© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. 5x + 2x2 - 3 = 0 
⇒   2x2 + 5x - 3 = 0 
dus  a = 2, b = 5 en c = -3		  
  b. 2x2 - x - 1 = 5 + 3x 
⇒ 2x2 - x - 1 - 3x - 5 = 0 
⇒  2x2 - 4x - 6 = 0 
dus  a = 2, b = -4 en c = -6
  c. 4x2 + 2 - 6x =  x + x2 
⇒  4x2 + 2 - 6x - x - x2 = 0
⇒  3x2 - 7x + 2 = 0 
dus  a = 3, b = -7  en c = 2
  d. 8 - 6x2 = x2 + 5 
⇒  8 - 6x2 - x2 - 5 = 0 
⇒ -7x2 + 3 = 0 
dus  a = -7, b = 0 en c = 3
  e. -x2 - x = 5 + 2x2 
⇒   -x2 - x - 5 - 2x2 = 0  
⇒  -3x2 - x - 5 = 0 
dus  a = -3, b = -1  en  c = -5
  f. (x - 2)(x + 7) = 5
⇒  x2 - 2x + 7x - 14 = 5 
⇒  x2 + 5x - 19 = 0 
dus  a = 1, b = 5 en c = -19
  g. 4 - (x - 1)(x + 3) = 0 
⇒   4 - (x2 - x + 3x - 3) = 0  
⇒   4 - x2 + x - 3x + 3 = 0 
⇒  -x2 - 2x + 7 = 0 
dus  a = -1, b = -2  en c =  7
  h. x2 + 3(x - 2) = -x2 + 5  
⇒   x2 + 3x - 6 = -x2 + 5  
⇒  x2 + 3x - 6 + x2 - 5 = 0 
⇒  2x2 + 3x - 11 = 0 
dus  a = 2, b = 3  en  c = -11
  i. 3x2 + 2x = 2x - 9  
⇒   3x2 + 2x - 2x + 9 = 0 
⇒  3x2 + 9 = 0 
dus  a = 3,  b = 0  en c = 9
  j. (4 - x)2 = 5(2 + x) 
⇒  (4 - x)(4 - x) = 10 + 5x 
⇒  16 - 4x - 4x + x2 = 10 + 5x
⇒  x2 - 8x + 16 - 10 - 5x = 0  
⇒   x2 - 13x + 6 = 0  
dus  a = 1,  b = -13  en  c = 6
       
2. a. Het rode gebied is (x + 8)  bij (x + 3) 
dus de oppervlakte is (x + 8)(x + 3) = x2 + 8x + 3x + 24 = x2 + 11x + 14
       
  b. Het rode gebied is (x - 1)  bij (x - 2)
dus de oppervlakte is  (x - 1)(x - 2) = x2 - x - 2x + 1  =  x2 - 3x + 1		  
       
  c. De linker rechthoek heeft oppervlakte 7x
De rechter rechthoek heeft oppervlakte  x(8 - x) = 8x - x2
samen is dat  8x - x2 + 7x  =  -x2 + 15x 		 
       
3. a. 2x2  + 5x + 1 = 0
D = 52 - 4•2•1 = 25 - 8 = 17
Dus x = (-5 ± √17)/4   en dat is -5/4 ± 1/4√17		  
       
  b. -x2 + 6x + 3 = 0
D = 62 - 4•-1•3 = 36 + 12 = 48
Dus  x = (-6 ± √48)/-2  en dat is 3 ± 1/2√48   (voor de liefhebbers:  3 ± 2√3)		  
       
  c. x2 - 8x + 5 = 0
D = (-8)2 - 4•1•5 = 64 - 20 = 44
Dus x =  (8 ± √44)/2  en dat is  4 ± 1/2√44     (voor de liefhebbers:  4 ± √11)    		 
       
  d. x2 + 4x - 12 = 0
Ja duh! Daar hebben we geen ABC-formule voor nodig toch?
x2 + 4x - 12 = 0
(x - 2)(x + 6) = 0
x = 2  ∨   x = -6		  
       
  e. -x2 - 3x + 4 = 0
D =  (-3)2 - 4•-1•4 = 9 + 16 = 25
x = (3 ± √25)/-2  = (3 ±5)/-2  en dat is 1 of -4
Met zulke mooie uitkomsten had het dus ook eleganter gekund:
-x2 - 3x + 4 = 0
-(x2 + 3x - 4) = 0
-(x - 1)(x + 4) = 0
x = 1 ∨  x = -4
       
