optimaliseren wortels


Opgaven: optimaliseren met wortelfuncties..	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Voor deze opgaven moet je in ieder geval de lessen H8 en H10a bestudeerd hebben.
Verder moet je de kettingregel en de productregel kennen.

Gegeven zijn de functies f_n(x) =ⁿ√xmet domein [0, 8].
P is het punt (8,0). Q is een punt op de grafiek van f_n, R is de projectie van Q op de x-as.

Bereken de maximale oppervlakte van driehoek PQR als n = 3.

3 • 2^1/3

Eén van de functies f_n heeft maximale oppervlakte van PQR bij x = ¹/₂. Bereken n

n = 15

Iemand heeft een stuk gaas van 500 cm lang. Hij gaat er een driehoekig stuk gras mee afzetten om zijn konijnen in te laten lopen. Eén kant ligt tegen zijn huis en daar hoeft dus geen gaas te komen. Verder staat het gaas AB loodrecht op de muur van het huis. Zie de figuur hiernaast.

Hoe moet hij zijn gaas in twee stukken verdelen zodat de oppervlakte van het afgezette gebied maximaal is?

333¹/₃ en 166²/₃

Op een afstand van 1 meter staat voor een hoge schuur een 3 meter hoge schutting.
Johans ladder steunt zowel op de schutting als tegen de muur.

Johan weet dat elke kortere ladder niet zowel op de schutting als tegen de muur kan steunen.

Bereken de lengte van Johans ladder.

5,41 m

Een rivier stroomt door een woestijn. Koen staat 2 km ten zuiden van de rivier in punt P en weet dat zijn vriend Gijs nog 4 km verder zuidelijk van hem in punt Q ligt te verdrogen. Gijs ligt 10 km ten westen van de rivier.
De afmetingen van dit spannende verhaal zijn als in de figuur hiernaast.
Koen heeft helaas geen water meer in zijn veldfles, dus hij moet snel naar de rivier lopen, zijn fles vullen en daarna als een haas naar Gijs.

Wat is de kortste afstand die Koen moet lopen om via de rivier bij Gijs te komen?

7,16 km

In het wilde Westen moet een lading buskruit van plaats A naar plaats C midden in de woestijn gebracht worden. Dat kan gedeeltelijk met de spoorlijn die van A naar B loopt. De rest van de afstand zal met de postkoets afgelegd moeten worden. De lading kan op een willekeurig punt P langs de spoorlijn overgeladen worden.

AB = 80, BC = 20, hoek ABC is 90°.

Per kilo buskruit geldt: de kosten van de treinreis zijn $5,- per km, de postkoets kost $10,- per km.

Wat zijn de laagste kosten voor het vervoer van het buskruit? Geef een algebraïsche berekening.

$573,21

Noem nu PB = y.
Stel een formule op voor de kosten K als functie van y, en bewijs dat daaruit volgt dat de keuze van punt P voor minimale kosten onafhankelijk is van de lengte AB.

Een lijnstuk AB met lengte 8 wordt heen en weer geschoven op de x-as. Daardoor ontstaat een vierhoek ABCD met D = (0,6) en C = (16,10)

Bereken de minimale omtrek van deze vierhoek.

42,38

Iemand wil in zijn tuin een plekje maken om zijn konijnen in te laten lopen. Hij doet dat met twee platen BC en CD die scharnierend aan elkaar vast zitten in C. Hij zet ze rechtop in een hoek van de tuin waar schuttingen zijn. De platen zijn 1 en 2 meter lang. Een bovenaanzicht van de verschillende situaties staat hieronder.

BC staat elke keer loodrecht op de schutting. Noem de afstand AB gelijk aan x.

Bewijs dat voor de oppervlakte O van gebied ABCD geldt: O = x + 0,5x√(4 - x²)

Bereken algebraïsch de maximale oppervlakte van ABCD.

O = 2,598

Op een dichtgevroren meer wordt een schaatswedstrijd gehouden. De start is in A, de finish in B. Er is echter alleen van A naar C een baan geprepareerd en schoongeveegd en gedweild. Op zo'n mooie baan kunnen schaatsers een grotere snelheid halen dan op het overige veel slechtere ijs. AB = 80 km, CB = 60 km en hoek ACB is 90º.

