© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. Stel de x-coφrdinaat van  R gelijk aan p
Dan is  PR = 8 - p
verder is QR = 3√p
Oppervlakte PQR = 0,5 • (8 - p) • 3√p
= 4• p1/3  - 0,5 • p4/3
Dat is maximaal als de afgeleide nul is:
1/3 • 4 • p-2/3  - 4/3 • 0,5 • p1/3 = 0
vermenigvuldig met p2/3  en je krijgt   4/3 - 4/3 • 0,5 • p = 0  ⇒  p = 2
De oppervlakte is dan  0,5 • (8 - 2) • 3√2  ≈  3,78
       
  b. uit vraag a geldt voor de oppervlakte 
O = 0,5 • (8 - p) • n√p
O = 4 • p1/n - 0,5 • p(1 + 1/n) 
De afgeleide is:  4 • 1/n • p(1/n - 1) - (1 + 1/n) • 0,5 • p1/n
Dat moet nul zijn voor p = 1/2:   4/n • 0,5(1/n - 1) - (1 + 1/n)•0,5 • 0,51/n = 0
delen door 0,51/n  :  4/n • 0,5-1 - (1 + 1/n) • 0,5 = 0
4/n • 2 = 0,5(1 + 1/n)
8/n = 0,5 + 0,5/n
8 = 0,5n + 0,5
7,5 = 0,5n
n = 15
       
2. Noem het tweede punt waar het gaas bij de muur komt punt C
Stel AB = x  dan is de schuine zijde gelijk aan AC = 500 - x
Pythagoras:   x2 +  AB2 = (500 - x)2 
AB2 = (500 - x)2 - x2 = 250000 - 1000x + x2  - x2  =  250000 - 1000x
AB = √(250000 - 1000x)
Oppervlakte = O = 0,5 • x • √(250000 - 1000x)
Maximaal als de afgeleide nul is. Die moet met de productregel en de kettingregel:
O = 0,5 • x • (250000 - 1000x)0,5 
O '  = 0,5 • (250000 - 1000x)0,5  + 0,5 • x • 0,5 • (250000 - 1000x)-0,5 • -1000 = 0
vermenigvuldig alles met  (250000 - 1000x)0,5   en je krijgt:   0,5 • (250000 - 1000x) - 250x = 0
125000 - 500x - 250x = 0
125000 = 750x
x = 1662/3 = AB
Dan is AC = 500 - x = 3331/3.
       
3. Noem de afstand van de voet van de ladder tot de schutting x.
Noem de hoogte van de ladder tegen de muur h.
Dan volgt uit de gelijkvormige driehoeken van de figuur dat:  h/x + 1 = 3/x
h = 3(x + 1)/x = 3 + 3/x  

Voor de lengte L van de ladder geldt Pythagoras:  L2  = (x + 1)2 + h2
L2  = (x + 1)2 + (3 + 3/x)2  
L2 = x2 + 2x + 1 + 9 + 18/x + 9/x2  
L = √(x2 + 2x + 10 + 18/x + 9/x2 )

L is minimaal als de afgeleide nul is:   L' = 0,5 • (x2 + 2x + 10 + 18/x + 9/x2 )-0,5 • (2x + 2 - 18/x2 - 18/x3) = 0
Dat eerste stuk kan niet nul worden (het is een 1/.... vorm) dus moet het tweede wel nul zijn;
2x + 2 - 18/x2 - 18/x3 = 0
2x4 + 2x3 - 18x - 18 = 0
Helaas die valt niet algebraοsch op te lossen.

Y1 = 2x4 + 2x3 - 18x - 18 = 0  en dan calc - zero geeft  x = 2,08
invullen in de formule voor L geeft dan L = 5,41 m.

(Je had natuurlijk achteraf net zo goed de formule voor L in Y1 kunnen zetten en dan calc - minimum gebruiken)
       
4. Kies de oorsprong in punt Q.
De rivier is een rechte lijn met helling -0,6 en beginpunt  (0, 6) dus vergelijking  y = 6 - 0,6x
Een willekeurig punt R van de lijn heeft dan coφrdinaten (x, 6 - 0,6x)
De afstand van P tot zo'n punt R is (met Pythagoras):   PR = √(x2 + (4 - (6 - 0,6x))2)
De afstand van Q tot zo'n punt R is (met Pythagoras):  QR = √(x2 + (6 - 0,6x)2 )
Samen geeft dat  PR + QR =   √(x2 + (4 - (6 - 0,6x))2) + √(x2 + (6 - 0,6x)2 )
PR + QR = √(x2 + (-2 + 0,6x)2 ) + √(x2 + (6 - 0,6x)2 )
PR + QR = √(x2 + 4 - 2,4x + 0,36x2 ) + √(x2 + 36 - 7,2x + 0,36x2)
PR + QR = √(1,36x2 - 2,4x + 4) + √(1,36x2 - 7,2x + 36)

