้้n van die sinx eventjes apart. Dan hou je een even macht over.
•  Maar elke sin2x in het overgebleven deel kun je met de formule sin2x = 1 - cos2x veranderen in een cos2x
•  Wat over is kun je primitiveren (stel cosx = u  dan is de afgeleide ongeveer die ene sinx die je apart had gezet)

Voorbeeld.  Primitiveer  f(x) = sin5x.
sin7x = sinx • sin6x = sinx • (sin2x)3  = sinx • (1 - cos2x)3 = sinx • (1 - 3cos2x + 3cos4x - cos6x).
(bij dat haakjes wegwerken was trouwens het binomium van Newton wel erg makkelijk, vond je niet?).

Noem nu cosx = u dan is die sinx de afgeleide daarvan (op een minteken na).
De primitieve is dan  F(x) = -cosx + 1/4cos3x - 3/5cos5x - 1/7cos7x + c.
       
2.   Een mengsel van sinnx • cosmx met minstens ้้n oneven macht.
       
Nou, dat gaat natuurlijk precies hetzelfde. Kies degene met de oneven macht (als beide machten oneven zijn zou ik de kleinste nemen. Als je graag veel wiskundewerk verricht neem je natuurlijk de grootste). Pas op die oneven macht bovenstaande methode toe.

Voorbeeld.  Primitiveer  cos3x • sin4 x
cos3x • sin4x = cosx • cos2x • sin4x =  cosx • (1 - sin2x) • sin4x = cosx • (sin4x - sin6x).
Noem nu sinx = u dan is die cosx daar de afgeleide van.
De primitieve is dan   F(x) =  1/5sin5x - 1/7sin7x + c.
       
3.    Als beide machten even zijn.
       
Dan is er helaas niet ้้n kant en klaar recept om ze allemaal op te lossen. Soms is het lastig om een oplossing te vinden, soms zijn er meteen meerdere mogelijke oplossingen.  Formules die daarbij wel vaak erg handig zijn, zijn de volgende drie, je herkent ze vast als de verdubbelingsformules:
 

cos2x = 1/2 + 1/2cos2x
sin2x  =  1/2 - 1/2cos2x
sinx • cosx = 1/2sin2x

 
't Is eigenlijk steeds een beetje prutsen met deze drie vergelijkingen en daarmee de machten van sinx en cosx kleiner maken.

Voorbeeld op twee manieren.  Primitiveer  f(x) = sin2x • cos2x

eerste manier.
vervang cos2x en sin2x direct met de bovenstaande formules.
Dat geeft    sin2x • cos2x=  (1/2 + 1/2cos2x)(1/2 - 1/2cos2x) = 1/4 - 1/4cos22x
En nou kun je die laatste cos22x weer vervangen, door  1/2 + 1/2cos4x
Dat geeft  f(x) = 1/4 - 1/4(1/2 + 1/2cos4x) = 1/4 - 1/8 - 1/8cos4x = 1/8 - 1/8cos4x
De primitieve is dan F(x) = 1/8x - 1/32sin4x + c

tweede manier.
sin2x • cos2x = (sinx • cosx)2  en dat tussen die haakjes kun je vervangen door 1/2sin2x.
Dat geeft  f(x) = 1/4sin22x . Nu kun je die sin22x weer vervangen door  1/2 - 1/2cos4x.
Dat geeft f(x) = 1/4(1/2 - 1/2cos4x) = 1/8 - 1/8cos4x  en uiteraard dezelfde primitieve als hierboven. 
 

Nou ja... uiterแแrd....
Het hoeft niet zo te zijn dat er met verschillende methodes precies dezelfde primitieve uitkomt. Het zou kunnen dat die c anders is. De primitieven die je krijgt moeten natuurlijk wel op een constante na hetzelfde zijn.
 
             
1. Bereken primitieven van de volgende functies:
             
  a. f(x) = cos6x   d. f(x) = cos5x • sin5x  
             
  b. f(x) = sin3x   e. f(x) = cos4x • sin2x  
             
  c. f(x) = cos4x • sin3x   f. f(x) = sin4x  
             
4.  Je kunt het soms ook gebruiken bij breuken!
       
Dat trucje van ้้n zo'n oneven sinx of cosx even apart zetten, dat werkt natuurlijk ook bij sommige breuken.
Kijk maar:
       
Voorbeeld.    
Haal daarboven ้้n sinx apart en ga dan die even macht van sinx die overblijft veranderen in cosx, zoals je intussen waarschijnlijk al gewend bent.
Als cosx = u dan staat daar gewoon de primitieve van  u-4 - 2u-2 + 1
Dat is F(x) = 1/3cos-3x - 2cos-1x - x + c  (de mintekens omdat de afgeleide van cosx  gelijk is aan -sinx).
       
Waarschuwing:   Dit werkt natuurlijk alleen als je een sinx of cosx uit de teller apart kunt zetten!!!!
       

ฉ h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)