© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a en d zijn goed: als je daar van x naar y draait gaat de kurkentrekker in de richting van z
Bij b en c is dat niet zo, daar gaat hij precies de andere kant op.
       
2. a. Van B naar C moet je 4 opzij, dus C = (2, 4, 0)
Van C naar D moet je 4 naar achteren, dus D = (-2, 4, 0)
Het midden van het grondvlak is dan  M = (0, 2, 0)
Daar recht boven ligt de top, dus T = (0, 2, 6)
       
  b. TD is verplaatsing van (0, 2, 6) naar (-2, 4, 0) en dat is;
x-richting:  -2
y-richting: +2
z-richting: -6
TP is daar 3/8 deel van , dus in de x- y- z-richting achtereenvolgens:  -3/4, +3/4, 9/4
Dat geeft vanaf  T(0, 2, 6) het punt P(-3/4, 23/4, 33/4)
       
3. Neem bijvoorbeeld  A = (2, 4, 0)  en  B = (8, 2, 10)  en  C = (-1, 3, 2)
       
  a. xZ = (2 + 8 + -1)/3 = 3  en   yZ = (4 + 2 + 3)/3 = 3  en  zZ = (0 + 10 + 2)/3 = 4
Z = (3, 3, 4)
       
  b. A = (2, 4, 0)
M is het midden van BC:  (31/2, 21/2, 6)
AM is de verplaatsing (11/2, -11/2, 6)
AZ is de verplaatsing (1, -1, -4) en dat is inderdaad 2/3 deel van de verplaatsing AM.
       
  c. A = (xA, yA, zA) en  B = (xB, yB, zB)  en  C = (xC, yC, zC)
Dan is  Z = (1/3(xA + xB + xC), 1/3(yA + yB + yC),  1/3(zA + zB + zC))
verder is het midden van BC het punt  M = (1/2(xB + xC), 1/2(yB + yC), 1/2(zB + zC))

De verplaatsing van A naar M is  (-xA + 1/2xB + 1/2xC,  -yA + 1/2yB + 1/2yC, -zA + 1/2zB + 1/2zC)

De verplaatsing van A naar Z is  (1/3(xA + xB + xC) - xA, 1/3(yA + yB + yC) - yA,  1/3(zA + zB + zC) - zA)
Dat is  (-2/3xA + 1/3xB + 1/3xC,  -2/3yA + 1/3yB + 1/3yC,  -2/3zA + 1/3zB + 1/3zC)

En dat is inderdaad precies 2/3 deel van de verplaatsing van A naar M
       
4. a. Een verticaal vlak evenwijdig aan de y-as en aan de z-as door het punt 
(4, 0, 0) Zie hiernaast. Het vlak is uiteraard oneindig groot.
       
  b. een plat vlak dat een hoek van 45º met het grondvlak (Oxy) maat en evenwijdig is aan de x-as.
Het is hiernaast getekend (inclusief een paar hulplijntjes)
Het vlak is uiteraard oneindig groot.
       
5. a. Zie hiernaast.

BP ligt in vlak ABC.
AQ is de snijlijn van ABC met AOB

Het gezochte snijpunt S is het snijpunt van AQ met BP.
     
  b. S is het zwaartepunt van driehoek ABC, want Q is het midden van BC en P is het midden van AC.
A(5, 0, 0) en B(0, 4, 0) en C(0, 0, 6)
Dus S = (5/3, 4/3, 2)
       
6. a. De basis is 34 en ge hoogte 24, dus de oppervlakte van de oorspronkelijke driehoek is 1/2 • 24 • 34 = 408.
Het grondvlak is daar 1/4 deel van, dus heeft oppervlakte 102.
       
  b. De hoekpunten P, Q, R worden in een ruimtelijke figuur (met PQR in het grondvlak en (0,0) in de oorsprong) gelijk aan:
P(17, 0, 0) en Q(25, 12, 0) en R(8, 12, 0)