Jeen van den Berg is een typische "mooi-weer-rijder": hij haalt op het slechtere ijs slechts 15 km/uur en op de mooie baan 30 km /uur. Hij rijdt daarom van A via C naar B. Bereken de tijd die hij nodig heeft.

6²/₃uur

Reinier Paping is een doorbijter: hij rijdt rechtstreeks van A naar B over het slechte ijs. Daarop haalt hij gemiddeld 21 km/uur. Bereken de tijd die hij nodig heeft.

4,76 uur

Evert Benthem begint over de baan te schaatsen en haalt daarop 25 km/uur. Omdat hij Jeen van den Berg op zich ziet uitlopen besluit hij om x km vóór punt C van de baan af te wijken en in een rechte lijn naar B te schaatsen. Op het slechte ijs haalt hij 16 km/uur. Voor zijn totale tijd (T) geldt:

Toon aan dat deze formule klopt

Welke afstand moet Evert voor x kiezen om zo snel mogelijk te arriveren?

x = 49,98

Piet Kleine weet dat hij op de baan een gemiddelde van 28 km/uur haalt, maar weet niet hoe snel hij op het slechte ijs zal rijden. Hij besluit eerst 15 km over de baan te rijden en dan af te slaan in een rechte lijn naar B.

Bij welke snelheid over het slechte ijs is dat inderdaad de beste tactiek voor Piet?

20,57

Vier plaatsen, A, B , C en D die op de hoekpunten van een rechthoek van 60 km bij 80 km liggen, moeten door een wegennet met elkaar verbonden worden. Daarvoor zijn een aantal mogelijke vormen van wegennet. Hieronder staan er vier. Elke keer is AD = BC = 80 en AB = DC = 60.

Bereken voor de eerste drie wegennetten de totale lengte L van de verbindingswegen.

200, 200, 220

Bij het laatste wegennet kun je kiezen hoe groot EF wordt. Stel dat EF = x
Dan is de totale wegenlengte gelijk aan:

Toon dat aan.

Bereken algebraïsch wat de minimale totale wegenlengte in dit geval is. Geef je antwoord in twee decimalen.

183,92

10.

Gegeven is de functie f(x) = √(10 - 2x)

Vanuit de oorsprong wordt lijn OP getekend waarbij P een punt van de grafiek van f is. Hiernaast staan drie voorbeelden.

Stel een formule op voor de lengte van OP en bereken daarmee algebraïsch de minimale lengte.

OP = 3

11.

Gegeven is de functie f(x) = √(8 - 2x)

Van rechthoek OABC ligt A op de x-as, B op de grafiek van f en C op de y-as.

Stel dat de x-coördinaat van A gelijk is aan p (p > 0).

Bereken algebraïsch de maximale oppervlakte van OABC. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

4,35

12.

Een enorm groot schilderij moet door een gang met een haakse bocht erin worden vervoerd. Het schilderij is zo hoog als de gang, en kan dus niet schuin omhoog gezet worden. De dikte is te verwaarlozen, de breedte is 5 meter.
Het eerste deel van de gang is 2 meter breed.
Hiernaast zie je een bovenaanzicht waarin geprobeerd wordt de draai om de bocht te nemen. Beide uiteinden van het schilderij staan tegen een muur.
Voor de afstand d geldt dan:

Toon dat aan.

Hoe breed moet het onderste deel van de gang minstens zijn zodat het schilderij erdoor past?

3,38 m

13.

Een straat wordt verlicht door straatlantaarns. De lichtintensiteit in een punt op de grond hangt af van de afstand tot de lamp en van de hoek die de lichtstralen maken met de grond:

L = c · sin a · ¹/r²

Hierin is L de lichtintensiteit, r de afstand tot de lamp (in m) en α de hoek tussen de lichtstraal en de grond. In deze opgave wordt de constante c gelijk aan 1 genomen. Noem de hoogte van de lantaarn boven het wegdek h.

Laat zien dat voor het midden van de straat geldt:

Bereken algebraïsch voor welke waarde van h de lichtintensiteit in het midden van de straat maximaal is.

h = √12,5

14.

