lijnen in driehoeken


Lijnen in driehoeken.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Over zoiets simpels als een driehoek zijn toch boeken vol te schrijven....

Deze les zullen we een aantal lijnen in driehoeken bekijken met hun eigenschappen. Uiteraard moet alles zoveel mogelijk weer bewezen worden, maar dat zul je intussen al wel verwacht hebben.

1. Middelloodlijnen.

Een middelloodlijn van een lijnstuk is een lijn die door het midden van dat lijnstuk gaat en er loodrecht op staat. Hiernaast zie je de drie middelloodlijnen van de zijden van een driehoek.
De punten van de middelloodlijn l van lijnstuk AB hebben de eigenschap dat ze even ver van A als van B afliggen.

Dat zul je waarschijnlijk wel logisch vinden. Een bewijs is makkelijk te leveren, als je je maar bedenkt dat de driehoeken AMP en BMP hiernaast congruent zijn (ZHZ).
Dus is PA = PB. (en omgekeerd ook: als PA = PB is driehoek APB gelijkbenig, dus zijn de hoeken bij A en B gelijk, dus zijn de driehoeken AMP en BMP congruent als M het midden van AB is).

Het snijpunt van de middelloodlijnen van AB en BC heeft gelijke afstand tot A en B en ook tot B en C, dus zijn ook de afstanden tot A en C gelijk, dus ligt het ook op de derde middelloodlijn.
Conclusie:

De middelloodlijnen van een driehoek gaan door één punt.

Omdat dat punt gelijke afstanden tot A én B én C heeft, is het het middelpunt M van een cirkel die door A, B en C gaat. Die cirkel heet de omgeschreven cirkel van driehoek ABC.

2. Zwaartelijnen.

Een zwaartelijn in een driehoek is een lijn van een hoekpunt
naar het midden van de tegenoverliggende zijde

Hiernaast zie je de drie zwaartelijnen in een driehoek. Het lijkt erop dat die ook door één punt gaan. En dat is ook zo. Dat punt heet het zwaartepunt Z van de driehoek.
Voor het bewijs hebben we eerst een kleine hulpstelling nodig:

"Een lijnstuk dat twee middens van zijden van een driehoek verbindt,
is evenwijdig aan de derde zijde, en half zo lang als de derde zijde".

Zo'n lijnstuk heet een middenparallel.

Het bewijs is vrij makkelijk. Zie de figuur hiernaast. De middenparallel is M₁M₂. Verder is een lijn door B evenwijdig aan AC getekend.
De rode hoeken zijn gelijk (Z-hoeken) en de groene ook (overstaande hoeken).
Verder is CM₂ = M₂B, dus zijn de driehoeken CM₁M₂ en BSM₂ congruent (HHZ)
Dan is dus ook BS = CM₁ = AM₁.
BS en AM₁ zijn dus twee evenwijdige en even lange lijnstukken.
Dan is AM₁SB een parallellogram dus zijn AB en M₁S evenwijdig en even lang. (het bewijs dáárvan staat trouwens hier).
M₁M₂ = M₂S (congruente driehoeken) geldt dat M₁M₂ = ¹/₂AB.

Daarmee is de hulpstelling bewezen.

Terug naar de zwaartelijnen.
We tekenen in een driehoek twee zwaartelijnen (AD en BE) die elkaar snijden in een punt Z.
ED is middenparallel, dus is ED evenwijdig aan AB, en de helft van AB.
Dan zijn de driehoeken EZD en BZA gelijkvormig (Z-hoeken en overstaande hoeken gelijk) met factor ¹/₂ (want ED = ¹/₂AB)
Dat betekent dat EZ : ZB = 1 : 2 en ook DZ : ZA = 1 : 2
conclusie: "twee zwaartelijnen snijden elkaar in verhouding 1 : 2".

Maar de derde zwaartelijn CF snijdt AD ook ergens. Omdat dat ook in verhouding 1 : 2 is, moet dat ook wel in punt Z zijn. Dus gaan de drie lijnen door één punt.

