© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
1. examenvraagstuk Wiskunde B, 1986.

Met domein R+ is gegeven de functie:  f  :  x →  16lnx + x2 - 12x + 11
Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is  Kf  de grafiek van f.
       
  a. Bewijs dat het punt (1,0) op Kf  ligt.
Bereken in één decimaal nauwkeurig het maximum en het minimum van f.
       
  b. Bewijs dat Kf  precies één buigpunt heeft.
       
2. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1986.

Met domein R+ is voor elke p ∈ R  gegeven de functie  fp :  x →  ln2x + 2plnx - 3
Onderzoek welke waarden het minimum van fp kan aannemen.
       
3. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2001.
       
  Voor elke a ∈ R\{0} is de functie fa gegeven door:

 
  In de figuur hiernaast is de grafiek van fa getekend voor enkele waarden van a.
     
  a. Bereken voor welke waarde van a de maximale y-coördinaat van een punt op de grafiek van fa gelijk is aan 3.
     

a = 3e
  b. Bereken de waarden van a waarvoor de grafiek van fa de x-as snijdt onder een hoek van 30º
     

a = ±1/3√3
4. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2001.
       
  De functies f en g zijn gegeven door:
f(x) = ln2x
g(x) = ln(2 - x)

Hiernaast zijn de grafieken van f en g getekend met snijpunt S

     
  a. Bereken de hoek waaronder de grafieken van f en g elkaar snijden; geef het antwoord in graden nauwkeurig.
     

87º
  De lijn met vergelijking x = p snijdt de grafiek van f in het punt A en de grafiek van g in het punt B.
       
  b. Bereken p in het geval dat AB = ln2.  
     

1 en 2,5
  C is het punt van de grafiek van f waarvoor geldt dat de richtingscoëfficiënt van de lijn OC maximaal is.
       
  c. Bereken de coördinaten van C.
     

(1/2e, 1)
5. examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2003.

Gegeven is de functie  f (x) = 2 ln(x + 1) + ln (2 - 2x)
       
  a. Bereken het domein van f .
     

〈-1,1〉
  b. Bereken met behulp van differentiëren de exacte waarde van de x-coördinaat van de top van de grafiek van f.
     

1/3
   
6. examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2004.

Gegeven is de functie  f(x) = ln(4 - x).   Gegeven is verder de functie g(x) = 2 • ln(x + 2)
Met domein -2 < x < 4 is de functie h gegeven door h(x) = f(x) + g(x)
Het functievoorschrift van h kan geschreven worden als  h(x) = ln(16 + 12x - x3)
     

  a. Toon dit algebraïsch aan.
     
  Op de grafiek van h ligt een punt B.
In dit punt B is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van h gelijk aan 2. Zie de figuur hiernaast.
     
  b. Bereken met behulp van differentiëren van h de x-coördinaat van B. Rond je antwoord af op twee decimalen.
     

-1,09
       
7. examenvraagstuk Wiskunde B, 1986.

Een gezonde volwassene is ’s morgens langer dan aan het einde van de dag. De Australische wetenschapper D. Burgess heeft dit verschijnsel onderzocht en publiceerde in 1999 de volgende formule voor de lengtefractie S:
S = ln(−0,00216t + 2,7183) . Hierin is t het aantal uren nadat een persoon is opgestaan en S de verhouding tussen de lengte L van die persoon ten opzichte van zijn lengte L0 bij het opstaan.
Dus S = L/L0

Meneer Jansen heeft als hij uit bed komt een lengte van 170,0 cm.
       
  a. Bereken na hoeveel tijd meneer Jansen volgens de formule 2,0 cm korter is geworden. Geef je antwoord in minuten nauwkeurig.
     

14:44
  We gaan er in het vervolg van de opgave van uit dat een persoon na het opstaan 16 uur actief is, dus na 16 uur weer gaat slapen.
  In de figuur hiernaast is de grafiek van S als functie van t getekend. Deze grafiek lijkt zo op het eerste gezicht een rechte lijn, maar door de formule weten wij dat dit niet zo is.
     
  b. Leg met behulp van de tweede afgeleide uit of er voor
0 ≤ t ≤ 16 sprake is van toenemende of afnemende daling
     
  De grafiek van S valt nagenoeg samen met de rechte lijn door de punten (0; 1,0000) en (16; 0,9872).
  Is de formule van S met de natuurlijke logaritme, zoals gepubliceerd door de Australische wetenschapper, niet onnodig ingewikkeld? We zouden voor S ook gewoon een lineaire functie van t kunnen nemen.
We vergelijken daarom de formule S = ln(−0,00216t + 2,7183) met de formule S = −0,0008t +1,0000 die hoort bij de rechte lijn door de punten (0; 1,0000) en (16; 0,9872). We nemen weer meneer Jansen, met een lengte van 170,0 cm bij het opstaan, als voorbeeld. Met behulp van beide formules kun je op elk tijdstip t (met 0 ≤ t ≤16 ) de lengte van meneer Jansen in de loop van de dag uitrekenen. Ook kun je op elk tijdstip t het verschil tussen de uitkomsten van beide formules bekijken.
       
  c. Bereken het maximale verschil voor de lengte van meneer Jansen dat de twee formules kunnen opleveren.
     

