De oppervlakte van een cirkel.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Het begint allemaal met een eenvoudige formule zie je zeker al kent:
       
Oppervlakte cirkel = π • r2
       
Dat is er eentje die je vast nog wel uit de onderbouw kent (anders heb je een groot probleem!)
Het wordt natuurlijk pas interessant als we niet hele cirkels gaan bekijken maar delen van cirkels.
Daarbij kun je de volgende tactieken vaak gebruiken.
       
1.   Oppervlaktes van elkaar aftrekken
       
In een cirkel is een gelijkzijdige driehoek getekend zoals hiernaast. M is het middelpunt van de cirkel. We willen graag de oppervlakte van het groene deel berekenen als de straal van de cirkel gelijk is aan  6.

Dat kun je het handigst doen door je te bedenken dat dat groene deel gelijk is aan een cirkelsegment waar een driehoek van afgetrokken is:

     

       
2.  Dubbeltellen.
       
Olympiadevraagstuk.
Om de mijter van Sinterklaas te tekenen tekent zwarte Piet eerst een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden beiden 2.
Daarna tekent hij cirkelbogen met een hoekpunt als middelpunt en straal 2. Bereken de oppervlakte van de zo getekende mijter.

De basishoeken van de rechthoekige driehoek zijn 45º, dus er zijn hier twee cirkelsegmenten  van 45º door elkaar heen getekend. Eén zo'n segment heeft oppervlakte  1/8 • π • 22 = 1/2π.
Twee zulke segmenten hebben samen dus oppervlakte p.
De rechthoekige driehoek heeft oppervlakte 1/2 • 2 • 2 = 2
De mijter is het deel dat bij beide cirkelsegmenten hoort (het overlappende deel), en is er dus de oorzaak van dat de twee cirkelsegmenten een grotere oppervlakte hebben dan de driehoek.
De mijter is dus het verschil van de twee cirkelsegmenten en de driehoek, dus de oppervlakte van de mijter is π - 2.
       
3.  Cirkelsegment.
       
Als je een deel van een cirkel in de vorm van zo'n "taartpunt" vanaf het midden moet berekenen, dan heet dat een cirkelsegment. De oplossing in zulke gevallen is eenvoudig:
       
de hoek bij het middelpunt zegt je
hoeveelste deel van de hele cirkel het is.
       
Voorbeeld.

In de figuur hiernaast is een cirkel met straal 8 getekend. Dat rode cirkelsegment heeft bij het middelpunt van de cirkel een hoek van  50º.
Dat betekent dat het rode segment een oppervlakte heeft die 50/360 deel van de hele cirkel is. De oppervlakte ervan is dus  50/360 • π • 82  = 27,93

Het kleine groene oppervlaktedeel is interessanter. Om dat te vinden moet je van die 27,93 nog een driehoek afhalen. Dat is een gelijkbenige driehoek met tophoek 50º en twee benen van 8. 

Hiernaast kun je zien dat  sin25º = x/8   dus x = 8sin25º = 3,38
Verder is cos25 = h/8  dus  h = 8cos25º = 7,25
De oppervlakte is dan  3,38 • 7,25 = 24,51
Het groene deel heeft dan oppervlakte 27,93 - 24,51 = 3,42

       
4. Doorsnijdende cirkels.
 

Hiernaast staan twee even grote cirkels die elkaar doorsnijden. De straal van beide cirkels is gegeven , en ook de afstand MN tussen de middelpunten. De vraag is: hoe groot is het gebied dat tot beide cirkels behoort?
Dat bereken je zó:

•

Bereken de oppervlakte van driehoek MNS hiernaast.

•

Bereken de oppervlakte van het blauwe cirkelsegment hiernaast

•

Als je twee zulke cirkelsegmenten bij elkaar optelt (vanaf middelpunt N en vanaf middelpunt M) heb je meer dan de oppervlakte van de driehoek, namelijk het overlappende deel extra.