Y1 =  √(1,36x2 - 2,4x + 4) + √(1,36x2 - 7,2x + 36)
calc - minimum geeft dan  een minimum van  PQ + QR = 7,16  (voor x = 1,32)
       
5. a. Stel de afstand BP gelijk aan x

Dan is AP = 80 - x
Dus kost de route AP:   5 • (80 - x)

Dan is CP = √(x2 + 202) = √(x2 + 400)
Dus kost de route CP:  10 • √(x2 + 400)

Totale kosten:  K = 5 • (80 - x) + 10 • √(x2 + 400)
Minimaal als de afgeleide nul is:
K' = -5 + 10 • 0,5 • (x2 + 400)-0,5 • 2x
-5 + 5 • (x2 + 400)-0,5 • 2x  = 0
vermenigvuldig met  (x2 + 400)0,5  dat geeft   -5 (x2 + 400)0,5 + 10x = 0
5 (x2 + 400)0,5 = 10x
25(x2 + 400) = 100x2
25x2 + 10000 = 100x2
10000 = 75x2
x2 = 1331/3
x =  √262/3 11,547
Dat geeft  K = $573,21
       
  b. uit vraag a) met y ipv x en AB ipv 80:   K = 5 • (AB - y) + 10 • √(y2 + 400)
K' = -5 + 5 • (y2 + 400)-0,5 • 2x
Daar zit AB niet meer in, dus de minimale kosten hangen niet af van AB!
Kennelijk ligt punt P altijd op 11,547 km vanaf  B, ongeacht de lengte van AB
       
6. Noem OA = x
Dan is  AD = √(x2 + 36)  en   BC = √((8 - x)2 + 100) 
De totale omtrek is dan gelijk aan  :
√(x2 + 36)  + √((8 - x)2 + 100)  + 8 + √(16 + 256)
= √(x2 + 36)  + √(164 - 16x + x2)  + 8 + √272

Y1 = √(x2 + 36)  + √(164 - 16x + x2)  + 8 + √272
calc - minimum geeft dan minimale omtrek 42,38 voor x = 3
       
7. a. Teken de loodlijn CE van C op AD.
rechthoek ABCE heeft oppervlakte x • 1 = x
driehoek CED heeft oppervlakte 0,5 • x • ED
ED2 = 22 - x2 = 4 - x2  dus  ED = √(4 - x2)
driehoek CED heeft  dan oppervlakte 0,5x√(4 - x2)

de rechthoek en de driehoek samen hebben oppervlakte  O =  x + 0,5x√(4 - x2)
       
  b. de afgeleide is dan nul:
O' = 1 + 0,5√(4 - x2) + 0,5x• 0,5•(4 - x2)-0,5 • -2x
1 + 0,5√(4 - x2) - 0,5x2•(4 - x2)-0,5 = 0
vermenigvuldig alles met  √(4 - x2), dat geeft  √(4 - x2) + 0,5(4 - x2) - 0,5x2 = 0
√(4 - x2) = -0,5(4 - x2) + 0,5x2
√(4 - x2) = -2 + 0,5x2 + 0,5x2 
√(4 - x2) = -2 + x2
4 - x2  = (-2 + x2)2
4 - x2 = 4 - 4x2 + x4
0 = x4 - 3x2
0 = x2 (x2 - 3)
x2 = 0 ∨   x2 - 3 = 0
x = 0   ∨   x = √3   ∨  x = -√3
De gezochte oplossing is x = √3
Dat geeft   O =  x + 0,5x√(4 - x2) =  √3 + 0,5√3•√(4-3) = 3/2√3
       
8. a. AC:  80 km met  30 km/uur is 8/3 uur
CB:  60 km met 15 km/uur is 4 uur
in totaal 62/3 uur
       
  b. AB = √(802 + 602) = √10000 = 100
100 km met 21 km/uur kost  100/21 = 4,762 uur
       
  c. Noem het punt waar hij overgaat op het slechte ijs punt P.
AP:  80 - x km met 25 km/uur  is  1/25 • (80 - x)  = 0,04(80 - x) uur

