1.

Examenopgave HAVO wiskunde B, 2009
 
  De functie f is gegeven door f(x) = ln(x + e).
De grafiek van f snijdt de x-as in punt P en de y-as in punt Q. Zie de figuur hiernaast.

De lijn y = ax + b gaat door de punten P en Q
     
  a. Bereken de waarden van a en b exact
   

1/e en 1
  Punt R ligt op de grafiek van f. 
De helling in punt R is gelijk aan  2/e
     
  b. Bereken de x-coördinaat van punt R exact
     

x = -1/2e
   
2. Gegeven is de functie  f(x) =  3ln(2x)
       
  a. De grafiek van f is uit de grafiek van y = 3lnx te verkrijgen door die over een afstand omhoog te schuiven. Welke afstand?
     

3ln2
  b. De formule voor f(x) is ook te schrijven als  f(x) = ln(axn).
Voor welke a en b is dat zo?
     

a = 8, n = 3
  c. Geef een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in het snijpunt met de x-as.
     

y = 6x - 3
       
3. Examenopgave VWO Wiskunde A, 2003

Vliegtuigen veroorzaken in de buurt van vliegvelden veel geluidsoverlast. In milieuwetten is vastgelegd welke geluidsbelasting (hoeveel geluid) nog toegestaan is.

De geluidsbelasting B op een plaats in de buurt van een vliegveld hangt af van het aantal vliegtuigen dat per jaar passeert en van het geluidsniveau van elk vliegtuig. Het geluidsniveau per vliegtuig geven we aan met L. Het aantal vliegtuigen per jaar noemen we N.

De formule die het verband tussen  L, N en B geeft is: B = 20 • log N + 4/3L - 157

Voor L, het geluidsniveau per vliegtuig, geldt op zeker moment L = 72.
Vanzelfsprekend zal een toename van het aantal vliegtuigen ook de geluidsbelasting doen toenemen. Met behulp van de afgeleide  dB/dN kun je onderzoeken in welke mate dat het geval is. Men wil weten bij welke waarde van N een toename van 10 000 vliegtuigen de geluidsbelasting met 1 zal doen toenemen.

Stel een formule op voor dB/dN en gebruik dB/dN om deze waarde van N te berekenen.
       
4. Examenopgave VWO Wiskunde A, 2018
 


In 1992 publiceerden de Amerikaanse wiskundigen Bayer en Diaconis een artikel over het schudden van kaarten.
Voor dit artikel hadden zij de meest gebruikte manier van schudden onderzocht, de zogeheten Riffle Shuffle (zie de foto).

Zij kwamen tot de conclusie dat het met deze schudtechniek niet mogelijk is een stapel kaarten écht willekeurig te maken, zoals bijvoorbeeld een computer dat wel kan.
Voor het spelen van een kaartspel is het goed genoeg als de kaarten “voldoende willekeurig” geschud zijn.
  Bayer en Diaconis ontdekten tijdens hun onderzoek dat het aantal keren dat een stapel kaarten minstens geschud moet worden om als “voldoende willekeurig” bestempeld te worden, kan worden benaderd met de formule:
       
 

A = 1,5 • 2log(n)
       
 

In deze formule is A het aantal keren dat een stapel van n kaarten minstens geschud moet worden om als “voldoende willekeurig” bestempeld te worden. A wordt naar boven afgerond op een geheel getal.

Het kaartspel jokeren wordt gespeeld met twee sets van 52 speelkaarten, aangevuld met in totaal 4 zogeheten jokers.
       
  a. Bereken hoe vaak de kaarten bij jokeren minstens geschud moeten worden volgens de formule van Bayer en Diaconis.
       
  Als het aantal te schudden kaarten toeneemt, neemt ook het aantal keren dat er minstens geschud moet worden toe. Dit aantal neemt echter steeds langzamer toe. Je kunt dit zien aan de afgeleide  dA/dn
       
  b. Stel de formule op van de afgeleide dA/dn en beredeneer aan de hand van deze formule, dus zonder getallen in te vullen of een schets te maken, dat A afnemend stijgend is.
       
 

In de meeste casino’s kun je het spel blackjack spelen. Dat wordt over het algemeen gespeeld met vier spellen kaarten (totaal 208 kaarten).
Het aantal keer dat zo’n groot aantal kaarten minstens geschud moet worden is helemaal niet zo groot: volgens de formule van Bayer en Diaconis slechts 12 keer. Dat is maar drie keer schudden meer dan bij één spel kaarten.

Volgens de formule van Bayer en Diaconis geldt in het algemeen: als het aantal kaarten vier keer zo groot wordt, hoeft er maar drie keer extra geschud te worden.
       
  c. Toon dit aan met behulp van de formule voor A en de rekenregels voor logaritmen zonder gebruik te maken van getallenvoorbeelden.
       
5. Examenopgave VWO Wiskunde B, 2018-II

Voor a > 0 wordt de functie fa gegeven door fa (x) = x - xln(ax) .
       
  a. Bewijs dat voor elke toegestane waarde van x geldt: 1/2 • (fa(x) + f1/a(x)) = f1(x)
       
  Voor elke positieve waarde van a geldt:
  - de grafiek van fa snijdt de x-as in precies één punt S (met x-coördinaat xS);
  - de grafiek van fa heeft één top T (met x-coördinaat xT).
       
  In de figuur zijn voor een waarde van a de grafiek van fa en de punten S en T weergegeven.
       
 

       
  Bewijs dat voor elke positieve waarde van a de verhouding xS/xT constant is.
       
6. Examenopgave VWO Wiskunde B, 2019-I
       
 

De functies f en g worden gegeven door:  f (x) = x ln(x) - x + 1   en  g(x) = f '(x)
  Bereken exact de x-coördinaten van de snijpunten van de grafieken van f en g.
     

x = 1, x= e
7. Examenopgave VWO Wiskunde B, 2022-I
       
  De functies fp  en gp zijn gegeven door:
 
     
  Er bestaat een waarde van p waarbij de lijn y = x de gemeenschappelijke raaklijn is van de grafieken van fp en gp .
Deze situatie is in de figuur hiernaast weergegeven.

Bereken exact de waarde van p waarvoor de lijn
y = x de gemeenschappelijke raaklijn is van de grafieken van fp en gp .
     

p = e