•

Het deel dat tot beide cirkels behoort is het dubbele daarvan.  
Je gebruikt dus eigenlijk de methode van het dubbel tellen hierboven.
       
Voorbeeld.
Twee cirkels met straal 8 doorsnijden elkaar. De afstand tussen beide middelpunten is 12. Bereken de oppervlakte van vlakdeel dat binnen beide cirkels ligt.
 

Zie de figuur hiernaast. SP2 = 82 - 62  dus SP = 28
De oppervlakte van driehoek SMN is dan  0,5 • 12 • 28 = 31,75

Voor de hoek bij N van het blauwe cirkelsegment geldt cosa = 6/8 dus die hoek is ongeveer 41,4º . Dan heeft het blauwe cirkelsegment oppervlakte  41,4/360 • π • 82 = 23,13. Twee zulke segmenten hebben dan oppervlakte 46,25.
Dat is  46,25 - 31,75 = 14,50 meer dan de driehoek. Het overlappende deel binnen de driehoek heeft dus oppervlakte 14,50, dus de oppervlakte van het vlakdeel binnen de cirkels is gelijk aan  2 • 14,50 = 29,00
       
N.B.
Als de cirkels niet even groot zijn, zul je de cosinusregel moeten gebruiken om de zijden en hoeken van driehoek MSN te berekenen. De berekeningen gaan verder ongeveer hetzelfde.

Voorbeeld.
Twee cirkels met stralen 4 cm en 7 cm doorsnijden elkaar want hun middelpunten liggen 8 cm van elkaar af.

Driehoek MNP heeft zijden  4 en 7 en 8.
De cosinusregel geeft: 42 = 72 + 82 - 2 • 7 • 8 • cosα  ⇒ α ≈ 29,99º
Dan heeft het cirkeldeel met hoek α een oppervlakte van
29,99
/360 • π • 72 ≈ 12,83
Verder is  QN = 7 cosα ≈ 6,06  en  PQ = 7 • sinα ≈ 3,50
Dus driehoek PQN heeft oppervlakte 0,5 • 6,06 • 3,50 ≈ 10,61
Voor het groene cirkeldeel blijft dan over  12,83 - 10,61 = 2,22
 

Op dezelfde manier vind je voor het rode cirkeldeel een oppervlakte van ongeveer 5,13.
Het totale overlappende deel van beide cirkels heeft dan oppervlakte:  2 • (5,13 + 2,22) ≈ 14,70
       
OPGAVEN
       
1. Kies op een cirkel c met middelpunt M twee willekeurige punten P en Q.
N is het midden van lijn stuk PQ.

Je kunt nu twee nieuwe cirkels tekenen:
Een rode cirkel met middelpunt N en straal PN
Een blauwe cirkel met middelpunt M en straal MN.

Toon aan dat de oppervlakte van de rode cirkel plus de oppervlakte van de blauwe cirkel gelijk is aan de oppervlakte van de oorspronkelijke cirkel c.

 

       
2. In de figuur hiernaast zie je twee cirkels c1 en c2 met straal 3.
Het middelpunt M1 van c1 ligt op c2  en het middelpunt M2 van c2 ligt op c1. P en Q zijn de snijpunten van c1 en c2

     
  a. Bereken de oppervlakte van parallellogram M1PM2Q
   

18/43

  b. Bereken de oppervlakte van het gebied dat binnen beide cirkels ligt.
   

18/3π -18/43

 
       
3. In een cirkel met straal R rolt een kleinere cirkel met straal R/3, zo dat hij de grotere cirkel steeds raakt.

In die kleinere cirkel rolt een derde cirkel met straal R/9 zo dat hij de kleinere cirkel steeds raakt.

Hoe groot is de totale oppervlakte die de kleinste cirkel kan beschrijven?

     

8/9π R2

     
4. AB is de raaklijn aan een cirkel met middelpunt M.
Hoek θ  wordt zo gekozen dat de rode oppervlakten hiernaast gelijk zijn.

