Spreidingsmaten.

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

   
Vorige les hebben we gezien welke drie manieren er zijn om het "MIDDEN" van een verdeling aan te geven; de modus, de mediaan en het gemiddelde. Maar het midden van een verdeling zegt natuurlijk lang niet alles. Kijk naar de histogrammen hieronder. Die hebben allemaal hetzelfde aantal metingen en dezelfde mediaan en gemiddelde. (Degenen waar de modus bestaat hebben ook nog eens dezelfde modus).Toch zijn ze nogal verschillend, vind je niet?
   
   
Waar zit hem nou dat verschil in?
Het "midden" van deze verdelingen zit wel steeds op dezelfde plaats, maar de spreiding eromheen is nogal verschillend. De eerste drie hebben nog wel ongeveer dezelfde "vorm", maar de breedte is enorm verschillend. De vierde heeft een heel andere vorm.
Er zijn verschillende manieren om de spreiding van een verdeling in een getal uit te drukken.
   
1.  De spreidingsbreedte.
   
De spreidingsbreedte is de allereenvoudigste. Het is gewoon de breedte van het histogram, ofwel de grootste meting min de kleinste.
Een voordeel is dat het zo'n makkelijk te berekenen getal is. Een groot nadeel is echter, dat deze breedte nogal gevoelig is voor n kleine afwijking. Neem het histogram in de volgende figuur:
 

 

   
Die ene kleine meting daar rechts verandert de spreidingsbreedte heel spectaculair.
   
2. De kwartielafstand.
   
Om dit laatste probleem op te vangen, en zo'n paar kleine getallen aan de rand niet teveel invloed te laten hebben, kunnen we afspreken om de buitenste getallen niet mee te laten tellen.
Je zou bijvoorbeeld kunnen afspreken om alleen het middelste deel van de figuur te nemen, bijvoorbeeld de middelste 50% van de metingen.
Verdeel je getallen in vier gelijke delen (dat wil zeggen evenveel metingen in elk deel, dus 25% van je metingen) en neem dan de breedte van de middelste twee stukken.

De grenzen waar 25%, 50% en 75% van je metingen geweest zijn heten de kwartielen Q1, Q2 en Q3. Overigens kennen wij dat tweede kwartiel Q2 ook al onder de naam mediaan (het is immers waar de helft van je metingen geweest is?)

Als maat voor de spreiding nemen we nu de middelste helft, dus dat is de afstand tussen Q1 en Q3.
Dat heeft als voordeel dat een paar lossen metingen aan de rand deze spreiding niet benvloeden. Maar het heeft uiteraard als nadeel dat de "vorm" en grootte van de buitenste helft helemaal niet worden meegeteld.

Twee voorbeelden van het berekenen van deze kwartielafstand:

   
Voorbeeld bij losse getallen.

Stel dat we de getallen  2, 3, 3, 3, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 12, 13  hebben gemeten.
De mediaan is de middelste, en van 19 getallen is dat nummer 10, dus dat is het getal 8.
We spreken nu af dat we deze mediaan niet weer meetellen voor de berekenen van de kwartielen. Dat betekent dat de mediaan de getallen verdeelt in twee groepen van negen:  2,3,3,3,5,6,6,7,8   en  8,8,9,9,10,10,10,12,13
(als de mediaan tussen twee getallen in had gezeten, dan hadden we dit probleem niet gehad).
Het eerste kwartiel is nu de middelste van de eerste groep (de mediaan van de eerste groep) en dat is Q1 = 5. En op dezelfde manier is het tweede kwartiel de mediaan van de tweede groep en dat is Q3 = 10.
De kwartielafstand is dan gelijk aan  Q3 - Q1 = 10 - 5 = 5

opm. Er zijn andere methoden om de kwartielen te berekenen. We gebruiken deze methode mede omdat ook de TI-83 daarmee rekent.
meer methoden kun je hier vinden. Het is maar wat je afspreekt....


 
   
Voorbeeld bij klassenindeling.

Bij klassenindelingen gaat het berekenen van de kwartielen eigenlijk precies zo als het berekenen van de mediaan. Het enige verschil is dat we nu bij 25% en 75% moeten kijken in plaats van 50%. Laten we de kwartielafstand van de volgende verdeling berekenen.
 
klasse [25, 33 [33, 41 [41, 49 [49, 57 [57, 65 [65, 73
frequentie 2 10 36 18 10 4
 
In de cumulatieve frequentiepolygoon rechts staan op de rechter verticale as de frequenties in procenten.
    Q1 zit tussen de punten (41, 15%) en (49, 60%)
    Dat is 45% totaal over een afstand van 8.
    25% zit 10% vanaf het begin dus dat is afstand 10/45 8 = 1,8.
    Dus Q1 = 41 + 1,8 = 42,8

Op dezelfde manier vind je de mediaan bij 50% (Med = 47,2)  en het derde kwartiel bij 75% (Q3 = 54,3) 
De kwartielafstand is dus  54,3 - 42,8 = 11,5.  
   