Vanaf een olieplatform in zee moet een leiding gelegd worden naar het verwerkingsbedrijf aan land.
De afmetingen zijn als hiernaast. Men kiest ervoor de leiding te laten bestaan uit twee delen.

Deel 1 loopt in een rechte lijn vanaf het platform naar een punt P aan de kust. De kosten voor het aanleggen van een leiding op zee zijn €20000,- per km.

Deel 2 loopt in een rechte lijn vanaf punt P naar de verwerkingsplaats. De kosten voor de leiding over land bedragen €12000,- per km.

Stel een formule op voor de totale kosten van de leiding, en bepaal met je GR waar punt P gekozen moet worden om die kosten zo klein mogelijk te maken.

x = 6,18

15.

Twee basisscholen, een openbare en een christelijke, staan 2 km van elkaar af aan de rand van een 500 meter breed strand. Ze besluiten samen Sinterklaas te gaan vieren, en zijn van plan een grote stoomboot vanuit zee aan de kustlijn aan te laten meren.

Het hoofd van school B stelt eerst voor om de boot recht tegenover school B te laten aanmeren. Maar daar is het hoofd van school A het niet mee eens omdat dan de kinderen van school A veel verder moeten lopen naar de boot.
Zij doet het tegenvoorstel om de boot precies midden tussen beide scholen aan land te laten komen. Maar daar is school B het weer niet mee eens, want op school B zitten 250 leerlingen en op school A slechts 180.

Waar aan de kustlijn moet de boot van Sinterklaas komen als de totale afstand door alle kinderen van beide scholen samen gelopen minimaal is?

469 m naast B

16.

Hiernaast zie je een deel van de grafiek van
y = x√(6 - x)
A is het punt (6,0). B is een punt van de grafiek tussen x = 0 en x = 6. C is de projectie van B op de x-as.

p is de x-coördinaat van C en van B.

Bereken algebraïsch voor welke p de oppervlakte van driehoek OBA maximaal is.

p = 4

Voor de oppervlakte O van driehoek ABC geldt:
O = 0,5 × p × (6 - p)^1,5

Toon dat aan.

Bereken algebraïsch voor welke p de oppervlakte van ABC maximaal is.

p = 2,4

Bij een velletje papier van 20 bij 30 cm wordt een hoek zo omgevouwen dat het hoekpunt op de lange zijde van het papier komt. Zie de figuur hieronder. Stel AP = x cm

Voor de oppervlakte van driehoek ADP geldt: O = 0,5x × √(400 - 40x)

Toon dat aan

Bereken algebraïsch de maximale oppervlakte van driehoek ADP.

38,49

Als O maximaal is, dan is ook O² maximaal!
Bereken met dit gegeven nogmaals de maximale oppervlakte van de driehoek.

18.

Van 120 cm ijzerdraad wordt een regelmatige vierzijdige piramide gemaakt. Het grondvlak wordt een vierkant van x bij x cm.
Voor de inhoud van die piramide geldt dan:

I(x) = ¹/₃x² • √(900 - 60x + ¹/₂x²)

Toon dat aan

Hoe groot is de hoogte van de piramide met maximale inhoud?

12,67

19.

Twee meisjes gaan een hut maken met twee platen hout die scharnierend in punt P aan elkaar zijn vastgemaakt. Ze doen dat zoals in de tekening hiernaast. De platen zijn 2 meter en 1,5 meter lang.
Aan de muur en op de grond maken ze de platen vast en krijgen zo de overkapping hiernaast. De bovenkant is horizontaal. Stel de hoogte van de hut gelijk aan x
Voor de oppervlakte van het zijaanzicht hiernaast geldt dan:

Toon dat aan

Bereken algebraïsch de maximale oppervlakte.

3,18 m²

Bereken hoeveel procent meer oppervlakte de meisjes kunnen krijgen door de plaat van 1,5 m als bovenkant te gebruiken.

≈ 9,6%

Als de platen niet scharnierend maar vast onder een hoek van 90º aan elkaar zitten dan kunnen ze beide platen nog steeds tegen de wand zetten. Het dak is dan niet meer horizontaal.:

Bereken welke manier de grootste oppervlakte geeft.

3,0625

20.