PC = √(x2 + 602) = √(x2 + 3600) met snelheid 16 km/uur  kost  1/16•√(x2 + 3600) = 0,0625•√(x2 + 3600)

samen is dat  0,04(80 - x) + 0,0625•√(x2 + 3600) = 3,2 - 0,04x + 0,0625•√(x2 + 3600)

de tijd is minimaal als de afgeleide ervan nul is:
-0,04 + 0,0625•0,5 •(x2 + 3600)-0,5 • 2x = 0
0,04 = 0,0625(x2 + 3600)-0,5 • x
0,04√(x2 + 3600) = 0,0625x
√(x2 + 3600) = 1,5625x
x2 + 3600 = 2,4414x2
1,4414x2 = 3600
x2 = 2497,56
x = 49,976
(de tijd wordt dan overigens 6,081 uur)
       
  d. op dezelfde manier als in vraag c) vind je voor Piet de formule 1/28(80 - x) + 1/v•√(x2 + 3600)  waarin v zijn onbekende snelheid over het slechte ijs is.
De afgeleide is dan -1/28 + 1/v•0,5 • (x2 + 3600)-0,5 • 2x
15 km over de baan betekent x = 80 - 15 = 65
De afgeleide wordt nul als je voor x 65 invult:   -1/28 + 1/v•0,5 • (652 + 3600)-0,5 • 2• 65 = 0
-1/28 + 1/v• 0,7348 = 0
1/v• 0,7347 = 1/28
1/v = 0,0486
v = 20,57  km/uur
       
9. a. nummer 1:  AC = √(602 + 802) = 100 dus de lengte is 200
nummer 2:  60 + 60 + 80 = 200
nummer 3:  80 + 80 + 60 = 220
       
  b. AF = x2 + 302  dus  AF = √(x2 + 900)
er zijn 4 zulke schuine stukken:  4√(x2 + 900)
het horizontale middenstuk is 80 - 2x
samen geeft dat  L = 4√(x2 + 900) + 80 - 2x
       
  c. minimum als de afgeleide nul is:
L'  = 0,5 • 4 • (x2 + 900)-0,5 • 2x  - 2
0 = 0,5 • 4 • (x2 + 900)-0,5 • 2x  - 2
2 = 4x • (x2 + 900)-0,5
vermenigvuldig met  (x2 + 900)0,5 
2• (x2 + 900)0,5  = 4x
4(x2 + 900) = 16x2
4x2  + 3600 = 16x2
12x2 = 3600
x2 =  300
x = √300
L = 4√(x2 + 900) + 80 - 2x = 4√(300 + 900) + 80 - 2√300 = 183,92
       
10. Punt P heeft de coφrdinaten  (x, √(10 - 2x))
OP met Pythagoras:  OP2 = x2 + (10 - 2x)  dus  OP = √(x2 - 2x + 10)
Afgeleide nul:  0,5(x2 - 2x + 10)-0,5 • (2x - 2) = 0
Dat eerste deel is van de vorm  1/... dus kan niet nul worden.
2x - 2 = 0  geeft  x = 1
OP = √(12 - 2•1 + 10) = √(9) = 3
       
11. De y-coφrdinaat van A is dan  √(8 - 2p)
De oppervlakte van de rechthoek is  O = p√(8 - 2p)
Maximaal als de afgeleide nul is:
√(8 - 2p) + p • 0,5(8 - 2p)-0,5 • -2 = 0
vermenigvuldig met  √(8 - 2p) , dat geeft:   8 - 2p - p = 0
8 - 3p = 0
p = 8/3
O =  p√(8 - 2p) =  8/3√(8 - 2• 8/3) = 8/3√(22/3) = 4,35
       
12. a. Zie de figuur hiernaast.
AC = √(52 - x2 ) = √(25 - x2)
AD = AC - 2 = √(25 - x2) - 2

ADE en ACB zijn gelijkvormig, dus  d/AD = x/AC
d/(√(25 - x2) - 2) = x/√(25 - x2)

   
       
  b. d is maximaal als de afgeleide nul is.
     
    1 • (25 - x2)  =  2√(25 - x2) + 2x2 • (25 - x2)-0,5
vermenigvuldig met  (25 - x2)0,5  en je krijgt:  (25 - x2)1,5 = 2(25 - x2) + 2x2
(25 - x2)1,5 = 50 - 2x2 + 2x2
(25 - x2)1,5 = 50
(25 - x2) = 502/3 = 13,572
11,428 = x2
x = 3,38 m.
Omdat dit de maximale d is, past het schilderij er altijd door als de gang maar minstens zo breed is.
       
13. a. r2 = h2 + 52  dus  r = √(h2  + 25)
sinα = h/r = h/√(h2 + 25)
beiden invullen in de L-formule:  L = 1 • h/√(h2 + 25) • 1/(h2 + 25)
Dat geeft precies de gezochte formule.
       
  b. L is maximaal als L' = 0  
   
    Dat is nul als de teller nul is:  (h2 + 25)1,5 = 3h2(h2 + 25)0,5  
delen door (h2 + 25)0,5  geeft  h2 + 25 = 3h2
2h2 = 25
h2 = 12,5
h = √12,5 ≈ 3,53
       