3.  De gemiddelde deviatie.
   
Dit is een methode waarbij wl elke meting meetelt. Het is erg eenvoudig, maar wel wat meer werk dan de vorige methodes:
 
Bereken de gemiddelde afstand tot het gemiddelde
 
Dus:  eerst bereken je het gemiddelde van alle metingen. Dan bepaal je van elke meting de afstand (deviatie) die hij tot het midden heeft. (bij klassenindelingen doe je weer alsof alle metingen in een klasse gelijk zijn aan het klassenmidden)
Tenslotte neem je het gemiddelde van al deze deviaties.

Voorbeeld.

We hebben de metingen  3, 5, 5, 5, 7, 8, 8, 8, 8, 12, 15, 16, 20, 20, 20, 36.
Bereken de gemiddelde deviatie.

Het gemiddelde is   (3 + 5 + 5 + 5 + 7 + 8 + 8 + 8 + 8 + 12 + 15 + 16 + 20 + 20 + 20 + 36)/16 = 12,25
De afstanden tot 12,25 zijn resp.: 
9.25 - 7.25 - 7.25 - 7.25 - 5.25 - 4.25 - 4.25 - 4.25 - 4.25 - 0.25 - 2.75 - 3.75 - 7.75 - 7.75 - 7.75 - 23.75
Het gemiddelde van deze getallen is ongeveer 6,7  en dat is de gemiddelde deviatie.

Voorbeeld.

Bereken de gemiddelde deviatie van de frequentieverdeling hieronder.

   
meting [0, 8〉 [8, 16〉 [16, 24〉 [24, 32〉 [32, 40〉 [40, 48〉 [48, 56〉
frequentie 5 9 13 13 16 10 7
   
De klassenmiddens zijn  4, 12, 20, ...
Het gemiddelde is  (5 4 + 9 12 + 13 20 + 13 28 + 16 36 + 10 44 + 7 52)/(5 + 9 + 13 + 13 + 16 + 10 + 7) =   29,21
Maak een nieuwe tabel met daarin de klassenmiddens en hun afstand tot het gemiddelde:
   
meting [0, 8〉 [8, 16〉 [16, 24〉 [24, 32〉 [32, 40〉 [40, 48〉 [48, 56〉
midden 4 12 20 28 36 44 52
afstand tot 29,21 25,21 17,21 9,21 1,21 6,79 14,79 22,79
frequentie 5 9 13 13 16 10 7
   
Het gemiddelde is dan: 
(5 25,21 + 9 17,21 + 13 9,21 + 13 1,21 + 16 6,79 + 10 14,79 + 7 22,79)/(5 + 9 + 13 + 13 + 16 + 10 + 7) =  11,4
   

   

modus, mediaan, gemiddelde     boxplot
   
1. Bereken van de volgende serie getallen de spreidingsbreedte, de kwartielafstand en de gemiddelde deviatie:
       
  35, 35, 35, 38, 42, 42, 42, 42, 56, 67, 67, 68, 70.
       
2. Bereken van de volgende frequentieverdeling de spreidingsbreedte, de kwartielafstand en de gemiddelde deviatie:
       
 
meting [5, 17〉 [17, 29〉 [29, 41〉 [41, 53〉 [53, 67〉 [67, 79〉 [79, 91〉
frequentie 12 35 58 123 88 73 22
       
3. Hiernaast staat een cumulatief frequentiepolygoon van de leeftijden van alle leden van een golfvereniging.

Bepaal met dit polygoon de kwartielafstand, de mediaan en de modus van deze metingen.

   
4. Van een steekproef van 5 waarden is het gemiddelde 10 en is de mediaan 12. 
Wat is de kleinst mogelijke spreidingsbreedte in deze steekproef ?
       
6. Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2001

Bij een steekproef zakken suiker bepaalt men het gemiddelde gewicht x en de spreidingsbreedte R (dat is het verschil tussen de grootste en de kleinste meting).
Men noteert al deze gegevens op een controlekaart, de x/R-kaart. Op de x/R-kaart hieronder staan de meetresultaten van 10 steekproeven.
Iedere steekproef bestaat uit 5 zakken. Op de controlekaart worden de afwijkingen van 500 gram bij ieder van deze zakken genoteerd als  x1, x2, x3, x4 en x5.
Zo heeft de derde zak van de tweede steekproef een gewicht van 509 gram. Dit is genoteerd als 9.
Het gemiddelde van de eerste steekproef is 509,6 gram. Dit wordt dan genoteerd als 9,6.
De spreidingsbreedte van de eerste steekproef is 515 - 504 = 11 gram.

       
 

       
  Bij steekproef nr. 6 zijn enkele gegevens onleesbaar geworden.
       
  a. Welke getallen kunnen hier bijvoorbeeld gestaan hebben? Licht je antwoord toe.
       
  Bij de controle van het vulproces met behulp van de x/R-kaart let men erop of x of R de zogeheten controlegrenzen overschrijden. Deze controlegrenzen zijn in de grafieken met stippellijnen aangegeven. Zodra bij een steekproef een van deze grenzen overschreden wordt slaat men alarm.
Op een gegeven moment slaat men alarm bij een steekproef terwijl met de waarde van x niets mis is.
       
  b. Wat zouden de vijf gewichten in deze steekproef bijvoorbeeld kunnen zijn? Licht je antwoord toe.
       
 

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)