© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Het uitproduct.
       
We gaan in deze  les proberen dat zoeken naar een normaalvector uit de vorige lessen  te "automatiseren"
Omdat die normaalvector loodrecht op beide vectoren moet staan, moet hij met beiden inproduct NUL maken.
Dat geeft de vergelijkingen:   a1x + a2y  + a3z = 0   en   b1x + b2y  + b3z = 0 
Die gaan we combineren om x, y, of z te elimineren. Dat geeft de volgende drie mogelijkheden:
       
 Als je x elimineert krijg je:
(bij die normaalvector zijn ze dus omgedraaid en één van beiden is negatief gemaakt)
       
Als je y elimineert krijg je:
 
Als je z elimineert krijg je:
       
NOU....
Ik denk dat je geen groot genie hoeft te zijn om te zien  bij welke normaalvector aan alle drie de voorwaarden is voldaan.....


NOU....

Deze normaalvector heet het UITPRODUCT.
Er zijn alleen bij twee vectoren natuurlijk een heleboel normaalvectoren mogelijk. Dit is er maar eentje.
Al die normaalvectoren verschillen eigenlijk alleen maar in hun lengte (de richting is gelijk).
Laten we daarom proberen de lengte van dit uitproduct te bepalen.

Eerst maar eens uitschrijven. Om veel wortels te vermijden ga ik het kwadraat van de lengte opschrijven, dat is eenvoudig Pythagoras:
(a2b3 - a3b2)2 + (a3b1 - a1b3)2 + (a1b2 - a2b1)2 =
a22b32 + a32b22 - 2a2b3a3b2 + a32b12 + a12b32 - 2a1b3a3b1 a12b22 + a22b12 - 2a2b1a1b2   
       
Als je die termen met kwadraten bekijkt, dan staan daar bijna alle combinaties van a met b, behalve a1b1 en a2b2 en a3b3
Zet die er daarom ook nog bij en je krijgt iets moois: (om duidelijker te maken waar alles blijft heb ik stukken gekleurd, en in de volgende regel heb ik rood en  blauw er bij gezet)
       
a22b32 + a32b22 + a32b12 + a12b32  a12b22 + a22b12 +a12b12 + a22b22 + a32b32 - a12b12 - a22b22 - a32b32 - 2a2b1a1b2   - 2a2b3a3b2 - 2a1b3a3b1
       
Al die kwadraatcombinaties (dat zwarte plus dat rode deel) kun je nu makkelijk samennemen: daar staat precies
(a12 + a22 + a32) • (b12 + b22 + b32), dus dat geeft:
       
(a12 + a22 + a32) • (b12 + b22 + b32) - a12b12 - a22b22 - a32b32 - 2a2b1a1b2  - 2a2b3a3b2 - 2a1b3a3b1
       
Maar ook dat blauwe en dat groene deel samen kun je schrijven als een mooi kwadraat:  -(a1b1 + a2b2 + a3b3)2. Ga maar na dat het precies klopt! De kwadraten geven precies de blauwe termen en al de dubbele producten geven de groene termen. Dus:
lengte uitproduct =  (a12 + a22 + a32) • (b12 + b22 + b32) - (a1b1 + a2b2 + a3b3)2
Dat eerste deel is nu gewoon de lengte van vector a in het kwadraat vermenigvuldigd met de lengte van vector b in het kwadraat. En ook bij dat tweede deel zien we een oude bekende:  daar tussen haakjes staat het inproduct.
       
(lengte uitproduct)2 =  (lengte1)2 • (lengte2)2 - (inproduct)2 
 
Uit de les over het inproduct herinner je je hopelijk nog dat   inproduct = cosα • lengte1 • lengte2  dus dat kunnen we nu mooi gebruiken:
(lengte uitproduct)2
  = (lengte1)2 • (lengte2)2 - (inproduct)2    
  = (lengte1)2 • (lengte2)2 - (cosα • lengte1 • lengte2)2
= (lengte1)2 • (lengte2)2 •  (1 - cos2α)
= (lengte1)2 • (lengte2)2 •  sin2α
       
Neem van beide kanten de wortel en je ziet dat de lengte van het uitproduct gelijk is aan de lengtes van de aparte vectoren met elkaar vermenigvuldigd en ook nog met sinα:
       
lengte uitproduct = lengte1 • lengte2 • sinα
       
Nou wordt het uitproduct van de vectoren v1 en v2  meestal geschreven als  v1 × v2  (het heet in het Engels ook cross-product), en verder wordt de lengte van een vector vaak aangegeven door absolute waarde-strepen eromheen te zetten.
Dat geeft de compactere formule:
       

| v1 × v2 | = | v1 | × | v2 | • sinα

       
Denk er goed om dat hier alleen de lengte van dat uitproduct staat. Het uitproduct is een vector, waarvan de richting de richting van de normaalvector van beide vectoren is  (in tegenstelling tot het inproduct; dat is geen vector maar een getal).