De zwaartelijnen van een driehoek gaan door één punt
De zwaartelijnen snijden elkaar in verhoudingen 1 : 2

3. Hoogtelijnen

Een hoogtelijn in een driehoek is een lijn van een
hoekpunt loodrecht op de zijde daar tegenover

Hieronder zie je twee keer een hoogtelijn CD van driehoek ABC. Als een driehoek een stompe hoek heeft kan zo'n hoogtelijn buiten de driehoek vallen zoals in de figuur rechts.

Elke driehoek heeft dus drie hoogtelijnen (vanuit elk hoekpunt één). Die drie hoogtelijnen zijn in de figuur hiernaast getekend. Het lijkt erop alsof die ook al door één punt gaan.
Dat blijkt inderdaad altijd zo te zijn:

De hoogtelijnen van een driehoek gaan door één punt

Dat punt heet het hoogtepunt of ook wel het orthocentrum van de driehoek.
Het bewijs komt van Euler:

Teken in een driehoek het zwaartepunt Z en het snijpunt van de middelloodlijnen M. Construeer nu punt H op MZ aan de andere kant van Z zodat MZ : ZH = 1 : 2.
Omdat ook AZ : ZD = 2 : 1 (eigenschap zwaartelijnen) en omdat DZM = ∠AZH (overstaande hoeken) zijn de driehoeken AHZ en DMZ gelijkvormig (factor 2).
Dus zijn AH en DM evenwijdig en dus staat AH loodrecht op BC.
Kortom: AH is de hoogtelijn vanuit A.

Maar dit hele verhaal kun je ook houden vanuit punt B of C, met precies dezelfde H, Z en M.

Kennelijk is dat punt H het hoogtepunt van de driehoek, en gaan alle hoogtelijnen erdoor.
Nog korter geformuleerd zegt dit bewijs eigenlijk:

"Als je een vermenigvuldiging ten opzichte van het zwaartepunt
met factor -2 toepast, dan gaan middelloodlijnen over in hoogtelijnen
Dus als middelloodlijnen door één punt gaan, dan doen hoogtelijnen dat ook"

Leuke bijkomstigheid is dat we nu meteen hebben bewezen dat H, Z en M op één lijn liggen. Die lijn heet de rechte van Euler.

Een erg elegant tweede bewijs, dat bovendien geen gebruik maakt van die zwaartelijneigenschappen kun je hiernaast vinden.

Nou vooruit dan, hiernaast nóg een bewijs.
En nou vind ik het wel genoeg....

4. Bissectrices.

Een bissectrice is een lijn die een hoek doormidden deelt.
Daarvan zijn er in een driehoek dus drie te tekenen, zoals je hiernaast ziet.
Ook voor deze drie lijnen geldt:

De bissectrices van een driehoek gaan door één punt

Dat is gelukkig weer erg makkelijk te bewijzen, als je je maar realiseert dat de bissectrice van een hoek de verzameling van alle punten is die gelijke afstanden hebben tot de twee benen van die hoek.
Voor het snijpunt S van twee bissectrices vanuit de hoekpunten A en B geldt dan:
• afstand tot AB = afstand tot AC
• afstand tot BC = afstand tot AB
Maar dan geldt ook: afstand tot AC = afstand tot BC, dus ligt dat punt ook op de bissectrice vanuit hoekpunt C.

Het snijpunt S van de drie bissectrices heeft gelijke afstanden tot alle drie de zijden van de driehoek. Maar dat betekent dat S het middelpunt van de ingeschreven cirkel is.

De drie rode lijnstukken hiernaast staan loodrecht op de zijden van de driehoek, (want ze stellen de kortste afstand voor van S tot de zijden). Dus zijn de zijden van de driehoek de raaklijnen aan de cirkel (die staan immers ook loodrecht op de straal).

Zo, hoogste tijd voor wat bewijzen met lijnen in driehoeken.

OPGAVEN

Hiernaast zie je een driehoek met zijn omgeschreven cirkel en twee hoogtelijnen met snijpunt H.
Hoogtelijn AD snijdt de cirkel in E.

Toon aan dat HD = DE.

hint 1:	toon aan dat ∠BEA = ∠BCA
hint 2:	toon aan dat ∠BHE = ∠BEH

De bissectricestelling.