14. Het gedeelte door zee heeft lengte  √(x2 + 122) = √(x2 + 144) dus dat kost 20000·√(x2 + 144)
Het gedeelte over land heeft lengte √(102 + (18 - x)2) dus dat kost  12000·√(102 + (18 - x)2)
De totale kosten zijn dan   K = 20000·√(x2 + 144) + 12000·√(102 + (18 - x)2)
Y1 = 20000·√(x2 + 144) + 12000·√(102 + (18 - x)2)
calc - minimum geeft dan  x = 6,183 km  (geeft totale kosten 455749)
       
15. Stel dat de boot horizontaal x km vanaf school A komt en dus 2 - x km vanaf school B
AP = √(x2 + 0,52 ) = √(x2 + 0,25)  en dan worden 180·√(x2 + 0,25)  km gelopen
BP = √((2 - x)2 + 0,52) = √(4,25 - 4x + x2) en dan worden  250· √(4,25 - 4x + x2) km gelopen.
Het totaal aantal gelopen km is dan   180·√(x2 + 0,25) +  250·√(4,25 - 4x + x2)

Y1 = 180·√(x2 + 0,25) +  250·√(4,25 - 4x + x2)
calc - minimum geeft dan  x = 1,532  (dan worden 461,3 km gelopen)
       
16. a. De basis van de driehoek is OA = 6
De hoogte is de y-coφrdinaat van B en de is  p√(6 - p)
de oppervlakte is dan  0,5·6·p√(6 - p) = 3p √(6 - p)
Als de oppervlakte maximaal is, is de afgeleide nul:
3√(6 - p) + 3p ·0,5(6 - p)-0,5 · -1 = 0
3√(6 - p) =  1,5p (6 - p)-0,5
vermenigvuldig alles met (6 - p)0,5 en je krijgt:   3(6 - p) = 1,5p
18 - 3p = 1,5p
4,5p = 18
p = 4
Voor p = 4 is de oppervlakte maximaal.
       
  b. AC = 6 - p
BC = p√(6 - p)
de oppervlakte is  0,5(6 - p)·p√(6 - p)
= 0,5p(6 - p)1 · (6 - p)0,5
= 0,5p(6 - p)1,5
       
  c. De oppervlakte is maximaal als de afgeleide nul is. Met de productregel en de kettingregel.
0,5(6 - p)1,5 + 0,5p · 1,5(6 - p)0,5 ·-1 = 0
delen door  (6 - p)0,5  geeft  0,5(6 - p) - 0,75p = 0
3 - 0,5p - 0,75p = 0
3 = 1,25p
p = 2,4 
       
17. a. Als AP = x  dan is  PD = 20 - x
AD = √((20 - x)2 - x2 ) = √(400 - 40x + x2 - x2 ) = √(400 - 40x)
de oppervlakte is  0,5 · x · √(400 - 40x)
       
  b. De oppervlakte is maximaal als de afgeleide nul is.  Met de productregel en de kettingregel:
0,5√(400 - 40x) + 0,5x·0,5(400 - 40x)-0,5 · -40 = 0
0,5√(400 - 40x) =  10x(400 - 40x)-0,5
vermenigvuldig alles met  (400 - 40x)0,5  en je krijgt  0,5(400 - 40x) = 10x
200 - 20x = 10x
200 = 30x
x = 200/30 = 20/3
Dan is  de oppervlakte   0,5 · 20/3 · √(400 - 40·20/3) = 38,49
       
  c. O2 = 0,25x2 (400 - 40x) = 100x2 - 10x3
de afgeleide is dan  200x - 30x2  
dat is nul als  x(200 - 30x) = 0
x = 0 ∨  x = 200/30 = 20/3
Dat geeft inderdaad dezelfde oplossing als in vraag b.. Maar wel op een makkelijkere manier.....
       
18. a. Zie de figuur hiernaast. M is het midden van het grondvlak.
AC2 = x2 + x2 = 2x2  dus  AC = √(2x2) = x√2.
Dan is AM = 0,5x√2
Noem de hoogte MT = h
Dan geldt:  h2 + AM2 = AT2
h2 + (0,5x√2)2 = AT2
h2 + 0,5x2 = AT2
AT = √(h2 + 0,5x2)
De totale lengte van alle ribben is dan  4x + 4AT = 4x+ 4• √(h2 + 0,5x2)
    4x+ 4• √(h2 + 0,5x2) = 120
x+ √(h2 + 0,5x2) = 30
√(h2 + 0,5x2) = 30 - x
h2 + 0,5x2 = (30 - x)2
h2 = 900 - 60x + x2 - 0,5x2
h = √(900 - 60x + 0,5x2)

De inhoud is 1/3 • G • h = 1/3x2•√(900 - 60x + 0,5x2)

