© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. De straal van de rode cirkel is NP
De straal van de blauwe cirkel is MN
De straal van cirkel c is MQ

Pythagoras in driehoek MNQ:  MN2 + NQ2 = MQ2
Vermenigvuldig alles met π:

πMN2 + πNQ2 = πMQ2 

Daar staat:  oppervlakte blauw + oppervlakte rood = oppervlakte c

       
2a. M1M2Q is een gelijkzijdige driehoek met zijden 3.
Voor de hoogte h daarvan geldt  h2 = 32 - 1,52 = 63/4
h = √(63/4) = √(27/4) = 1/2√27 = 3/2√3
oppervlakte is  1/2 • 3 • 3/2√3 = 21/4√3
de oppervlakte van het parallellogram is dan 2 • 21/4√3 = 41/2√3
     
2b. Een cirkelsector M1QP heeft hoek 120º
De oppervlakte daarvan is dan  1/3 • π • 32 = 3π
De beide cirkelsectoren hebben samen oppervlakte 6π
Daar moet het parallellogram vanaf, want dat is dubbel geteld.

Dan blijft over  6π - 41/2√3
       
3. De kleine cirkel kan overal in het gebied komen dat door de middelste cirkel wordt doorlopen.

Dat is het gebied tussen de buitenste cirkel met straal R en de zwarte binnenste cirkel met straal R/3

Die oppervlakte is  πR2 - π(R/3)2 = πR2 - 1/9πR2 = 8/9πR2
 

       
4. De bovenste rode oppervlakte is  θ/360 • πR2

AB = Rcosθ, 
dus de driehoek ABM heeft oppervlakte 1/2 • Rtanθ • R

Als de rode oppervlaktes gelijk zijn, dan is de oppervlakte van ABM het dubbele van die rode oppervlakte.

Dus  1/2 • Rtanθ • R = 2• θ/360 • πR2 
1/2 • tanθ  = 2 • θ/360 • π 
Invoeren in de GR en dan intersect levert  θ ≈ 67º

       
5. De rode cirkelsector hiernaast heeft middelpuntshoek 60º
De oppervlakte daarvan is dan 1/6 • π • 1802 = 5400π
De drie sectoren hebben samen dan oppervlakte 3 • 5400π = 16200π

Maar dan is die gelijkzijdige driehoek in het midden drie keer meegeteld. Die driehoek heeft zijden 180
Voor de hoogtelijn h geldt dan  h2 = 1802 - 902 = 24300
h = √(24300) = 90√3
De oppervlakte is  1/2 • 90√3 • 180 = 8100√3  

       
  De roestvrijstalen oppervlakte in het ondervlak is dan  16200π  - 2 • 8100√3 = 22834, 5779
De roestvrijstalen oppervlakte in het bovenvlak is dan  22834,5779 - π • 552 = 13331,2601
       
  De omtrek van het bovenoppervlak bestaat uit 3 delen die elk 1/6 cirkel zijn.
Samen is dat een halve cirkel:  omtrek  π • 180
De oppervlakte van de gebogen zijkant van de urn is dan  π • 180 • 400 = 226194,6711

Samen geeft dat roestvrijstalen oppervlakte  22834,5779 + 13331,2601 + 226194,6711 = 262360,5 mm2
Dat is ongeveer 2624 cm2  
       
6. Zie de figuur hiernaast.

cosinusregel:
62 = 82 + 122 - 2 • 8 • 12 • cosα
cosα = 0,8958
α = 26,38º
De oppervlakte van cirkelsector vanuit N is dan 
26,38/360 • π • 82 = 14,7358

82 = 62 + 122 - 2 • 6 • 12 • cosβ
cosβ = 0,8056
β = 36,34º
De oppervlakte van cirkelsector vanuit M is dan
36,34/360 • π • 62 = 11,4153
       