Hiernaast staat een driehoek ABC met de bissectrice AD.
E is een punt op het verlengde van AD zodat AB = BE.

De bissectrice snijdt de zijde BC in twee delen BD en DC.
Met deze figuur is aan te tonen dat CD : DB = CA : AB

Toon dat aan.

hint:

toon aan dat ADC ~ EDB

In driehoek ABC is Z het zwaartepunt. Lijn l loopt door Z evenwijdig aan BC. BD en CE zijn loodlijnen op l.
De hoogtelijn vanuit A snijdt lijn l in de punt F en zijde BC in G.
Zie de figuur hiernaast.

Toon aan dat AF = BD + CE

hint:

Toon aan dat AF : FG = 2 : 1

Toon aan dat de oppervlakte van rechthoek BCED gelijk is aan ²/₃ deel van de oppervlakte van driehoek ABC.

De drie zwaartelijnen van een driehoek verdelen die driehoek in zes kleinere driehoeken.
Toon aan dat deze zes driehoeken allemaal dezelfde oppervlakte hebben.

In een rechthoekige driehoek waarin de hoogtelijn h de schuine zijde verdeelt in stukken a en b geldt h² = a·b
Toon dat aan.

Vanuit een punt P op de omgeschreven cirkel van driehoek ABC tekenen we lijnen die de zijden van de driehoek (of de verlengden daarvan) loodrecht snijden.
Dat geeft de zogenaamde voetpunten K, L en M in de figuur linksonder.
Stelling: Deze voetpunten liggen op één rechte lijn (die lijn heet de lijn van Simson).

Als K, L en M op één lijn liggen, dan moet hoek KLM gelijk zijn aan 180º
Leg uit dat het dan ook voldoende is om te bewijzen dat ÐKLC = ÐALM

Toon aan dat ALPM en ABCP koordenvierhoeken zijn.

Bekijk nu in de rechterfiguur de vier hoeken P₁, P₂, P₃, P₄ bij punt P.

Toon aan dat ∠P₁ = ∠P₄. Maak daarbij gebruik van de koordenvierhoeken uit vraag b)

Toon aan dat PLKC een koordenvierhoek is

Toon aan dat ∠KLC = ∠ALM en daarmee dat de punten K, L en M op één lijn liggen.

De lengte van een bissectrice.

Zie de driehoek ABC hiernaast met bissectrice ADE.
Daarin geldt dat ABD ~ CED

Toon dat aan.
Laat zien dat hieruit volgt dat p · q = a₁ · a₂

Toon aan dat AEB ~ ACD.
Laat zien dat daaruit volgt dat ^{(p
+ q)}/_c = ^b/_p

Toon aan dat uit a) en b) volgt dat p²= bc - a₁a₂

A en B zijn twee willekeurige punten op een cirkel.
AP en BQ zijn twee lijnstukken die een deel van de raaklijnen aan de cirkel vormen.

AP = BQ.

S is het snijpunt van AB met PQ.
Bewijs dat dan S het midden van PQ is.

hint:

Teken AR in het verlengde van PA zodat AR = AP

ABCD is een parallellogram, met F een willekeurig punt op AD.
E ligt op AB zodat ED = FB.
P is het snijpunt van FB en ED.

Bewijs dat PC de bissectrice van hoek BPD is.

hint:

opp. ECD = opp. BCF.

10.

Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2014.

Gegeven is een gelijkzijdige driehoek ABC met zijden van lengte 2.
In driehoek ABC is AD hoogtelijn én zwaartelijn.
Daarom geldt: BD = CD = 1 en AD = √3

Ook is gegeven de gelijkzijdige driehoek AEF met zijden van lengte 2√3, waarbij E en F op het verlengde van respectievelijk AB en AC liggen.
Lijn AD snijdt EF in G. Z is het zwaartepunt van driehoek AEF.
De lijn door C en Z snijdt AE in K en het verlengde van FE in H.
Zie de figuur.

De driehoeken CDZ en HGZ zijn gelijkvormig.

Bewijs dit.

De lengte van DZ is 2 - √3. Toon dit met een exacte berekening aan.

Bewijs dat EH even lang is als AB.