 
       
  b. De inhoud is maximaal als de afgeleide nul is:
2/3x • √(900 - 60x + 0,5x2)  + 1/3x2 • 0,5 • (900 - 60x + 0,5x2)-0,5 • (-60 + x) = 0
vermenigvuldig alles met  (900 - 60x + 0,5x2)0,5  dat geeft:  2/3x(900 - 60x + 0,5x2) + 1/6x2 • (-60 + x) = 0
600x - 40x2 + 1/3x3 - 10x2 + 1/6x3 = 0
1/2x3 - 50x2 + 600x = 0
x(1/2x2 - 50x + 600) = 0
x = 0  ∨  1/2x2 - 50x + 600 = 0
het tweede deel geeft met de ABC-formule twee oplossingen:  x ≈ 13,94 en x ≈ 86,05
De eerste van die twee is de goede oplossing.
x = 13,94 geeft  I ≈ 821,3  en h = √(900 - 60x + 0,5x2) ≈ 12,67
       
19. a. Zie de figuur hiernaast.
De rechthoek heeft oppervlakte 2x

RQ2 = PR2 - PQ2
RQ2 = 1,52 - x2
RQ = √(2,25 - x2)
De driehoek heeft oppervlakte 0,5 • RQ • PQ = 0,5x • √(2,25 - x2)

Driehoek en rechthoek samen hebben dan oppervlakte 2x + 0,5x√(2,25 - x2)
       
  b. De oppervlakte is maximaal als de afgeleide nul is.
2 + 0,5√(2,25 - x2) + 0,5x • 0,5(2,25 - x2)-0,5 • -2x  = 0
vermenigvuldig alles met (2,25 - x2)0,5  en je krijgt  2√(2,25 - x2) + 0,5(2,25 - x2) - 0,5x2  = 0
2√(2,25 - x2) + 1,125 - 0,5x2  - 0,5x2  = 0
2√(2,25 - x2) =  x2 - 1,125
kwadrateren:  4(2,25 - x2 ) = (x2 - 1,125)2
4(2,25 - x2 ) = x4 - 2,25x2 + 1,265625
0 = x4 + 1,75x2 - 7,734375
Noem  nu x2 = p  dan staat er  0 = p2 + 1,75p - 7,734375
De ABC-formule geeft dan   p = 2,04 ∨   p = -3,79
x2 = 2,04 geeft  x = 1,428
Dat geeft een oppervlakte van  2x + 0,5x√(2,25 - x2) ≈ 3,18 m2    
       
  c. verander in bovenstaande vraag overal de 2 in 1,5 en de 1,5 in 2.
RQ = √(4 - x2)  en de oppervlakte is dan  1,5x + 0,5x√(4 - x2)
afgeleide is   1,5 + 0,5Φ(4 - x2) + 0,5x • 0,5(4 - x2)-0,5 • -2x = 0
1,5√(4 - x2) + 0,5(4 - x2) - 0,5x2 = 0
1,5√(4 - x2)  = x2 - 2
9 - 2,25x2 = x4 - 4x2 + 4
x2 = p  geeft   p2 - 1,75p - 5 = 0  en met de ABC-formule o.a.  p = 3,276  dus  x = 1,81
de oppervlakte is dan 3,485  en dat is 0,305/3,18 = 9,6% meer.
       
  d.

       
    oppervlakte PQR is  0,5 • 2 • 1,5 = 1,5
QR = √(22 + 1,52 ) = 2,5
RS2 = RQ2 - x2
RS = √(6,25 - x2 )
oppervlakte van  QRS is  0,5 • x • √(6,25 - x2 )
De totale oppervlakte is dan  1,5 + 0,5x√(6,25 - x2 )

Die is maximaal als de afgeleide nul is:
0,5√(6,25 - x2 ) + 0,5x • 0,5(6,25 - x2)-0,5 • -2x  = 0
vermenigvuldig alles met (6,25 - x2)0,5  en je krijgt   0,5(6,25 - x2) - 0,5x2 = 0
3,125 - x2  = 0
x2 = 3,125
x = 1,768
de oppervlakte is dan 3,0625

De vorige manier geeft dus de grootste oppervlakte. Dat is ook wel logisch natuurlijk: als deze manier een grotere oppervlakte zou geven dan hadden we bij de vorige vraag ook de oplossing met een hoek van 90Ί moeten vinden.....
       
20. Noem de zijde op het grondvlak x en de zijde die de hoogte van de kegel is h.
Dan is de inhoud van de kegel    I = 1/3•G•h = 1/3πx2h
Pythagoras geeft  x2 + h2 = 4  dus  h = √(4 - x2 )
Dan is I = 1/3πx2√(4 - x2 )
maximaal als de afgeleide nul is:
2/3πx√(4 - x2 ) + 1/3πx2•0,5•(4 - x2 )-0,5 • -2x = 0
vermenigvuldig alles met  (4 - x2)0,5  en je krijgt:   2/3πx(4 - x2 ) + 1/3πx2 • 0,5 •-2x = 0
delen door 1/3π en samennemen:  2x(4 - x2) - x3 = 0
x3 + 2x3 - 8x = 0
3x3 - 8x = 0
x(3x2 - 8) = 0
x = 0  ∨  x2 = 8/3
x = 0  ∨  x = √(8/3)
Als x = √(8/3)   dan is h = √(4 - x2 ) = √(4/3)
       