  AB = 6sinb = 3,55
Oppervlakte driehoek MNA is  1/2 • 12 • 3,55 = 21,3307
Het gedeelte binnen beide cirkels is  14,7358 + 11,4153 - 21,3307 = 4,8204
Het gehele overlappende cirkeldeel is dan 2 • 4,8204 ≈ 9,64
       
7. Zie de tekening hiernaast.

BS = SQ = 3,5
sinα = 3,5/6 ⇒  α = 35,69º
sinβ = 3,5/4 ⇒  β = 61,04º

SN = 6cosα = 4,87
SM = 4cosβ = 1,94

MN = 4,87  +1,94 = 6,81
De oppervlakte van driehoek MNP is  1/2 • 6,81 • 3,5 = 11,92

De cirkelsector vanaf N met hoek α heeft oppervlakte
35,69/360• π • 62 = 11,21
De cirkelsector vanaf M met hoek β heeft oppervlakte 
61,04/360 • π • 42 = 8,52

       
  Tel beide cirkelsectoren op en trek driehoek MNP er weer af. Dat geeft oppervlakte 7,82
De oppervlakte van het deel binnen beide cirkels is dan 2 • 7,81 = 15,63
       
8. De driehoek heeft hoeken van 30º en 60º en 90º

Het bovenste cirkeldeel heeft oppervlakte 30/360 • π • 32 = 3/4π
Het onderste cirkeldeel heeft oppervlakte 60/360 • π • 32 = 11/2π

Als de rechtopstaande zijde lengte x heeft, dan geldt  tan60º = x/4
x = 4 • tan60º = 4√3
De oppervlakte van de driehoek is dan  1/2 • 4 • 4√3 = 8√3

Het gekleurde deel heeft oppervlakte 8√3 - 21/4π

       
9. Omdat de randen halve cirkels zijn is AC een middellijn van zo'n kleinere cirkel.
AC2 = 12 + 12 ⇒  AC = √2
De straal van een kleinere cirkel is dus 1/2√2

Twee zulke halve cirkels hebben samen oppervlakte π•(1/2√2)2 = 1/2π
Driehoek ABC heeft oppervlakte 1/2 • 2 • 1 = 1
Samen geeft dat oppervlakte 1 + 1/2π
Daar moet nog de onderste helft van die grote cirkel bij.
1 + 1/2π + 1/2 • π • 12 = 1 + π is dan de totale oppervlakte

       
10. a. eerste methode:  de rechthoek is 8 bij 4
en heeft dus oppervlakte 32

tweede methode: zie de figuur hiernaast.
het rode lijnstukje is de hoogtelijn in een gelijkzijdige driehoek met zijden 2. Voor de lengte h geldt dan  h2 = 22 - 12  = 3
Dus h = √3
De breedte van de rechthoek is 9, de hoogte is 2 + √3
De oppervlakte is dan 9 • (2 + √3) ≈ 33,6

       
  b. Bij 2n cirkels liggen er n naast elkaar.

de eerste methode geeft een rechthoek van 2n bij  4 dus oppervlakte 8n
de tweede methode geeft een rechthoek van 2n + 1 bij  2 + √3  dus oppervlakte  (2n + 1)(2 + √3)
       
  c. 8n = (2n + 1)(2 + √3)
8n = 4n + 2n√3 + 2 + √3
n(4 - 2√3) = 2 + √3
n = (2 + √3)/(4 - 2√3)  = 6,96
vanaf 14 cirkels (n = 7) is methode 2 goedkoper.
       
11. MC2 = 82 - 42 = 48  dus  MC = 4√3

omdat ∠MAD = 60º en MA = MD  zijn de driehoeken MAD en MEB ook gelijkzijdig.

Oppervlakte MDCE is  1/2 • DE • 1/2MC • 2 = 4 • 2√3 = 8√3
Oppervlakte cirkeldeel MDE is  60/360 • π • 42 = 22/3π

Het gekleurde deel heeft dan oppervlakte  8√3 - 22/3π

       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)