Standaardlimieten.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
We hebben intussen al heel wat methodes bekeken om limieten te berekenen.  Nou is het zo, dat sommige limieten gewoon erg vaak voorkomen. Daarom is het voor die limieten misschien de moeite waard om ze uit het hoofd te leren. Hoef je niet steeds weer het wiel uit te vinden.....
In deze les verzamelen we een aantal nuttige limieten.
Ik heb ze in twee categorieën gesplist:  "limieten naar een getal"  en "limieten naar oneindig".
   
Limieten van x a.
       
Daarvan zijn er eigenlijk DRIE wel vrij nuttig, en dat zijn de volgenden:
       
       
Het bewijs laat ik achterwege, want dat is vrij eenvoudig met l'Hôpital.  Let erop dat bij die laatste alleen de rechterlimiet bestaat (omdat voor x < 0 natuurlijk lnx niet bestaat).

Er is een hele serie andere limieten die je vrij makkelijk in één van deze drie kunt veranderen. Als je je maar bedenkt dat daar op de plaats van die x-en in de limieten ook best andere "dingen" mogen staan die naar nul gaan. Bijvoorbeeld 3x in plaats van x.
Hier zie je een aantal voorbeelden van hoe je deze standaardlimieten gewoon zelf af en toe tevoorschijn kunt toveren.
       
Voorbeeld 1.
Deze kon trouwens ook vrij makkelijk direct met l'Hôpital. Ga dat maar na.
       
Voorbeeld 2.
       
Voorbeeld 3.
       
Voorbeeld 4.
       
Voorbeeld 5.
Je kunt die laatste standaardlimiet ook gebruiken door een grondtal g soms te schrijven als elng
Hier is een hele beroemde:
       
Limieten  van x  
       
Een groot aantal  limieten waar machten van lnx en van x en van ex  in voorkomen kun je berekenen met het podium hiernaast.

Daarin zie je dat ex de winnaar van deze drie soorten functies is. Op de tweede plaats komt xn  en op de laatste plaats lnx.
Dat is tenminste zo als het om limieten gaat waarin x naar ± gaat.

En het mooie is:  wat er verder nog aan constanten bijstaat doet er niet toe!

ex
  wint het zelfs van  1000000x400, en  2000000lnx verliest nog van x0,01  !!!! Op den duur dan..... Op den langen duur....
Op den laaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaangen duuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuur....
 
Voorbeelden van hoe het werkt met dat winnen en verliezen:
       
Voorbeeld 1.

De lnx gaat naar ∞ dus die wil deze limiet heel groot maken. De x3 gaat ook naar oneindig maar staat in de noemer dus die wil deze limiet juist heel klein maken. Het podium zegt dat x3 wint! Er komt daarom  0 uit.

       
Voorbeeld 2.
De ex gaat naar nul dus die wil deze limiet heel klein maken. De x9 gaat naar min-oneindig, dus die wil deze limiet juist heel groot (negatief)  maken. Het podium zegt dat ex wint!  Er komt dus 0 uit.
       
En natuurlijk kun  je dezen ook in andere gevallen gebruiken:
       
Voorbeeld 3.
Als x naar oneindig gaat, dan gaat xln2 naar oneindig (want ln2 > 0)
De teller gaat naar oneindig, en de noemer ook.  Maar volgens het podium wint de teller, dus er komt ¥ uit.
Je verandert dus eigenlijk  gx  in exlng . Op dezelfde manier kun je ook  glogx = veranderen in lnx/lng en daar dus zo'n standaardlimiet met lnx van maken:
       
Voorbeeld 4.
Wauw!! Eigenlijk zijn alle Loggen dus Losers!!!!

       
Tot slot een hele speciale standaardlimiet.
       
       
Het bewijs hiervan komt eigenlijk uit de oorspronkelijke definitie van het getal e. Dat was het getal waarvoor gold dat de afgeleide van ex gelijk is aan ex. In de les waarin we dat hebben afgeleid (deze trouwens) vonden we de volgende uitdrukking voor e:
Als je daarin dx vervangt door a/x dan is dus  x = a/dx en dan gaat x naar ¥ als dx van de bovenkant naar nul gaat.
Dan wordt de bovenstaande limiet:
Beide kanten tot-de-macht a nemen geeft de standaardlimiet hierboven.
       
Voorbeeld 1.
       
             
1. Bereken de volgende limieten:
             
  a.

  0 

g.

  -0,5 

             
  b.

  0 

h.

  0 

             
  c.

  0 

i.

  0 

             
  d.

  0,5 

j.

 2/3 

             
  e.

  e 

k.

  e 

             
  f.

  1/7 

l.

  3/8 

             
             
2. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1995.
             
 
 
             
3. In een cirkel met middelpunt M tekenen we een boog met lengte a en een koorde met lengte b, beiden horend bij dezelfde middelpuntshoek φ.

Zie de figuur.

Wat gebeurt er met de verhouding  a/b  als φ naar nul gaat?

             
           

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)