Benader deze hoek in graden nauwkeurig.

     

67º

       
5.
Vaas Barcelona
De elegante vaas Barcelona met zachte rondingen is een juweel. De ronde vormen geven de vaas een lieflijke uitstraling. De Barcelona serie sluit uitstekend aan bij moderne en klassieke monumenten van RVS, glas en natuursteen. De vazen zijn geschikt voor lasergravure van tekst of afbeelding en zijn voorzien van een vorstbestendige kunstsof binnenvaas.

Roestvaststaal is een hoogwaardig en onderhoudsvriendelijk materiaal dat bestand is tegen alle weersinvloeden. De slijprichting zorgt ervoor dat het licht op verschillende manieren weerkaatst en geeft de RVS grafmonumenten en accessoires een mooie glans.
 

Hierboven zie je een stukje uit de advertentie voor urnen van de firma "Memorial Design" uit Heemstede.

  Hiernaast zie je een schematische tekening van het bovenaanzicht van een vaas. De punten A, B en C zijn middelpunten van de cirkels waarvan de overstaande zijden delen van de omtrek zijn. De straal van zo'n cirkel is voor de grote vaas 180 mm. De binnenvaas daarvan heeft straal 5,5 cm.
De hoogte van de vaas is 400 mm.

Bereken de totale roestvrijstalen oppervlakte van de grote  vaas. De bodem is geheel roestvrij staal.
Geef je antwoord in cm2 nauwkeurig.

     

2624 cm2

       
6. Een cirkel met straal 6 en een cirkel met straal 8 doorsnijden elkaar, omdat de afstand tussen de beide middelpunten gelijk is aan 12.
Bereken in twee decimalen nauwkeurig de oppervlakte van het vlakdeel dat binnen beide cirkels ligt.
     

9,64

       
7. Twee cirkels met straal 4 en straal 6 doorsnijden elkaar.
Daarbij is de lengte van lijnstuk PQ gelijk aan 7.

Bereken de groene oppervlakte in de figuur hiernaast in twee decimalen nauwkeurig.

     

15,63

8. In een rechthoekige driehoek met een hoek van 60º zijn twee cirkelbogen getekend.

De middelpunten van de cirkels waren de hoekpunten van de driehoek.

Bereken de oppervlakte van het rode gebied hiernaast. Rond je antwoord niet af!

     
   

83 - 9/4π

       
9. Olympiadevraagstuk.

De Mickey Mouse figuur hiernaast is symmetrisch
De grote cirkel heeft straal 1.
De randen van de oren zijn halve cirkels.
AB gaat door het middelpunt van de grote cirkel.

Bereken de oppervlakte van de hele figuur. Rond je antwoord niet af!

 

     

π + 1

       
10. Ik moet een groot aantal cirkels met straal 1 uit hout zagen. Daarvoor wil ik kiezen uit twee verschillende methoden.
Bij de eerste manier liggen de middelpunten van de cirkels op de hoeken van vierkanten.
Bij de tweede manier liggen die middelpunten op de hoekpunten van gelijkzijdige driehoeken. Zie de tekening hiernaast.
De cirkels worden uit een rechthoekige plaat hout gezaagd, het overblijvende hout gaat verloren.

     
  a. Bereken voor beide methoden de hoeveelheid hout die ik nodig heb voor 8 cirkels.
     

32 en 33,59

  Voor de benodigde hoeveelheid hout bij 2n cirkels geldt:   H1(2n) = 8n  en  H2(2n) = (2 + √3)•(2n + 1) 
       
  b. Toon deze formules aan.
       
  c. Bereken voor welke aantallen cirkels methode 2 de goedkopere is (het minste hout kost).
     

vanaf 14

       
11. Hiernaast zie je een gelijkzijdige driehoek waarvan één van de zijden een middellijn van de getekende cirkel is. Bereken de oppervlakte van het gekleurde vlakdeel als de cirkel straal 4 heeft.

     

8(√3-1/3π)

   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)