Men wentelt een rechthoekige driehoek met schuine zijde 4 om een rechthoekszijde als as. Zo ontstaat een kegel.
Hoe lang moeten de rechthoekszijden zijn om de inhoud van de kegel maximaal te krijgen?

√(⁸/₃) en √(⁴/₃)

21.

Hiernaast zie je de grafiek van y = 8 - x²
Met de oorsprong als middelpunt worden een aantal cirkels getekend, telkens met grotere straal.
Alsof er een cirkelvormige ballon wordt opgeblazen...

Wat is de oppervlakte van de grootste cirkel die nog binnen de parabool blijft?

TIP: :

Welk punt van de parabool heeft de kleinste afstand tot O ?

7,75π

22.

We bevinden ons middenin de Tweede Wereldoorlog.
Er heerst een dichte mist op de Waddenzee.
Op moment t = 0 varen twee nietsvermoedende verzetshelden in hun bootje 30 km ten westen van punt P. Ze varen met een constante snelheid van 30 km/uur naar het oosten.
Tegelijkertijd vaart een Duitse radarboot op 80 km ten zuiden van punt P met een snelheid van 40 km/uur naar het noorden. De situatie is als hiernaast geschetst.

Geef een formule die de onderlinge afstand van de boten geeft als functie van de tijd t.

De radar van de boot heeft een bereik van 20 km.
Zullen de dappere verzetshelden door de wrede Duitsers worden opgemerkt?

23.

Een luie wiskundige moet van een aantal getallen tussen 0 en 1 de wortel trekken. Hij heeft geen rekenmachine bij zich en omdat hij er niet te veel werk van wil hebben benadert hij de wortel van een getal als volgt:
√x » ⁹/₁₀x + ²/₁₅.

Hij berekent bijvoorbeeld √(0,5) = ⁹/₁₀ • 0,5 + ²/₁₅ = 0,58 en ziet tot zijn grote tevredenheid dat dat antwoord redelijk in de buurt van het juiste antwoord (0,71) zit.

Er zijn twee waarden voor x waarvoor hij exact het goede antwoord vindt! Welke zijn dat?
Geef een algebraïsche berekening, en geef je antwoord in drie decimalen nauwkeurig.

0,024 en 0,914

Bij welk getal maakt hij de grootste fout met zijn benadering?

¹²¹/₃₂₄

24.

Gegeven zijn de functies f(x) = √(x + p) met p > 0

Het punt van de grafiek van f waarvoor geldt dat de afstand tot de oorsprong minimaal is, ligt altijd bij x = -0,5.

Bewijs dat dat zo is.

25.

examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 1996.

Met behulp van een frame van uitschuifbare tentstokken AE en BF en een rechthoekig zeil van 5 bij 10 meter wordt tegen een schutting een opslagruimte gemaakt in de vorm van een recht prisma AEHD.BFGC. De grensvlakken AEHD en BFGC blijven open en hebben elk de vorm van een trapezium met rechte hoeken in A, D, B en C.
De breedte AD van de opslagruimte is 3 meter. Het zeil wordt met de lange kant van 10 meter op de grond bevestigd langs AB.
Het wordt over de stok EF strak gespannen naar de schutting waar het zo hoog mogelijk wordt bevestigd. In de figuur is dat langs HG. De korte kant van het zeil valt langs AE en EH.
AE + EH = 5 meter. Doordat AE (= BF) variabel is, zal de hoogte van HG ook variabel zijn.

Bereken de inhoud van de opslagruimte als AE = 1 m. Rond je antwoord af op gehele m³.

70 m³

De inhoud V van het prisma AEHD.BFGC hangt af van de lengte h van AE.
Voor V geldt: V = 30h + 15√(16 - 10h + h²), waarbij h uitgedrukt is in m en V in m³.

Toon aan dat deze formule juist is.

Neem aan dat V = 60.

Toon aan dat dan geldt: (4 - 2h)² = 16 - 10h + h² en bereken daaruit tot welke lengte AE en BF zijn uitgeschoven.

2 m

Bereken in gehele cm nauwkeurig de waarde van h waarbij de inhoud van de opslagruimte maximaal is.

153 cm

26.

Examenvraagstuk VWO, Wiskunde B, 2002

We bekijken de lijn l met vergelijking y = mx , met m > 0.
De lijn l snijdt de lijn y = -2 in A en de lijn x = 4 in B. Zie de figuur hiernaast.

