h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Boek III, propositie 25.
       
Bij een gegeven cirkelsegment kun je de hele cirkel tekenen.
       
Neem een cirkelsegment op lijnstuk AB.
Teken het midden M van AB.  (I-10)
Teken de lijn door M loodrecht op AB en snij die met de cirkelboog in C. (I-11)
Teken AC.
Dan zijn er drie mogelijke gevallen:
       

       
Geval 1.  De gele hoek is groter dan de rode.
Teken dan hoek CAD gelijk aan de gele hoek.  (I-23)
Dan zijn AD en CD even groot  (basishoeken) (I-6)

AM = MB en MD = MD en de hoeken AMD en BMD zijn gelijk.
Dus de driehoeken ADE en CDE zijn congruent  (ZHZ)  (I-4)
Dus AD = CD = BD
Dus de cirkel met straal AD en middelpunt D gaat door alle drie de punten A, C en B. (III-9)

       
Geval 2. De gele hoek is gelijk aan de rode.
Dan geldt direct al (volgens dezelfde redenering als hierboven) dat AM = CM = BM
Dus de cirkel met straal AM en middelpunt M gaat door alle drie de punten A, C en B. (III-9)

       
Geval 3.  De gele hoek is kleiner dan de rode.
Dan geeft eenzelfde constructie als bij het eerste geval een punt D dat tussen C en M ligt.
Ook dan is  AD = CD = MD
Dus de cirkel met straal AD en middelpunt D gaat door alle drie de punten A, C en B. (III-9)

       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)