Co÷rdinaten in de ruimte.

ę h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

  ruimtelijk Pythagoras
 
De plaats van een punt P in een plat vlak kunnen we aangeven met twee co÷rdinaten, meestal x en y genoemd, die aangeven hoeveel stappen we vanaf een beginpunt (de oorsprong) naar rechts en naar boven moeten gaan om in P(x, y) te komen, zoals in de figuur hier linksonder is getekend.
     

     
Maar in de ruimte is er een derde richting en daarom ook een derde co÷rdinaat nodig. In de figuur hier rechtsboven is het groene xy-vlak horizontaal neergelegd. Om de plaats van een punt Q(x, y, z) in de ruimte weer te geven moet je aangeven hoeveel je in de x-richting, hoeveel in de y-richting en hoeveel in de z-richting moet gaan vanaf de oorsprong.

Meestal wordt de x-as naar voren/achteren getekend, de y-as naar rechts/links en de z-as omhoog/omlaag.
De positieve richting van de assen is zˇ gekozen dat als een kurkentrekker van de positieve x-as naar de positieve y-as zou draaien, hij in de richting van de positieve z-as gaat bewegen.

Om punten in een ruimtelijke figuur aan te geven is het bijna altijd nodig om met hulplijntjes aan te geven waar ze nou precies liggen. Hieronder zie je bijvoorbeeld drie punten P die op precies dezelfde plaats zijn getekend, maar ruimtelijk toch totaal ergens anders liggen. Kijk maar:

     

     
Zo'n doosje erbij tekenen helpt om de plaats van een punt beter duidelijk te maken.
     
Het vinden van co÷rdinaten.

Vaak worden de co÷rdinaten van punten gegeven, maar soms moet je aan het werk om ze zelf te vinden.
Hier volgen een paar veel voorkomende gevallen.
       
1.  Het midden van een lijnstuk.    
  Als je van lijnstuk AB de co÷rdinaten van A en B hebt, dan kun je de co÷rdinaten van het midden M van dat lijnstuk heel snel en eenvoudig vinden.
Neem gewoon het gemiddelde van de co÷rdinaten van A en B, en je hebt de co÷rdinaten van M.

voorbeeld.
Als A = (2,-4, 6)  en  B = (-8, 0, 12)  dan is  M = ( (2-8)/2(-4+0)/2, (6+12)/2) = (-3, -2, 9)
       
2.  Het zwaartepunt van een driehoek.    
       
  Als je van driehoek ABC de co÷rdinaten van de hoekpunten hebt, dan kun je de co÷rdinaten van het zwaartepunt Z vinden door het gemiddelde van de co÷rdinaten van A en B en C te nemen.

voorbeeld
Als A = (2,1,5) en B = (0, 4, 7)  en  C = (4, 1, -9)  dan is   Z =((2+0+4)/3, (1+4+1)/3, (5+7-9)/3) = (2, 2, 1) 

       
3.   Een punt op een lijnstuk.    
       
  Stel je weet de co÷rdinaten van A en B, en je wilt de co÷rdinaten van een punt P op lijnstuk AB vinden,
zodat  AP : PB = 2 : 5.
Dan kun je die als volgt vinden....

De truc is:  Kijk hoeveel je A moet verplaatsen om in B terecht te komen.
Als bijv A = (3, -6, -2)  en  B = (8, 8, -9) en je wilt van A naar B gaan, dan moet je in de x-richting +5 verplaatsen (van 3 naar 8 gaan), in de y-richting +14 en in de  z-richting  -7.
Zo'n verplaatsing heet in de wiskunde een vector AB en wordt meestal genoteerd als:
     
  Omdat P het lijnstuk in verhoudingen 2 : 5 verdeelt, is dus  AP  2/7 deel van AB.
Maar dan is de vector AP ook 2/7 deel van de vector AB!
     
  Dus om in P te komen moet je vanaf A een verplaatsing van 10/7 in de x-richting doen, en 4 in de y-richting en -2 in de z-richting. Je komt dan uit in  P = (3 + 10/7, -6 + 4  en  -2 - 2)  =  (43/7, -2, -4).
       
De afstand tussen twee punten.
       
