standaardlimieten


Standaardlimieten.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

We hebben intussen al heel wat methodes bekeken om limieten te berekenen. Nou is het zo, dat sommige limieten gewoon erg vaak voorkomen. Daarom is het voor die limieten misschien de moeite waard om ze uit het hoofd te leren. Hoef je niet steeds weer het wiel uit te vinden.....
In deze les verzamelen we een aantal nuttige limieten.
Ik heb ze in twee categorieën gesplist: "limieten naar een getal" en "limieten naar oneindig".

Limieten van x → a.

Daarvan zijn er eigenlijk DRIE wel vrij nuttig, en dat zijn de volgenden:

Het bewijs laat ik achterwege, want dat is vrij eenvoudig met l'Hôpital. Let erop dat bij die laatste alleen de rechterlimiet bestaat (omdat voor x < 0 natuurlijk lnx niet bestaat).

Er is een hele serie andere limieten die je vrij makkelijk in één van deze drie kunt veranderen. Als je je maar bedenkt dat daar op de plaats van die x-en in de limieten ook best andere "dingen" mogen staan die naar nul gaan. Bijvoorbeeld 3x in plaats van x.
Hier zie je een aantal voorbeelden van hoe je deze standaardlimieten gewoon zelf af en toe tevoorschijn kunt toveren.

Voorbeeld 1.

Deze kon trouwens ook vrij makkelijk direct met l'Hôpital. Ga dat maar na.

Voorbeeld 2.

Voorbeeld 3.

Voorbeeld 4.

Voorbeeld 5.
Je kunt die laatste standaardlimiet ook gebruiken door een grondtal g soms te schrijven als e^lng
Hier is een hele beroemde:

Limieten van x → ∞

Een groot aantal limieten waar machten van lnx en van x en van e^xin voorkomen kun je berekenen met het podium hiernaast.

Daarin zie je dat e^x de winnaar van deze drie soorten functies is. Op de tweede plaats komt xⁿen op de laatste plaats lnx.
Dat is tenminste zo als het om limieten gaat waarin x naar ±∞ gaat.

En het mooie is: wat er verder nog aan constanten bijstaat doet er niet toe!

e^x wint het zelfs van 1000000x⁴⁰⁰, en 2000000lnx verliest nog van x^0,01 !!!! Op den duur dan..... Op den langen duur....

Op den laaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaangen duuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuur....

Voorbeelden van hoe het werkt met dat winnen en verliezen:

Voorbeeld 1.

De lnx gaat naar ∞ dus die wil deze limiet heel groot maken. De x³gaat ook naar oneindig maar staat in de noemer dus die wil deze limiet juist heel klein maken. Het podium zegt dat x³ wint! Er komt daarom 0 uit.

Voorbeeld 2.

De e^x gaat naar nul dus die wil deze limiet heel klein maken. De x⁹ gaat naar min-oneindig, dus die wil deze limiet juist heel groot (negatief) maken. Het podium zegt dat e^x wint! Er komt dus 0 uit.

En natuurlijk kun je dezen ook in andere gevallen gebruiken:

Voorbeeld 3.

Als x naar oneindig gaat, dan gaat xln2 naar oneindig (want ln2 > 0)
De teller gaat naar oneindig, en de noemer ook. Maar volgens het podium wint de teller, dus er komt ¥ uit.

Je verandert dus eigenlijk g^x in e^x^lng . Op dezelfde manier kun je ook ^glogx = veranderen in ^lnx/_lng en daar dus zo'n standaardlimiet met lnx van maken:

Voorbeeld 4.

Wauw!!
Eigenlijk zijn alle Loggen dus Losers!!!!

Tot slot een hele speciale standaardlimiet.

Het bewijs hiervan komt eigenlijk uit de oorspronkelijke definitie van het getal e. Dat was het getal waarvoor gold dat de afgeleide van e^x gelijk is aan e^x. In de les waarin we dat hebben afgeleid (deze trouwens) vonden we de volgende uitdrukking voor e:

Als je daarin dx vervangt door ^a/_x dan is dus x = ^a/_dx en dan gaat x naar ¥ als dx van de bovenkant naar nul gaat.
Dan wordt de bovenstaande limiet:

Beide kanten tot-de-macht a nemen geeft de standaardlimiet hierboven.

Voorbeeld 1.

OPGAVEN

Bereken de volgende limieten:

-0,5

0,5

²/₃

¹/₇

³/₈

examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1995.

In een cirkel met middelpunt M tekenen we een boog met lengte a en een koorde met lengte b, beiden horend bij dezelfde middelpuntshoek φ.

Zie de figuur.

Wat gebeurt er met de verhouding ^a/_b als φ naar nul gaat?