  f. -4x2 + 10x - 2 = 0 
D = 102 - 4•-4•-2 = 100 - 32 = 68
Dus  x = (-10 ± √68)/-8  en dat is 5/4 ± 1/8√68		  
       
  g. -6x2 - 15x - 3 = 0  
D = (-15)2 - 4•-6•-3 = 225 - 72 = 153
Dus  x = (15 ± √153)/-12  = -5/4 ± 1/12√153		  
       
  h. 3x2 - 3x - 3 = 0
D = (-3)2 - 4•3•-3 = 9 + 36 = 45
Dus x = (3 ± √45)/6  = 1/2 ± 1/6√45		  
       
4. a. x2 = x + 42 
⇒   x2 - x - 42 = 0
Geen ABC nodig:  gewoon somproductmethode:   (x - 7)(x + 6) = 0  geeft  x = 7  ∨   x = -6
       
  b. x2 + 14x = 32 
⇒   x2 + 14x - 32 = 0
Geen ABC nodig:  gewoon somproductmethode:   (x - 2)(x + 16) = 0  geeft  x = 2 ∨  x = -16
       
  c. x2 - x = 56 
⇒   x2 - x - 56 = 0
Hou eens op met die ABC-formule:  gewoon somproductmethode:  (x - 8)(x + 7) = 0 geeft  x = 8 ∨  x = -7
       
  d. (x + 1)(x - 2) = 5x  Ț   x2 + x - 2x - 2 - 5x = 0  Ț  x2 - 6x - 2 = 0
D = (-6)2 - 4•1•-2 = 36 + 8 = 44
Dus x = (6 ± √44)/2  = 3 ± 1/2√44     (voor de liefhebbers:  3 ±√11)
       
  e. x(x - 4) = 3(x + 1) 
⇒  x2 - 4x = 3x + 3 
⇒   x2 - 4x - 3x - 3 = 0 
⇒  x2 - 7x - 3 = 0
D = (-7)2 - 4•1•-3 = 49 + 12 = 61
Dus  x =  (7 ± √61)/2  = 31/2 ± 1/2√61   
       
  f. x2 + x(x - 1) = 16 
⇒  x2 + x2 - x - 16 = 0 
⇒  2x2 - x - 16 = 0  
D = (-1)2 - 4•2•-16 =  1 + 128 = 129
Dus  x =  (1 ± √129)/4  = 1/4 ± 1/4√129   
       
  g. (2x + 5)(3x - 8) + 14 = 0 
⇒  6x2 - 16x + 15x - 40 + 14 = 0  
⇒  6x2 - x - 26 = 0
D = (-1)2 - 4•6•-26 = 1 + 624 = 625
Dus x = (1 ± √625)/12  =  (1 ±25)/12  =  26/12  ∨  -24/12  =  21/6 ∨  -2
       
  h. x(x + 3) = x + 2(x + 7)
⇒   x2 + 3x = x + 2x + 14 
⇒    x2 + 3x - x - 2x - 14 = 0   
⇒  x2 - 14 = 0
⇒  x2 = 14  
⇒   x = ±√14
       
5. je kunt hem zo schrijven:  x = (-b/2a) ± √D/2a 
Dat betekent dat de snijpunten met de x-as liggen  bij  x = (-b/2a) ± √D/2a   (want dat krijg je als je y = 0 oplost)
De twee snijpunten liggen even ver aan weerszijden van x = -b/2a  (kijk maar de plus of min)
dus ligt x = -b/2a midden tussen de snijpunten in.
Maar midden tussen de snijpunten in ligt de top!
Dus x = -b/2a  hoort bij de top.
       