21. De parabool zal het eerst door een cirkel geraakt worden in het punt dat het dichtst bij de oorsprong ligt.
Een willekeurig punt van de parabool heeft coφrdinaten  (x, 8 - x2)
De afstand tot de oorsprong is dan  √(x2 + (8 - x2)2 ) = √(x2 + 64 - 16x2 + x4 ) = √(x4 - 15x2 + 64)
Die afstand is minimaal als de afgeleide ervan nul is.
0,5 • (x4 - 15x2 + 64)-0,5 • (4x3 - 30x)  = 0
dat kan alleen als dat laatste deel nul is:  4x3 - 30x = 0
x(4x2 - 30) = 0
x = 0  ∨   x2 = 7,5
De  minimale afstand vind je bij  x = √(7,5)
De afstand is dan  √(x4 - 15x2 + 64) = √(56,25 - 15 • 7,5 + 64) = √(7,75)
De oppervlakte is dan  7,75p
       
22. a. Zie de figuur hiernaast.
Na t uur heeft de ene boot 30t afgelegd en de andere boot 40t

Voor de onderlinge afstand AB geldt:
AB2 = (30 - 30t)2 + (80 - 40t)2
AB = √((30 - 30t)2 + (80 - 40t)2 )
AB = √(900 - 1800t + 900t2 + 6400 - 6400t + 1600t2 )
AB = √(2500t2 - 8200t + 7300)
     
  b. Je vindt de minimale onderlinge afstand als de afgeleide nul is:
0,5 • (2500t2 - 8200t + 7300)-0,5 • (5000t - 8200) = 0
Dat is nul als dat laatste deel nul is:
5000t - 8200 = 0  ⇒  t = 1,64
Dan is AB = 24 km
Dat is meer dan 20 km dus ze worden niet opgemerkt
       
23. a. √x = 9/10x + 2/15.
x = (9/10x + 2/15)2
x = 0,81x2 + 0,24x + 0,0178
0 = 0,81x2 - 0,76x + 0,0178
De ABC formule geeft dan  x = 0,914  ∨  x = 0,024
     
  b. in het gebied tussen  0,914 en 0,024 is de fout gelijk aan  √x - (9/10x + 2/15)
Die is maximaal als de afgeleide nul is:
1/2√x - 0,9 = 0
1/2√x = 0,9
2√x = 11/9
√x = 11/18
x = 121/324  = 0,3735  en de fout is dan  17/120 = 0,142
    De grootste fout kan ook aan de rand liggen.
Bij x = 0 is de fout  0,9 • 0 + 2/15 - 0 = 2/15 = 0,133
Bij x= 1 is de fout  0,9 • 1 + 2/15 - 1 = 0,033

De grootste wordt dus gemaakt bij x = 121/324		  
       
24. Een willekeurig punt van de grafiek heeft coφrdinaten (x, √(x + p))
De afstand tot de oorsprong is  √(x2 + x + p)   (met pythagoras)
Die is minimaal als de afgeleide nul is:
0,5 • (x2 + x + p)-0,5 • (2x + 1) = 0
Dat is nul als het laatste deel nul is:   2x + 1 = 0 ⇒  x = -1/2.
Die waarde hangt inderdaad niet van p af.
       
25. a. Zie het zijaanzicht hiernaast.
Als AE = 1 dan is EH = 4
Oppervlakte AEPD = 3
HP = √(42 - 32) = √7
Oppervlakte EPH is 0,5•√7•3

Totale oppervlakte van het zijaanzicht is dan   3 + 1,5√7
De inhoud is  (3 + 1,5√7)• 10 ≈ 70 m3
       
  b. AE = h, geeft  EH = 5 - h
Dan is  HP = √((5 - h)2 - 32) = √(25 - 10h + h2 - 9) = √(16 - 10h + h2)
Oppervlakte AEPD is  3h
Oppervlakte EPH is 0,5 • 3 • √(16 - 10h + h2)
Oppervlakte zijaanzicht is  3h + 1,5 √(16 - 10h + h2)

inhoud is 10 • (3h + 1,5 √(16 - 10h + h2)) = 30h + 15√(16 - 10h + h2)
       
  c. 60 = 30h + 15√(16 - 10h + h2)
60 - 30h = 15√(16 - 10h + h2)
4 - 2h = √(16 - 10h + h2)
(4 - 2h)2 = 16 - 10h + h2
16 - 16h + 4h2 = 16 - 10h + h2
3h2 - 6h = 0
3h(h - 2) = 0
h = 0  ∨  h = 2
Dus AE = BF = 2		  
       
