De geboorte van e

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

 

In de les over de afgeleide van ghebben we ontdekt dat die afgeleide gelijk is aan  
gx
• lng waarbij er gold:

(en dx nemen we het liefst zo klein mogelijk)

En bij de echte wiskundige "kriebelt" het nu.

Bij jou ook?

Gefeliciteerd! Dat is een goed teken.

De wiskundige ziet dat de afgeleide van gx gelijk is aan een constant getal maal gx. Maar als we het nou zó weten te regelen dat dat constante getal gelijk is aan 1, dan staat er opeens een functie die gelijk is aan zijn eigen afgeleide!

Wauw!
Dus hoe snel de functie verandert is precies gelijk aan hoe hoog de grafiek is. Op hoogte 3 heeft 'ie helling 3 en op hoogte 5,28 helling 5,28.

Snel op zoek:

En nu nemen we dx zo klein mogelijk (zoals we immers graag willen).
Neem bijvoorbeeld  dx = 0,00001 dan vind je  g = 2,7182... En hoe kleiner dx hoe nauwkeuriger je uitkomt bij een vast constant getal. Hier kun je wat meer cijfers achter de komma vinden.
Deze g is zó apart en komt op zoveel plaatsen in de wiskunde voor dat er een speciale letter en naam aan zijn gegeven.
Het is het "getal van Euler" en heet voortaan  e
Dus  ln e = 1  en daarom is de afgeleide van ex  gelijk is aan....  precies!....ex

f (x) = ex  ⇒  f '(x) = ex
   
  OPGAVEN
1. Voor welke functie geldt  f '(x)  = 3 • f(x) ?  En voor welke  f '(x) = -2 • f(x) ?
2. Een kettinglijn is de kromme die precies de vorm beschrijft van een hangende ketting die aan beide uiteinden even hoog is vastgemaakt.
De algemene formule voor een kettinglijn is  y = 0,5a • (ex/a + e-x/a )
Daarbij is a een constante die o.a. afhangt van het gewicht van de ketting.
Daarbij ligt het laagste punt van de ketting bij x = 0.
a. Twee palen staan 4 meter uit elkaar.
Een ketting waarvoor a = 0,8  is tussen deze twee palen vastgemaakt. Bereken in graden nauwkeurig de hoek die de ketting met een paal maakt in de ophangpunten.

b. Een ketting is op hoogte 5 meter vastgemaakt. Het laagste punt van de ketting hangt 2 meter boven de grond. Bereken de waarde van a voor deze ketting.
   

a = 2

3. Gegeven is de functie f(x) = e-x . 
Op de grafiek van  f  liggen de punten A en B met x-coördinaten  xA = 0  en xB = 1.  Zie de figuur hiernaast.

Het vlakdeel begrensd door het lijnstuk AB en de grafiek van  f  noemen we V.

a. Bereken exact de oppervlakte van V.

3/2e - 1/2

Op de grafiek van  f  ligt een punt C waarin de raaklijn aan de grafiek van f evenwijdig is aan het lijnstuk AB
b. Bereken de x-coördinaat van C. Rond af op twee decimalen.
     

0,46

       
4. Gegeven zijn de functies  f(x) = (x2 - 2x + 1) • ex  en  g(x) = 3ex  + p
       
  Bereken voor welke p de grafieken van f en g elkaar raken.
     

-2e2 en 6e-2

       
5.
     
       
  Een lijn raakt de grafiek van f in het punt met x-coördinaat 1. Bereken het snijpunt van deze raaklijn met de x-as.
     

(1.5, 0)

       
6. Gegeven zijn de functies:
 

       
  Voor welke p heeft de grafiek van fp geen extreme waarden?
     

-32 ≤ p 32

   
7. In klein stadje krijgt men te maken met een rattenplaag. Op het moment dat men daar achter komt zijn er al 100 ratten. Het stadsbestuur looft direct een bedrag uit voor elke dode rat die ingeleverd wordt. Dat helpt niet direct: eerst blijft het aantal ratten nog stijgen, maar na verloop van tijd  is de epidemie over zijn hoogste punt heen, en daalt het aantal ratten weer. Het volgende model blijkt het aantal ratten aardig te beschrijven:
       
 

       
  Daarin is R het aantal ratten en t de tijd in weken vanaf het ontdekken van de plaag
       
  a. Bereken algebraïsch het maximale aantal ratten
     

637

  b. Met welke snelheid (ratten per dag) neemt het aantal ratten af op t = 4? Geef een algebraïsche berekening.
     

396

  b. Op welk moment is de snelheid waarmee het aantal ratten toeneemt maximaal?
     

t = 2,41

       
8. Een jongetje merkt na een klein onderzoek, dat het aantal snoepjes dat hij bij St. Maarten op een avond ophaalt nogal afhangt van hoeveel andere kinderen er in de wijk lopen.
Hij stelt het volgende model op:  S(k) = 65 • e-0,012k   
Daarin is S het aantal snoepjes en k het aantal kinderen.
       
  a. Bereken hoeveel kinderen er maximaal mogen lopen als hij minstens 30 snoepjes wil krijgen.
     

64

  b. De eigenaar van de supermarkt in de wijk is vooral geïnteresseerd in de totale hoeveelheid snoep die in de wijk zal worden uitgedeeld.
Bereken de hoeveelheid snoep die maximaal zal worden uitgedeeld.
     

1993

       
9. Gegeven zijn de functies  f(x) = xe0,5x en  g(x) = e0,5x - 2
De lijn x = p snijdt de grafiek van f in punt A en de grafiek van g in punt B
Bereken de exacte waarde van de minimale lengte van lijnstuk AB.
     

2 - 2/e

 
       

Wat stelt  ln g nou eigenlijk precies voor?

Dat kun je in DEZE LES ontdekken.
Veel plezier daar.....

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)