0,0050 cm
       
8. examenvraagstuk VWO, Wiskunde B, 2010.  
     

  De functies f en g zijn gegeven door f(x) = 4 • lnx en g(x) = (lnx)4  met x > 0 . De grafieken van f en g snijden elkaar in de punten S en T.
Een lijn x = p snijdt tussen S en T de grafiek van f  in A en de grafiek van g in B. Zie de figuur.

Er is een waarde van p waarvoor de lengte van lijnstuk AB maximaal is.

Bereken exact de maximale lengte van AB. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.
     
   

AB = 3
       
9. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2009  
       
  De functies f en g zijn gegeven door f(x) = ln(x) en g(x) = ex . In onderstaande figuur zijn de grafieken van beide functies getekend. De lijn k is een gemeenschappelijke raaklijn aan de grafieken van f en g. Het punt waarin k de grafiek van f  raakt, noemen we P( p, ln(p)) , met p > 0. Het punt waarin k de grafiek van g raakt, noemen we Q(q, eq ), met q < 0 .

Omdat k raaklijn is in punt P aan de grafiek van f,  
is  y = 1/p x + ln(p) − 1 een formule voor k.
     
  a. Toon dit aan.
     
   
  Omdat k raaklijn is in punt Q aan de grafiek van g, is ook y = eq x + eq(1 − q) een formule voor k.
       
  Uit de twee formules voor k kunnen we twee verbanden tussen p en q afleiden:  eq = 1/p  (oftewel p = e−q ) 
en   eq(1 − q) = ln(p) −1.
Uit deze twee verbanden volgt dat q voldoet aan de vergelijking:   eq = (q + 1)/(q - 1)
       
  b. Toon aan dat deze laatste vergelijking volgt uit de twee genoemde verbanden tussen p en q.
       
  c. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de richtingscoëfficiënt van de gemeenschappelijke raaklijn k.
     

  0,21 

10. Hiernaast zie je de grafieken van
f(x) = ln(√x)  en  g(x) = √(lnx)

Het lijkt erop dat de grafieken elkaar snijden in (1, 0). Dat is ook zo. Er is nog een snijpunt van beide grafieken.
     
  a. Geef de coördinaten van dat tweede snijpunt.
 

  (e4, 2) 

  Twee evenwijdige lijnen raken de grafieken van f en g voor dezelfde x = p
     
  b. Bereken de verticale afstand tussen deze lijnen.
   

  1/2 

 
       
11. Hiernaast zie je de grafieken van
f(x) = ln(2x)  en  g(x) = ln(x + 1)

Een rechte lijn raakt beide grafieken; de grafiek van f  in punt A en de grafiek van g in punt B. Zie de figuur.

In dat geval geldt  xA - xB = 1

     
  a. Toon dat aan.
     
  b. Bereken de x-coördinaat van A.
     

  1/e² 

       
12. Gegeven  zijn de functies :  
f(x) = 2ln(-x) en  g(x) = ln(x + 6)

     
  a. Los algebraïsch op:   g(x) ≤  f(x)
     
  De lijn x = p snijdt de grafieken van f en g in de punten A en B. De raaklijnen in A en B aan de grafieken f en g vormen samen met AB een gelijkbenige driehoek met basis AB.
     
  b. Bereken algebraïsch de waarde van p.
     
  c. Bereken de oppervlakte van deze driehoek.
       
13. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2017-I
       
  De functies  f en  g zijn gegeven door:   f(x) = lnx   en  g(x) = (1/2e) • x2 
Ga na met exacte berekening of de grafieken van  f en g elkaar raken.
       
14. Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2018-I

De Shannon-index H is een maat voor de diversiteit (verscheidenheid) van een dieren- of plantenpopulatie in een gebied. Hoe hoger de Shannon-index, hoe groter de diversiteit.
We kijken naar een gebied met twee soorten bomen. De formule voor de Shannon-index is dan:

H = - ( p1 ln( p1) + p2 ln( p2 ))

waarin p1 en p2 de aandelen van elke soort binnen het gebied zijn. Er geldt bijvoorbeeld dat p1 = 0,37 als 37% van de bomen uit soort 1 bestaat.

Bos A bestaat voor 70% uit eiken en voor 30% uit beuken en bos B bestaat voor 90% uit eiken en voor 10% uit beuken.
       
  a. Onderzoek met de formule voor H van welk van beide bossen de Shannon-index het grootst is.
       
 

In een bos met twee soorten bomen, eiken en beuken, geldt: als p het aandeel eiken is, is het aandeel beuken gelijk
aan 1 – p. De formule voor de Shannon-index kan dan geschreven worden als:

H = - (pln( p) + (1 - p)ln(1 - p))
       
  b. Onderzoek met de grafische rekenmachine tot welke waarde de Shannonindex nadert als het aandeel eiken in het bos steeds kleiner wordt.
       
  c. Bereken met behulp van  dH/dp voor welke percentages eiken en beuken de Shannon-index H van het bos maximaal is
     

  50-50 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)