Als T = (x, y, z) dan geldt:
TP2 = (x - 17)2 + y2 + z2
TQ2 = (x - 25)2 + (y - 12)2 + z2
TR2 = (x - 8)2 + (y - 12)2 + z2

Maar aan de figuur hiernaast zie je dat:
TP2 = 172 = 289
TQ2 = 92 + 122 = 225
TR2 = 82 + 122 = 208
       
    (x - 17)2 + y2 + z2  = 289
(x - 25)2 + (y - 12)2 + z2  = 225
(x - 8)2 + (y - 12)2 + z2 = 208

Haakjes wegwerken:
x2 - 34x + y2 + z2 = 0   .....(1)
x2 - 50x + y2 - 24y + z2 = -544    ......(2)
x2 - 16x + y2 - 24y + z2 = 0   .....(3)
       
    (1) - (2) geeft  16x + 24y = 544
(1) - (3) geeft  -18x + 24y = 0
Trek dezen van elkaar af:   34x = 544  dus x = 16
invullen in de tweede:  -18 • 16 + 24y = 0  geeft  y = 12
invullen in bijv. (1) geeft:   162 - 34 • 16 + 122  + z2 = 0  en dat geeft  z = 12

De inhoud van de piramide is dan  1/3 • G • h = 1/3 • 102 • 12  = 408
       
7. a. Kies als oorsprong punt D)
B = (6, 12, 0) en G = (0, 12, 8)
BG is de verplaatsing (-6, 0, 8)
BP is daar 3/5 deel van dus de verplaatsing (-1.2, 0, 4.8)
Vanaf B geeft dat  P = (4.8, 12, 4.8)
       
  b. Zie vlak ABGH hiernaast.
AH2 = 62 + 82 = 100  dus  H = 10
Dan is GP = 4 en BP = 6
De driehoeken ASH en PSB zijn gelijkvormig (zandloperfiguur)
Dat betekent dat  AS/SP = 10/6
Dus is AS  10/16 = 5/8 deel van AP

A = (6, 0, 0)  en  P = (4.8, 12, 4.8)
De verplaatsing AP is dan  (-1.2, 12, 4.8)
AS is daar 5/8 deel van:  AS is de verplaatsing (-3/4, 71/2, 3)
Vanaf A geeft dat P = (51/4, 71/2, 3)
De hoogte van S boven het grondvlak is de z-coördinaat en is dus 3.
       
8. a. Omdat M en N de middens van TC en TA zijn, zijn AM en CN de zwaartelijnen van driehoek TAC
S is dus het zwaartepunt van TAC.
TP is de derde zwaartelijn, en het zwaartepunt van een driehoek verdeelt die in twee stukken met verhoudingen 2 : 1.
Dus is TS : SP = 2 : 1, dus is SP = 1/3TP

     
  b. Kies D als oorsprong,
dan is  T = (4, 4, h)  en C = (0, 8, 0)
M is het midden van TC, dus (2, 6, 1/2h)
A = (8, 0, 0)
AM2 = 62 + 62 + (1/2h)2 = 192
(1/2h)2 = 289
1/2h = 17
h = 34
       
9. A(4, 0, 0), B(0, 4, 0), C(0, -4, 0) en D(0, 0, 8).
M = (2, 0, 4)  en  N = (0, 2, 4)

Stel P = (0, 0, z)
MN2 = 22 + 22 + 02 = 8

PM2 = 22 + 02 + (4 - z)2  = 20 - 8z + z2
Dus is  20 - 8z + z2 = 8 want de driehoek is gelijkzijdig dus PM = MN
z2 - 8z + 12 = 0
(z - 6)(z - 2) = 0
z = 6 ∨ z = 2
Dat geeft voor P en Q de punten  (0, 0, 6) en (0, 0, 2)

       
  controle dat dan ook PN2 = 8:
met (0, 0, 6)  PN2 = 02 + 22 + 22 = 8
met (0, 0, 2):  PN2 = 02 + 22 + (-2)2 = 8
Maar dat wist je eigenlijk ook al wel uit de symmetrie van de figuur (de z-as ligt in het middelloodvlak van MN)
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)