Bewijs dat voor elke positieve waarde van m de lengte van lijnstuk AB gelijk is aan:

Los nu het volgende probleem op:

Plaats P ligt dicht bij het kruispunt van twee wegen; de H25 en de V18. De wegen snijden elkaar loodrecht. Plaats P ligt 4 km van de H25 en 7 km van de V18 af.
Er wordt een nieuwe rechte weg aangelegd die de twee wegen met elkaar verbindt. De nieuwe weg moet door plaats P gaan.
Bereken in meters nauwkeurig de lengte van de kortste weg die aan deze eisen voldoet.

15364 m

27.

Examenvraagstuk VWO, Wiskunde B, 2009

Een vuurpijl wordt vanaf de grond schuin weggeschoten. Door tegenwind beschrijft de vuurpijl een baan zoals die in de figuur hiernaast getekend is.

In deze figuur is een assenstelsel aangebracht met de x-as op de grond tegen de windrichting in en de y-as verticaal. In O wordt de vuurpijl afgeschoten. In B komt hij weer op de grond.
A is het punt van de baan dat het meest naar rechts ligt.
We gebruiken voor de baan de volgende formules:
voor het eerste deel OA van de baan geldt
y = 2x −100 + 4 • √(625 −10x) ,
voor het tweede deel AB van de baan geldt
y = 2x −100 − 4 • √(625 −10x) , met x en y in meter.

Bereken op algebraïsche wijze de maximale hoogte die de vuurpijl bereikt.

45 meter

Bereken de x-coördinaat van A.

62,5

Bereken op algebraïsche wijze op welke afstand van O de vuurpijl op de grond komt.

60 meter

28.

Examenvraagstuk HAVO, Wiskunde B, 2011

Langs een rechte weg staan twee flatgebouwen. De ingang van flat 1 (punt E) ligt 40 meter van de weg af en de ingang van flat 2 (punt D) ligt 60 meter van de weg af. Men wil een bushalte plaatsen (punt B) en daarna van de bushalte naar de ingang van elk van de twee flats een recht voetpad aanleggen. Punt A is het punt aan de weg dat het dichtst bij de ingang van flat 1 ligt en punt C is het punt aan de weg dat het dichtst bij de ingang van flat 2 ligt. De afstand tussen punt A en punt C is 80 meter. In de figuur hieronder is van deze situatie een schematisch bovenaanzicht getekend.

De lengte van het voetpad tussen de bushalte en de ingang van flat 1 in meters wordt gegeven door de formule BE = √(x² + 1600) en de lengte van het voetpad tussen de bushalte en flat 2 in meters wordt gegeven door de formule BD = √(x²+ 160x + 10000) . Hierin is x de afstand tussen punt A en de bushalte B in meters. Het is mogelijk de bushalte zo te plaatsen dat de twee voetpaden even lang zijn.

Bereken op algebraïsche wijze de waarde van x in deze situatie.

52,5

De totale lengte van de twee voetpaden L in meters wordt gegeven door de formule:

Als de twee voetpaden even lang zijn, is de totale lengte van deze voetpaden (ongeveer) 132 meter. Men wil de bushalte zo plaatsen dat de totale lengte van de twee voetpaden minimaal is. Hierdoor hoeft er minder dan 132 meter voetpad aangelegd te worden.

Bereken met behulp van differentiëren hoeveel meter minder.

4 m minder

29.

Examenvraagstuk HAVO, Wiskunde B, 2014 (aangepast).

Schepen die elkaar te dicht naderen worden gewaarschuwd door de kustwacht. Wanneer schepen niet op zo’n waarschuwing hebben gereageerd, stelt de Inspectie Verkeer en Waterstaat een onderzoek in.
De vaarroutes van de UK143 en de Kaliakra elkaar snijden in punt S (zie de figuur).

