De afgeleide van logx.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Dit was een belangrijk resultaat:
ln(x) =  elog(x)

Omdat we de afgeleide van ex kennen (dat is immers weer ex) kunnen we nu de afgeleide van ln(x) bepalen. Dat gaat als volgt.
Eerst gaan we kijken wat er met de afgeleide van een functie gebeurt als deze wordt gespiegeld in de lijn y = x.

De rode grafiek in de linkerfiguur wordt gespiegeld in de lijn y = x. De twee blauwe lijnen zijn de raaklijnen in de punten R (die elkaars spiegelbeeld in y = x zijn). In de rechterfiguur zie je die twee raaklijnen nogmaals.
De bovenste raaklijn heeft helling   Δy/Δx  = groen/paars   en de onderste heeft helling  Δy/Δx = paars/groen Aan de lengte en kleur van die lijnstukjes zie je dat die twee precies elkaars omgekeerde zijn;
Bij spiegelen in y = x wordt de helling het omgekeerde
Dat gaan we nu gebruiken om de helling van lnx te bepalen, want we weten dat lnx = elogx  en dat is de inverse van ex dus die grafieken zijn elkaars gespiegelde in y = x.
Hiernaast staan beide grafieken getekend.
Het punt (p, ep)  ligt op de grafiek van  ex  dus de helling in dat punt is de afgeleide van ex en dat is weer ex . Die helling bij x = p is dus ep .

Maar volgens de stelling hierboven heeft de grafiek van ln(x) in het punt  (ep, p) dan de omgekeerde helling, dus  helling  1/ep .
Dus elk punt waar x = ep  heeft helling  1/een dat is  1/x
Conclusie:

   
Wacht... Dat kan Sneller!
   
Het bewijs van die afgeleide met dat gedoe van die grafieken hierboven kan ook algebraïsch in één regel.
Kijk maar:
elnx = x   dus de afgeleides zijn ook gelijk:   (elnx)'  = elnx • (lnx)'  = 1  dus dan is  (lnx)' = 1/elnx1/x.   q.e.d.
 

 

   
1. Geef de afgeleide van de volgende functies:
           
a. f(x) = 6x + 4lnx d. f(x) = x • ln(x) g.   f(x) = (lnx)2
b. f(x) = 3ln(2x + 4) e. f(x) = (1 + lnx)/x h.   f(x) = 6 - ln(x2)
c. f(x) = x3 + 3 - 2lnx f. f(x) = (3 + lnx)4 i.    f(x) =  ln(lnx)
2. Gegeven is de functie:

Een lijn door de oorsprong raakt de grafiek van f(x). Bereken de exacte waarde van de coördinaten van het raakpunt.
         

(1/(ee) , ee)

3.
Gegeven zijn de functies:
Geef een vergelijking van de verzameling van punten op de grafieken van fp waarin de raaklijn horizontaal loopt.
         

y = -1/x

4. De afgeleide van f(x) = xx  is lastig te bepalen, maar als je je bedenkt dat a hetzelfde is als elna  dan geeft dat mogelijkheden.......
     
a. Toon aan dat geldt  xx = exlnx
     
b. Toon met deze formule aan dat voor de afgeleide van  xx  geldt  f ' = xx • (1 + lnx).
5.
a. Neem k = 1.
Bereken exact de coördinaten van de top van de grafiek van f1

(e, 1/e)

Voor elke waarde van k ≠ 0 heeft de grafiek van fk één top.
De top van de grafiek van f1 ligt op een kromme met vergelijking  y = 1/x
b. Bewijs dat voor elke waarde van k ≠ 0 de top van de grafiek van fk op de kromme y = 1/x ligt.
De waarde van k wordt zodanig gekozen dat de grafiek van fk de lijn y = 1 snijdt in de punten A en B. De lengte van AB hangt af van de keuze van k.
c. Onderzoek wat de kleinste gehele waarde van k is, waarvoor de lengte van AB groter is dan 1. Licht je antwoord toe.
         

k = 4

  d. Wat is de exacte waarde van k waarvoor AB = 1?
         

e(1/(e -1))(e - 1)

           
6. Gegeven zijn de functies f(x) = ln(2 - x)  en  g(x) = 1 + lnx.
De lijn y = p snijdt de grafiek van f in punt A en de grafiek van g in punt B.
De raaklijnen aan de grafieken in A en in B hebben richtingscoëfficiënten a en b
Toon aan dat de verhouding tussen a en b constant is.
           
7. Voor welke waarden van p raakt de grafiek van   f(x) = (1 - x)/(x - 2)  aan de grafiek van g(x) = p + lnx ?
         

0 en -1,5- ln4

8.
  Daarin is  a > 0

D is de driehoek die is ingesloten door de x-as, de y-as en de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (1,0)
Bereken voor welke waarde(n) van a de oppervlakte van D kleiner is dan 2.
         