6. a. Snijden is gelijkstellen:  2x + 4 = -x2 + 5
2x + 4 + x2 - 5 = 0
x2 + 2x - 1 = 0
D = 22 - 4•1•-1 = 4 + 4 = 8
Dus  x = (-2 ± √8)/2  en dat is  -1 ± 1/2√8   en dat is gelijk aan  -1 ±√2

y = 2x + 4 geeft dan:
x = -1 + √2  geeft  y = 2(-1 + √2) + 4 = -2 + 2√2 + 4 = 2 + 2√2  en het snijpunt  (-1 + √2 ,  2 + 2√2)
x = -1 - √2  geeft  y = 2(-1 - √2) + 4 = -2 - 2√2 + 4 = 2 - 2√2  en het snijpunt  (-1 - √2 ,  2 - 2√2)
       
  b. Snijden is gelijkstellen:  x2 + 2x - 4 = 3x2 - x - 6
x2 + 2x - 4 - 3x2 + x + 6 = 0
-2x2 + 3x + 2 = 0
D = 32 - 4•-2•2 = 9 + 16 = 25
Dus  x = (-3 ± √25)/-4 = (-3 ±5)/-4 =  -8/-4 ∨  2/-4  = 2  ∨ -1/2
x = 2  geeft  y = 22 + 2•2 - 4 = 4  en het snijpunt  (2, 4)
x =  -1/2  geeft y = ( -1/2)2 + 2• -1/2 -  4 =  1/4 - 1 - 4 =  -43/4  en het snijpunt (-1/2 , -43/4 )
       
7. a. Bereken steeds  Δn/ΔT:
(16000 - 15000)/(16 - 12) = 1000/4 = 250
(16750 - 16000)/(19 - 16) = 750/3 = 250
(18250 - 16750)/(25 - 19) = 1500/6 = 250
(18750 - 18250)/(27 - 25) = 500/2 = 250

Dat is elke keer gelijk dus is het verband lineair.
Het hellinggetal a is dus 250   dus  n = 250T + b
Vul bijv. (12, 15000) in:  15000 = 250 • 12 + b geeft  b = 12000
Het verband is  n = 250T + 12000
       
  b. Snijden is gelijkstellen:
210T + 13000 = 340T + 10000
3000 = 130T
T = 23,1 șC		  
       
  c. Het bedrag is gelijk aan het aantal boetes vermenigvuldigd met de hoogte van een boete.
B = n • H
B = (210T + 13000) • (aT + b)
B = 210aT2 + 210bT + 13000aT + 13000b
B = 210aT2 + T(210b + 13000a) + 13000b

dat moet hetzelfde zijn als 1680T2 + 102740T - 78000 
Dus moet gelden:
210a = 1680  en 
120b + 13000a = 102740 en 
13000b = -78000

uit de eerste volgt a = 8
uit de laatste volgt  b = -6
dat klopt met de middelste
       
  d. 1680T2 + 102740T - 78000 = 2000000
1680T2 + 102740T - 1922000 = 0
D = 1027402 - 4•1680•-1922000 = 2,34 • 1010   dus √D = 153203,6
Dan is  T = (-102740 ± 153203,6)/(2•1680) =  15,01  ∨  -76,17șC
Het eerste zal wel het werkelijke antwoord zijn.
       
8. de driehoek heeft oppervlakte 0,5 • 5 • x = 2,5x
de hele rechthoek heeft oppervlakte 2x • x = 2x2
Het trapezium heeft dan oppervlakte 2x2 - 2,5x

2x2 - 2,5x = 5
2x2 - 2,5x - 5 = 0
D = (-2,5)2 - 4•2•-5 = 6,25 + 40 = 46,25
Dus  x = (2,5 ± √46,25)/4 dat is ongeveer 2,33  of  -1,07
Het eerste is het echte antwoord.
Voor x tussen 0 en 2,33 is de oppervlakte kleiner dan 5.
       
9. snijden is gelijkstellen:  x2 - 4x + 4 = ax
x2 + x(-4 - a) + 4 = 0
D = (-4 - a)2 - 4•1•4 = 16 + 8a + a2 - 16 = a2 + 8a
Dan is x = ((4+a) ± √(aČ + 8a))/2
x= (4 + a)/2  ± √(aČ + 8a)/2

dus  x1 = (4 + a)/2  +  √(aČ + 8a)/2       en      x2 = (4 + a)/2  - √(aČ + 8a)/2
De afstand daartussen is  2 • √(aČ + 8a)/2  = √(a2 + 8a)
Die afstand is 3 als:  3 = √(a2 + 8a)
9 = a2 + 8a
a2 + 8a - 9 = 0
(a - 1)(a + 9) = 0
a = 1 ∨ a = -9   controle bij   3 = √(a2 + 8a)   levert op dat alleen  a = 1 een goede oplossing is
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)