De ABC-formule

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De ABC-formule (ook wel de wortelformule) is een formule om tweedegraads vergelijkingen op te lossen. Dat zijn dus vergelijkingen met als hoogste macht van x het getal 2.  Daarom heten ze ook wel kwadratische vergelijkingen.
Zo'n kwadratische vergelijking kan altijd in de volgende basisvorm worden geschreven:
ax2 + bx + c = 0
Daarin zijn a, b en c elke keer weer anders. Soms moet je om deze vorm te krijgen eerst wat haakjes wegwerken en/of verschillende termen samennemen. Kijk maar naar het volgende voorbeeldje:
voorbeeld
De vergelijking die we hebben is   2 • (x - 4)  = 3x + (x + 4)(x - 2)
Dat lijkt in de verste verte nog niet op de vorm hierboven, maar let op hoe we de vergelijking stap voor stap kunnen veranderen:
3 • (x - 4) + 6x2 = 3x + (x + 4)(x - 2)
⇒  3x - 12 + 6x2 = 3x + x2 - 2x + 4x - 8
⇒  3x - 12 + 6x2 - 3x - x2 + 2x - 4x + 8 = 0
⇒  5x2 - 2x - 4 = 0
Voilà, daar is ie al!!!  Er geldt dus  a = 5 en  b = -2  en  c = -4  
1. Geef van de volgende vergelijkingen  a, b en c.
a. 5x + 2x2 - 3 = 0 f. (x - 2)(x + 7) = 5
b. 2x2 - x - 1 = 5 + 3x g. 4 - (x - 1)(x + 3) = 0
c. 4x2 + 2 - 6xx + x2 h. x2 + 3(x - 2) = -x2 + 5
d. 8 - 6x2 = x2 + 5 i. 3x2 + 2x = 2x -
e. -x2 - x = 5 + 2x2 j. (4 - x)2 = 5(2 + x)
2. Schrijf de oppervlakte van de rode gebieden hieronder in de vorm  ax2 + bx + c

Als je de a, b en c van zo'n vergelijking eenmaal hebt gevonden kun je direct de oplossingen ervan opschrijven. Daarvoor moet je wel de volgende formule uit je hoofd leren:
Het teken  ±  betekent  niet "plusminus" of "ongeveer" zoals in het normale Nederlands, maar het betekent "plus óf min".
Eigenlijk staan hierboven dus twee formules:
Het bewijs van deze formule kun je hiernaast  vinden, maar daarvoor moet je wel eerst de les "kwadraat afsplitsen" hebben gevolgd.

KIJK UIT MET MINTEKENS!!
Het "even invullen" van de ABC-formule gaat vaak mis als er mintekens in a, b of c voorkomen. En dan met name dat stuk onder die wortel. Dat is b2 - 4ac  en het heet de "DISCRIMINANT"
b2 - 4ac  is de DISCRIMINANT
TIP1  Als b een negatief getal is, dan moet je dat getal tussen haakjes zetten.
Dus  als b = -4  dan staat er  (-4)^2
TIP2 4ac is één geheel, dus alle mintekens daarin mag je vooraan zetten, bij die min die er al staat.
voorbeeldjes:
a = -1, b = 2, c = 5  geeft  b2 - 4ac = 22 - 4 • -1 • 5 = 4 - - 20 = 4 + 20 = 24
a = -3, b = 8, c = -2  geeft  b2 - 4ac = 82 - 4 • -3 • -2 = 64 - - - 24 = 64 - 24 = 40   
   
  OPGAVEN
3. Geef de oplossingen van de volgende kwadratische vergelijkingen:
a. 2x + 5x + 1 = 0

-11/4±1/417

e. -x2 - 3x + 4 = 0

-4 en 1

b. -x2 + 6x + 3 = 0

3 ± 2√3

f. -4x2 + 10x - 2 = 0 

11/4±1/4√17

c. x2 - 8x + 5 = 0

4 ± √11

g. -6x2 - 15x - 3 = 0   

-11/4±1/4√17

d. x2 + 4x - 12 = 0

-6 en 2

h. 3x2 - 3x - 3 = 0

1/2 ± 1/2√5

4. Geef de oplossingen van de volgende kwadratische vergelijkingen:
a. x2 = x + 42

7 en -6

e. x(x - 4) = 3(x + 1)

