De primitieve van 1/x

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)


afgeleide van lnx

Bij primitiveren van xn was de enige die tot nu toe niet lukte die van  x-1 .
Immers de primitieve van xn  was  1/n+1 xn + 1  maar als n = -1 geeft dat 1/0 x0 en dat bestaat niet omdat je niet door nul kunt delen!

Gelukkig hebben we al een oplossing gevonden toen we de afgeleide van lnx bepaalden.
Dat bleek precies deze 1/x  te zijn!
Dus zal de primitieve van 1/x de functie  F(x) = lnx + c  zijn.

MAAR.....
 
Er is n probleem, en dat valt je misschien op als  je de grafieken van 1/x en lnx naast elkaar ziet (zoals hiernaast).

Het probleem is, dat y = 1/x bij negatieve x-waarden wl bestaat, maar lnx niet! Dat zou betekenen dat de functie wl bestaat, maar dat de oppervlakte onder de grafiek niet bestaat. Dat kan natuurlijk niet.

De oplossing is eenvoudig. Je zoekt een functie waarvan de afgeleide gelijk is aan de linkertak van 1/x. Aan de grafiek van 1/x zie je dat de waarden links en rechts van de oorsprong gelijk maar tegengesteld zijn. Je zoekt dus een grafiek die links van de oorsprong dezelfde helling als lnx heeft, alleen net tegengesteld.
En dat is makkelijk te bereiken: spiegel de grafiek van lnx gewoon in de y-as.
Je krijgt dan de blauwe grafiek hiernaast en dat is die van y = ln(-x).

conclusie:

f(x) = 1/x   ⇒   F(x) = ln|x|

Voorbeeld 1.

Hiernaast staat de grafiek van f(x)  = 1/(2x - 4).
Bereken de groene oppervlakte (tussen x = -1 en x = 1, de grafiek van f en de x-as).
Als je probeert als primitieve F = ln|2x - 4| dan krijg je als afgeleide
F' = 1/(2x - 4) 2  (van de kettingregel)
Dus is de juiste primitieve  F = 1/2 ln|2x - 4|
Omdat de oppervlakte onder de x-as zit, moet je een minteken voor de integraal zetten:

en dat is 
- 1/2 ln|-2| + 1/2ln|-6| = -1/2ln2 + 1/2ln6

(voor de echte liefhebbers: 
- 1/2(ln2 - ln6) = -1/2(ln2/6) = -1/2ln(1/3) = 1/2ln3)

Voorbeeld 2.

Geef een primitieve van  y(2x + 5)/(2x- 3)


En nu kun je primitiveren:  F(x) = x + 4ln|2x - 3|

1. Geef primitieven van de volgende functies:
a. f(x) = 4/(x + 3) d. f(x) = 1/(3 - x)
b. f(x) = x + 2/x e. f(x) = 2/(3x + 1)
c. f(x) = 1/(4x) f. f(x) = 1/(x2)
2. Geef primitieven van de volgende functies:
a. b. c.
3. De grafieken van y = 4x2 en  y = 7,5x + 1 en y = 1/2x sluiten een aantal vlakdelen in. Bereken algebrasch de oppervlakte van vlakdeel V dat hiernaast is aangegeven.

 

4.
Dan zul je waarschijnlijk als primitieve vinden:     F(x) = 1/2 ln|2x|
Maar  je kunt f ook z schrijven:

Nu vind je als primitieve:    F(x)  =
1/2 ln|x|  en dat is een andere!

Hoe zit dat????

5. Gegeven is de functie f(x):

V is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafiek van  f en de lijn  y = 31/2
a. Bereken de exacte waarde van de oppervlakte van V.

17/8 - 2ln2

     
b. De oppervlakte van het vlakdeel W, ingesloten door de grafiek van f,
de lijn y = x + 1 en de lijnen  x = 1  en  x = p (p > 0) is gelijk aan 2.
Bereken p.

p = e2

         
6. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2001.
         
 
  V is het vlakdeel, ingesloten door de grafiek van f, de lijnen x = -4 en x = -1 en de x-as.
Bereken de oppervlakte van V.
         
7. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2013.
 
  De functie f is gegeven door:  f(x) = (1 + lnx)/x 
De functie
gc gegeven door  gc(x) = (c + lnx)/x
In de figuur is de grafiek van g3 getekend. Ook de grafiek van f is in de figuur getekend.
W
is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafieken van f en g3 en de lijnen met vergelijking x = 1 en x =
e.

Bereken exact de oppervlakte van W.

 

2

         

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)