  d. V is maximaal als de afgeleide nul is:
V' = 3 + 1,5 • 0,5 • (16 - 10h + h2)-0,5 • (-10 + 2h) = 0
vermenigvuldigen  met (16 - 10h + h2)0,5  geeft:  3√(16 - 10h + h2) + 0,75(-10 + 2h) = 0
√(16 - 10h + h2) = -0,25(-10 + 2h)
16 - 10h + h2 = 0,0625(100 - 40h + 4h2)
16 - 10h + h2 = 6,25 - 2,5h + 0,25h2
0,75h2 - 7,5h + 9,75 = 0
de ABC-formule geeft  h = 1,53  ∨   h = 8,46
De goede oplossing is dan h = 153 cm.
       
26. a y = mx  snijden met  x = 4 geeft  y = 4m  en dus is  B = (4 , 4m)
y = mx  snijden met  y = -2 geeft  mx = -2 ofwel x = -2/m  en dus is  A = (-2/m , -2)
Pythagoras geeft dan :  AB2 =  (4 - - 2/m)2 + (4m - - 2)2 = (4 + 2/m)2 + (4m + 2)2
Door van beide kanten de wortel te nemen volgt de gevraagde vergelijking.
       
  b.

       
    Leg een assenstelsel aan met de oorsprong in punt P.
Dan is de H25 de lijn met vergelijking y= -4 en de V18 de lijn met vergelijking x = -7 Noem AB = y = mx
Op dezelfde manier als in opgave 7 vinden we dan:

A = (-7 , -7m)  en  B = (-4/m , -4)
AB2 = (-4/m - - 7)2 + (-4 - -7m)2
AB2 = (7 - 4/m)2 + (7m - 4)2
AB = √{(7 - 4/m)2 + (7m - 4)2}

Plot Y1 = √{(7 - 4/X)2 + (7X - 4)2}
WINDOW bijv. Xmin = -5 , Xmax = 0 , Ymin = 0 , Ymax = 50
Bereken met CALC-minimum de minimumlengte.
Dat geeft  X = m = -0.829...  en  Y = AB = 15,363618.. km.
De kortste weg is  dus 15364 meter

       
27. a. In het hoogste punt is de afgeleide van de functie bij OA gelijk aan nul.
y = 2x - 100 + 4 • (625 - 10x)0,5  en dan vind je met de kettingregel:
y' = 2 + 4 • 0,5 • (625 - 10x)-0,5 • -10 = 0
Vermenigvuldigen met (625 - 10x)0,5  geeft  2√(625 - 10x) - 20 = 0
√(625 - 10x) = 10
625 - 10x = 100
10x = 525
x = 52,5
De hoogte is dan  2• 52,5 - 100 + 4 • √(625 - 10 • 52,5) = 45 meter
       
  b. In punt A is de raaklijn verticaal dus is A het randpunt van de functie y = 2x - 100 + 4 • √(625 - 10x)
Dat is als 625 - 10x = 0  ofwel x = 62,5

Je kunt ook zeggen: A is het snijpunt van OA en AB.
De functies aan elkaar gelijkstellen (evt. met de GR) geeft dezelfde oplossing.
       
  c. Dan geldt dat de tweede functie gelijk aan nul moet zijn:
2x - 100 - 4 •√ (625 - 10x) = 0
⇒  2x - 100 = 4 •√(625 - 10x)
⇒  (2x - 100)2 = 16(625 - 10x)
⇒  4x2 - 400x + 10000 = 10000 - 160x
⇒  4x2 -240x = 0
⇒  4x(x - 60) = 0
⇒  x = 0  of  x = 60
De vuurpijl komt dus op afstand 60 meter op de grond.
       
28. a. Gelijke lengtes betekent √(x2 + 1600) = √(x2 - 160x + 10000)
kwadrateren:  x2 + 1600 = x2 - 160x + 10000
160x = 8400 ⇒  x = 52,5 
       
  b. De afgeleide is:

0,5(x2 + 1600)-0,5 • 2x + 0,5 • (x2 - 160x + 10000)-0,5 • (2x - 160)

Dat moet gelijk zijn aan nul.
Voer de formule voor L' in in de GR bij Y1 = ...
Gebruik dan calc - zero en dat geeft  x = 32
Die moet je weer invullen in de oorspronkelijke formule voor L, en dat geeft  L ≈ 128 m.
Dat is dus 4 meter minder.
       
