h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Boek IV, propositie 12.
       

Teken de omgeschreven regelmatige vijfhoek van een cirkel.

       
Teken de ingeschreven vijfhoek ABCDE  (IV-11)
Teken de raaklijnen aan de cirkel in de hoekpunten daarvan.
(gevolg (III-16))

Teken de snijpunten PQRST van die raaklijnen met elkaar.
Dan is PQRST de omgeschreven vijfhoek.

MA staat loodrecht op PTen MB loodrecht op PQ.  (III-18)
Pythagoras:    (I-47)
MA2 + AP2 = MP2 
MB2 + BP2 = MP2
Maar omdat MA = MB  (straal cirkel) is ook AP = BP

AP = BP, MA = MB, MP = MP
De driehoeken MAP en MBP zijn congruent (ZZZ)  (I-8)
Dus de rode hoeken zijn gelijk en de groenen ook.
Om dezelfde reden zijn de blauwe hoeken gelijk en de paarsen ook.

Maar omdat boog AB = boog BC  (regelmatige vijfhoek) en daar horen gelijke middelpuntshoeken bij.  (III-27)
Dus tweemaal blauw = tweemaal rood,  dus blauw = rood.

       
De driehoeken MBP en MBQ zijn dan congruent (HHZ)  (I-26)
Dus paars = groen.
PQRS heeft alle hoeken gelijk (tweemaal paars/groen) en ook alle zijden (tweemaal AP/BP) dus de vijfhoek is regelmatig.
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)