Met behulp van co÷rdinaten kun je heel gemakkelijk de afstand tussen twee punten en dus ook de lengte van een lijnstuk berekenen. Hoe dat moet, dat kun je vinden in deze les.
     
  OPGAVEN
     
1. Welk van onderstaande ruimtelijke assenstelsels zijn "goed", en welke niet?
       
 

     

allemaal goed  

       
2. T.ABCD is een piramide met vierkant grondvlak met zijden 4. De top T ligt boven het midden van dat grondvlak, en de hoogte is 6.
Leg de piramide in een assenstelsel zodat  A = (-2, 0, 0) en B = (2, 0, 0), en ABCD is een draaiing tegen de klok in.
       
  a. Geef de co÷rdinaten van de andere hoekpunten.  
     

(2,4,0)(-2,4,0)(0,2,6)

  b. P ligt op TD zo dat  TP : PD = 3 : 5.  Geef de co÷rdinaten van P
     
(-3/4, 23/4, 33/4)
   
3. Kies zelf de ruimteco÷rdinaten van drie willekeurige punten A, B en C die niet op ÚÚn lijn liggen.
       
  a. Bereken de co÷rdinaten van het zwaartepunt Z van driehoek ABC.
       
  Als AM de zwaartelijn is vanuit punt A, dan ligt Z op AB, en geldt dat  AZ : ZM = 2 : 1.
       
  b. Laat zien dat dat inderdaad klopt voor de door jou gekozen driehoek.
       
  c. Laat zien dat dat voor drie willekeurige punten ook klopt.
       
4. a. Waar liggen alle punten (x, y, z) waarvoor geldt  x = 4?
       
  b. Waar liggen alle punten (x, y, z) waarvoor geldt  y = z?
       
5. Gegeven is het prisma OAB.CDE in de figuur hiernaast met A = (5,0,0) en B = (0,4,0) en C = (0,0,6).

P is het snijpunt van de zijvlaksdiagonalen AC en OD.
S is het snijpunt van lijn BP met vlak OAE.
     
  a. Teken S. Gebruik daarbij het feit dat BP in vlak ABC ligt.
     
  b. Bereken de co÷rdinaten van S.
   
(22/3, 11/3, 2)
       
6. Een papieren driehoek heeft hoekpunten (0,0) en (34,0) en (16,24)

Als je de middens  van de zijden met elkaar verbindt krijg je een nieuwe driehoek.
Gebruik de zijden van deze nieuwe driehoek als vouwlijnen. Als je de oorspronkelijke driehoek uitknipt kun je dan een piramide vouwen van deze driehoek.

Het gaat er in deze opgave om hoe groot de inhoud van deze piramide is.
Maak deze berekening in twee stappen:

       
  a. Bereken de oppervlakte van het grondvlak.
     
102
  b. Maak een ruimtelijke tekening en stel de co÷rdinaten van de top (x, y, z)
Door vergelijkingen voor de lengten van de opstaande ribben te maken kun je z en dus de hoogte van de piramide berekenen. Doe dat, en bereken daarmee de inhoud van deze piramide.
     
408
       
7. Gegeven is balk ABCD.EFGH met AB = 12, AE = 8 en AD = 6.
P ligt op BG zodat BP : PG = 3 : 2.  M is het midden van HF.

     
  a. Bereken de lengte van PM
   
46,6
  b. AP en BH snijden elkaar in S. Bereken de hoogte van S boven het grondvlak ABCD.
   
  3 
   
8. T.ABCD is een piramide met vierkant grondvlak met zijden 8. M is het midden van TC en N het midden van AT. P is het midden van het grondvlak.
       
  a. MA en NC snijden elkaar in S.  Daarbij is SP = 1/3TP.  Leg duidelijk uit waarom dat zo is, en waarom dat niet van de lengte TP afhangt.
       
  b. Hoe groot moet TP zijn als AM = 19?
     
34
       
9. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1998.
     

  Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxyz is het viervlak ABCD gegeven door 
A(4, 0, 0), B(0, 4, 0), C(0, -4, 0) en D(0, 0, 8).
M is het midden van AD en N is het midden van BD.
Het viervlak is hiernaast getekend.

De punten P en Q liggen zo op de z-as dat de driehoeken MNP en MNQ gelijkzijdig zijn.

Bereken de z-co÷rdinaten van P en Q.

       
     

ę h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)