29. a. Als de boten bij S zijn dan is hun afstand tot S gelijk aan nul.
1,2 - 7,0t = 0   geeft  t = 0,1714 uur en dat is 617 seconden
2,8 -16,5t = 0  geeft  t = 0,1697 uur en dat is 611 seconden
Dat scheelt dus 6 seconden
       
  b. Zie de figuur hiernaast
Pythagoras:

D2 = (1,2 - 7,0t)2 + (2,8 - 16,5t)2
D2 = 1,44 - 16,8t + 49t2 + 7,84 - 92,4t + 272,25t2
D2 = 9,28 - 109,2t + 321,25t2
D = √(9,28 - 109,2t + 321,25t2)

       
  c. D = √(9,28 - 109,2t + 321,25t2) = (9,28 - 109,2t + 321,25t2)0,5 

D' =  0,5 • (9,28 - 109,2t + 321,25t2)-0,5 • (-109,2 + 642,5t)  = 0
Dat kan alleen als het laatste deel nul is:
-109,2 + 642,5t = 0
t = 0,169961
Invullen geeft  D = 0,01116 zeemijlen
Dat is  0,01116 • 1852  = 21 meter
       
30. a.

       
    x = 5 in de figuur hierboven.
BT = 40√2  dus  AT = 1/2 • (40√2 - 2 • 5) = 20√2 - 5 = 23,28
pythagoras rechts:   23,282 - 52 = h2    geeft  h = 22,74
Inhoud = 1/3 • 52 • 22,74 = 189,51 cm3
       
  b. AT = 1/2 • (40√2 - 2x) = 20√2 - x
(20√2 - x)2 - x2 = h2
800 - 40x√2 + x2 - x2 = h2
h = √(800 - 40x√2)
I = 1/3 • (2x)2 • √(800 - 40x√2) = 4/3 • x2 • √(800 - 40x√2)
       
  c. De afgeleide I'  moet dan nul zijn.  Met de productregel:
I ' =  4/3 • 2x • (800 - 40x√2)0,5  +  4/3 • x2 • 0,5 • (800 - 40x√2)-0,5 • -40√2 = 0
vermenigvuldig alles met  (800 - 40x√2)0,5  dan krijg je:
4/3 • 2x • (800 - 40x√2) - 4/3 • x2 • 0,5 • 40√2 = 0
delen door 4/3 en door x, en de haakjes wegwerken:
1600 - 80x√2 - 20x√2 = 0
1600 - 100x√2 = 0
100x√2 = 1600
x = 16/√2    (≈ 11,31 cm)
       
31. a. OD2 =  p2 = 102 - CD2
CD2 = 100 - p2
CD = √(100 - p2)

AD = 10 + p
oppervlakte O = 1/2 • CB • AD = 1/2 • 2 • √(100 - p2)(10 + p)
O = √(100 - p2)(10 + p)
     
  b. O ' = 0   met de productregel:
0,5 • (100 - p2)-0,5 • -2p • (10 + p) + (100 - p2)0,5 • 1 = 0
vermenigvuldig alles met (100 - p2)0,5 : 
-p • (10 + p) + 100 - p2  = 0
-10p - p2 + 100 - p2 = 0
p2 + 5p - 50 = 0
(p - 5)(p + 10) = 0
p = 5    (∨  p = -10 maar dat is onzin)
p = 5  geeft  O = 15√75 = 75√3
       
32. De afstand tussen A en B is   L =  yB - yA = (√(-3x + 6) - (7/4x + 7/2)  = (-3x + 6)0,5 - 7/4x - 7/2
Dat is minimaal als de afgeleide ervan nul is:
L' = 0,5 • (-3x + 6)-0,5 • -3  - 7/4  = 0    (die -3 komt natuurlijk van de kettingregel)
0,5 • (-3x + 6)-0,5 • -3 = 7/4
1,5 • (-3x + 6)-0,5 = 7/4
(-3x + 6)-0,5 =  7/6
(-3x + 6)0,5 = 6/7
-3x + 6 = 36/49
-3x = -258/49
x = 86/49  ≈ 1,755...
       
33. AD = 16/√a
b = OA + AB = a + AD = a + 16./√a

b'  =  1 - 8a-1,5 = 0
8a1,5 = 1
a1,5 = 8
a = 81/1,5 = 82/3  = 4
dan is b = 4 + 16/√4 = 12
       
34. a. f (x) = 3√x - 2x + 1 = 3x0,5 - 2x + 1
f ' (x) = 1,5x-0,5 - 2
Voor de top geldt:  1,5x-0,5 - 2 = 0
1,5x-0,5 = 2
x-0,5 = 4/3
x0,5 = 3/4
x = 9/16
Dan is  y = 3 • 3/4 - 2 • 9/16 + 1 = 21/8
Dus T = (9/16, 21/8)
       
  b. OA = x
OP = y = 3√x - 2x + 1
oppervlakte =  0,5 • OA • OP = 0,5 • x • (3√x - 2x + 1)
oppervlakte = 1,5x1,5 - x2 + x
Y1 = 1,5x1,5 - x2 + x
calc - maximum  geeft  maximale oppervlakte  1,285
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)