Evenwijdige vectoren.

Als twee vectoren evenwijdig zijn, dan is de hoek tussen die vectoren 0º of 180º. Maar dan is de sinus van die hoek gelijk aan nul. Dus is ook de lengte van het uitproduct nul (het is het enige geval waarin het uitproduct niet loodrecht op beide vectoren staat; met lengte nul noemen we zo'n uitproduct een nulvector, en die heeft geen richting).
       
De richting van het uitproduct.
 
Het uitproduct v1× v2 heeft de richting van de normaalvector van v1 en v2. Maar er is meer over te zeggen.
Je kunt, met de (kentallen zoals hierboven)  namelijk ook al zeggen welke kant die normaalvector op staat ("naar boven" of "naar beneden"). Dat gaat met de rechterhandregel. Zie de figuur hiernaast.
Als je de vingers van je rechterhand van v1 naar v2 laat draaien, dan wijst je duim in de richting van het uitproduct  (het heet ook wel de kurkentrekkerregel).

Handigheidje om het te onthouden.

Als je een beetje duizelig van die a1, b3 , a2 en zo wordt, kun je het uitproduct misschien handig onthouden met onderstaand figuurtje:

   

       
Vanaf x, y, of z kun je een pijl diagonaal tekenen om de kijken welke a's en b's erbij horen. Pijlen naar rechts (rood) zijn positief, pijlen naar links negatief. Die rode pijl hierboven zegt dus dat bij het x-kental de positieve term a2 • b3 hoort, en die blauwe pijl geeft de negatieve term  -a3 • b2. Zoals je ziet samen precies het x-kental van het uitproduct. Vanaf y en z werkt het precies zo.
       
Zo, dat was het uitproduct.

Wat kun je d'r mee???
       
1.  Snel een normaalvector vinden.    
       
Voorbeeld:
       
2. Inhoud van een parallellepipedum 

De drie vectoren v1, v2 en v3 hiernaast maken samen zo'n scheef gezakt blok, en dat heet een parallellepipedum. (de hoeken zijn geen 90º).

De oppervlakte van het voorvlak (dat met v1 en v2) wordt gegeven door de lengte van het uitproduct van die twee vectoren:  opp. = | v1 × v2 |

De inhoud van het parallellepipedum wordt gegeven door:  I  = | v1 • (v2 × v3) |
(de absolute waarde strepen zijn nodig omdat de inhoud natuurlijk wel altijd een positief getal moet zijn)

       
Dat kun je dan weer mooi gebruiken om te testen of drie vectoren in één vlak liggen. Als dat zo is, dan is de inhoud van dit parallellepipedum natuurlijk gelijk aan NUL. Je kunt dat ook aan de formule zien:  het uitproduct van v2 en v3 is dan de normaalvector van het vlak door v2 en v3. Als v1 ook in dat vlak ligt, staat v1 loodrecht op die normaalvector, dus is het inproduct van v1 met die normaalvector gelijk aan nul.
       
Voorbeeld.
Dat is niet gelijk aan nul, dus de drie vectoren liggen niet in één vlak.
       
3.  Veel natuurkundige toepassingen.

In de natuurkunde komen uitproducten vooral voor bij de interactie tussen elektrische en magnetische velden. Zo weten alle natuurkundigen dat de kracht op een bewegend elektrisch deeltje door een magneetveld (dat heet de Lorentzkracht) voldoet aan FL = B × I  (B is het magneetveld, I de stroom, en F de kracht). Een uitproduct dus. 
       
OPGAVEN
   
1. Onderzoek of de volgende drie vectoren in één vlak liggen:
         
  a.
       

JA

  b.
       

NEE

  c.
       

JA

         
2. Geef een normaalvector van de volgende koppels vectoren:
   
  a.
         
  b.
         
  c.
         
3. Een parallellepipedum ABCD.EFGH  heeft hoekpunten  A(0,0,0), B(4,2,0),C(5,5,0), D(1,3,0), E(1,1,4), F(5,3,4), G(6,6,4), en  H(2,4,4)
Bereken de inhoud.
       

40

     
   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)