In de beginsituatie bevindt de UK143 zich op 1,2 zeemijl afstand van S en vaart met een snelheid van 7,0 zeemijl per uur. De Kaliakra bevindt zich op dat moment op 2,8 zeemijl van S en vaart met een snelheid van 16,5 zeemijl per uur. 1 zeemijl is 1852 meter.
De afstanden van de twee schepen tot S zijn gegeven door de volgende formules:
U(t) = 1,2 - 7,0t en K(t) = 2,8 -16,5t

Hierin is t de tijd in uren gemeten vanaf de beginsituatie, U de afstand op tijdstip t van de UK143 tot S in zeemijlen en K de afstand op tijdstip t van de Kaliakra tot S in zeemijlen. We gaan er in deze opgave van uit dat de beide schepen hun koers en snelheid niet veranderen.
De twee schepen komen niet precies op hetzelfde moment in S aan.

Bereken hoeveel seconden verschil hier tussen zit.

4 m minder

De hoek die de vaarroutes van de twee schepen met elkaar maken is 90º.
Voor de afstand D in zeemijlen tussen beide schepen geldt: D(t) = √(321,25t² - 109,20t + 9,28)

Hierin is t de tijd in uren gemeten vanaf de beginsituatie.

Toon deze formule aan.

Bereken algebraïsch de minimale afstand tussen beide schepen. Geef je antwoord in meters nauwkeurig.

21 meter

30.

Uit een vierkant stuk karton van 40 bij 40 cm wordt de uitslag van een piramide geknipt zoals hiernaast staat getekend.

Kies de zijde van het grondvlak 10 cm en bereken de inhoud van de piramide.

Als je de zijde van het grondvlak 2x cm kiest, dan geldt voor de inhoud:

Toon deze formule aan.

Bereken algebraïsch voor welke waarde van x de inhoud maximaal is.

31.

Hiernaast staat een cirkel met straal 10 in een assenstelsel. Daarin is een driehoek ABC getekend zoals aangegeven.

De oppervlakte van de driehoek is gelijk aan
O = (p + 10) • √(100 - p²)

Toon dat aan.

Bereken de maximale oppervlakte van driehoek ABC.

75√3

32.

examenvraagstuk HAVO wiskunde B, 2016-I

De functie f is gegeven door f (x) = √(−3x + 6) . Lijn k heeft vergelijking y = -⁷/₄ • x + ⁷/₂
De verticale lijn met vergelijking x = p snijdt k in punt A en de grafiek van f in punt B. De y-coördinaat van B is groter dan de y-coördinaat van A.
Zie de volgende figuur.

Er is een waarde van p waarvoor de afstand tussen A en B maximaal is.
Bereken met behulp van differentiëren deze waarde van p.

⁸⁶/₄₉

33.

Examenvraagstuk VWO, Wiskunde B, 2016-I

Gegeven is de finctie f(x) = ¹⁶/_√x
Van vierkant ABCD liggen de hoekpunten A en B op de x-as en het hoekpunt D op de grafiek van f.

De x-coördinaten van A en B noemen we respectievelijk a en b, met 0 < a < b .
Hieronder zijn enkele mogelijke situaties voor vierkant ABCD getekend.

Bij de getekende situaties is de afstand van punt B tot de oorsprong aangegeven. Deze afstand b hangt af van a, de x-coördinaat van A. Als a vanaf 0 toeneemt, neemt b eerst af en vervolgens weer toe. Er is dus een waarde van a waarvoor b minimaal is.
Druk b uit in a en bereken vervolgens exact deze minimale waarde van b.

b = 12

34.

Examenvraagstuk HAVO, Wiskunde B, 2021-I

De functie f wordt gegeven door f(x) = 3√x - 2x + 1. Het punt T is de top van de grafiek van f. Zie de figuur.

Bereken exact de coördinaten van T.

(⁹/₁₆, 2¹/₈)

Op het deel van de grafiek van f dat boven de x-as ligt, wordt een punt P gekozen. Het punt A ligt op de x-as en heeft dezelfde x-coördinaat als P. In de figuren hieronder is de situatie voor twee posities van P geschetst. In de rechter figuur is de oppervlakte van driehoek OAP groter dan in de linker figuur.

Er is een positie van P op de grafiek van f zo dat de oppervlakte van driehoek OAP maximaal is. Deze positie van P kun je vinden door de oppervlakte van driehoek OAP in x uit te drukken, waarbij x de lengte van zijde OA is.

Bereken de maximale oppervlakte van driehoek OAP. Geef je eindantwoord in drie decimalen.

1,285