31/2±1/2√61

b. x2 + 14x = 32

2 en -16

f. x2 + x(x - 1) = 16

1/4±1/4√129

c. x2 - x = 56

8 en -7

g. (2x + 5)(3x - 8) + 14 = 0 

-2 en 21/6

d. (x + 1)(x - 2) = 5x

3 ± √11

h. x(x + 3) = x + 2(x + 7)

±√14

5. Hoe kun je aan de ABC-formule zien dat de top van een parabool bij x = -b/2a zit?
6. a. Bereken de coördinaten van de snijpunten van de lijn y = 2x + 4  met de parabool  y = -x2 + 5
   

(-1+√2, 2+2√2)
(-1-√2, 2-2√2)

b. Bereken de coördinaten van de snijpunten van de parabolen  y =  x2 + 2x - 4  en  y = 3x2 - x - 6
   

(2,4)  (-1/2,-43/4)

     
7. Het aantal verkeersboetes dat de politie in Nederland in een week uitdeelt blijkt af te hangen van de gemiddelde temperatuur in die week. Hoe warmer het is, des te meer boetes worden er uitgedeeld. Veilig Verkeer Nederland  (VVN) doet daar onderzoek naar, en men vond voor de provincie Groningen over een periode van 5 weken de volgende gegevens (n is het aantal verkeersboetes in een week, T de gemiddelde temperatuur in °C):
     
 
T 12 16 19 25 27
n 15000 16000 16750 18250 18750
     
  a. Toon aan dat deze tabel een lineair verband weergeeft en stel een formule op voor dat verband.
     
  Voor elke provincie blijkt een lineair verband te gelden.
Zo geldt voor Friesland de formule n(T) = 210T + 13000  en voor Overijssel de formule n(T) = 340T + 10000
     
  b. Voor welke temperatuur zou volgens deze modellen het aantal verkeersboetes in Friesland gelijk zijn aan het aantal in Overijssel? Geef een algebraïsche berekening.
   

23,1ºC

  Ook de gemiddelde hoogte van de boete (H) blijkt van de temperatuur af te hangen. Hoe warmer, des te hoger zijn de boetes. Er geldt weer een lineair verband, dus we kunnen stellen  H(T) = aT + b.
De politie in Friesland  stelt een formule op voor het totale bedrag (B) dat men in een week binnen krijgt aan verkeersboetes.
Die formule is   B(T) = 1680T2 + 102740T - 78000
     
  c. Van welke waarden voor a en b is men kennelijk uitgegaan? Geef een duidelijke toelichting.
   

8 en -6

  d. Bereken bij welke temperatuur men een bedrag van  2000000 in een week binnenkrijgt.
   

15,01ºC

     
8. Van rechthoek ABCD is AB = 2AD.
Van deze rechthoek wordt bij D een driehoek ADP afgehaald zodat DP = 5.
Zo blijft een trapezium ABCP over.
Voor welke waarde van x is de oppervlakte van het trapezium kleiner dan 5?
Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

     

[0, 2.33]

       
9. Hiernaast zie je de parabool y = x2 - 4x + 4 en een aantal lijnen y = ax.
Die lijnen snijden de parabool steeds in twee punten; A en B.

Voor welke lijn geldt dat de horizontale afstand tussen A en B gelijk is aan 3?

     

a = 1

 
   
Hier is een programmaatje voor je TI-83 dat de oplossingen van de ABC formule voor je berekent:
ClrHome
Prompt A
If A=0
Then
   Stop
Else
   Prompt B,C
   B^2 - 4AC ® D
   If D > 0
   Then
      (-B+Ö(D)) / (2A) ® X
      (-B-Ö(D)) / (2A) ® Y
      Disp "2 oplossingen:",X,Y
   Else
      If D = 0
      Then
         -B / (2A)  ® X
         Disp "1 oplossing:",X
      Else
         Disp "geen oplossing"
      End
   End
End
 
Grapje tot besluit....
 
Mijn buurman is nogal tegendraads en weigert de "normale" dingen te doen.
Hij gebruikt de volgende alternatieve ABC-formule:
 
 
Ik begin hem uit te lachen, maar hij zweert bij hoog en bij laag dat dit ook een ABC-formule is.
Daarom test ik de vergelijking  x2 - 5x + 6 = 0  (ik weet dat de oplossingen ervan x = 2 en x = 3 zijn)
Zijn rare ABC-formule geeft:
Verdomd!! Het klopt nog ook!!!!!
En als ik nog een aantal andere vergelijkingen probeer blijkt het steeds te kloppen!

Kun jij bewijzen dat de ABC-formule van mijn buurman net zo goed is als de onze????

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)