0 < a < 4

9.
           
  a. Bereken algebraïsch  de coördinaten van de extremen van de grafiek van f
         

(1,0) en (e2, 4/e2)

  b. De raaklijn in x = e3 aan de grafiek van f snijdt de x-as in punt P en de y-as in punt Q.
Bereken de oppervlakte van driehoek OPQ
         

24

10. a.
           
  b. Gegeven zijn de functies  fp(x) = 2x - px
Gebruik het resultaat van vraag a) om algebraïsch te berekenen voor welke waarde van p de grafiek van fp de x-as raakt. 
         

p = eln2

           
11. Gegeven zijn de functies  fa(x) = a • lnx
De grafieken van deze functies zijn te verkrijgen door de grafiek van y = lnx te vermenigvuldigen met factor a ten opzichte van de x-as.
           
  a. Voor welke a raakt de lijn y = x de grafiek van fa(x)?
         

a = e

  b. De grafieken van f2(x) en g(x) = ln(x + 6) snijden elkaar.
Bereken in welk punt en onder welke hoek dat gebeurt.
         

(3, 2ln3) 27,35º

   
12. Gegeven is de functie  f (x) = ln2x + 2lnx - 2
           
  a. Stel een vergelijking op van de buigraaklijn van de grafiek.
         

y = 2x - 4

  b. Er zijn twee lijnen vanuit O die de grafiek van f raken. Stel van elk van deze lijnen een vergelijking op.
         

y = 6/e2 • x
y = -
2e2x

           
13. Gegeven is de functie  f(x) =  x/lnxGeef de vergelijking van de buigraaklijn.
         

y = 1/4x -1/4e2

           
14. Gegeven zijn de functies  f(x) = xlnen  g(x) = x - 3
De lijn x = p snijdt de grafiek van f in punt P en de grafiek van g in punt Q
Bereken de minimale lengte van lijnstuk PQ.
         

2

           
     
De afgeleide van f(x) = glogx

Nou we de afgeleide van lnx eenmaal kennen is dit een makkie. We gebruiken de formule voor het veranderen van grondtal van een logaritme:

Neem in deze formule p = e, en je krijgt:

Die 1/lng is een constante, dus dat geeft voor de afgeleide:  1/lng1/x = 1/(xlng)
Conclusie:
15. Geef de afgeleide van de volgende functies:
a. f(x) = 2logx c. f(x) = 5x - 5logx e.  f(x) = 4log(x) + 4log(2x)
b. f(x) = 3log(3x) d. f(x) = 4log(Öx) f.   f(x) = xlog3
16. Voor de lengte van baby's tussen 1 maand en 12 maanden oud geldt bij benadering de volgende formule:
L(t) = 53,4 + 1,1t + 1,4log t
Daarin  is L de lengte in cm, en t de tijd in maanden (met dus  t in [1, 12])
a. Bereken de lengte van een 7 maanden oude baby.
   

66,9 cm

b. Met welke snelheid groeit een baby van 6 maanden oud?
   

1,6 cm/maand

c. Op welk moment groeit een baby met een snelheid van 2,0 cm per maand?
         

3,3 maand

17. Het kenmerk van een "rage" is dat er van een bepaald artikel in korte tijd erg veel wordt verkocht, en dat daarna de belangstelling ervoor weer snel verdwijnt. Een wiskundig model voor een rage ziet er vaak uit als:
N(t) = alog(t + b) - ct
Daarin zijn a, b en c positieve constanten. N is het aantal verkochte artikelen (in tientallen), en t is de tijd in dagen.
a. Als er 80 artikelen worden verkocht op t = 0 dan moet gelden a8 = b .
Toon dat aan.
Voor een bepaald artikel geldt  a = 1,1 en  b = 2 en  c = 1,2
b. Bereken algebraïsch hoeveel artikelen er tijdens deze rage maximaal verkocht worden.

146 á 147

  c. Onderzoek voor deze rage na hoeveel dagen het aantal verkochte artikelen weer op het oorspronkelijke niveau is teruggekeerd.
   

21 á 22

     
18. Dankzij een campagne voor "meer bewegen" neemt het aantal abonnementen op een sportschool in een stad snel toe. Bij benadering geldt de formule:   A(x) = 50 •  2log(x2 + 6)
Daarin is A het aantal abonnementen en x de tijd in dagen met x = 0 op het moment dat de campagne begint.
     
  a. Wanneer zullen er  voor het eerst meer dan 400 abonnementen zijn?
   

t = 16

  b. Met welke snelheid (abonnementen per dag) verandert het aantal op x = 10?
   

13,61

  c. Op tijdstip groeit het aantal abonnementen het snelst?
   

t = 2,45

     
19. Een bergbeklimmer gaat een berg aan de steile zijde beklimmen om daarna langs de vlakkere zijde weer naar beneden te wandelen.

De vorm van de berg is ongeveer gelijk aan de functie: 
h
(x) = 1500 • log(5x + 1) - 100x

Hoe hoog is de berg? Geef een algebraïsche berekening.

 

1638 m

       
     
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)