De Lorentzkromme.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
       
De Lorentzkromme is een grafiek uit de economie Hij geeft de verdeling van inkomens van een bepaalde groep weer.  Zet alle mensen op volgorde van laag naar hoog inkomen. Op de x-as zet je nu hoeveel procent van de mensen je hebt gehad, en op de y-as hoeveel procent van het totaalinkomen die mensen hebben. 
 
Hiernaast zie je een typische Lorentzcurve. Er is bijvoorbeeld in af te lezen dat  de 30% minst verdienende mensen samen slechts 15% van het inkomen verdienen.

De blauwe lijn hoort bij de meest gelijke inkomensverdeling: als iedereen precies evenveel verdient. De meest ongelijke verdeling zou je vinden als één persoon alles verdient, en dat zou de x-as van 0 tot 100 zijn plus een stip bij (100, 100)

 
   
1. Hoeveel procent van alle geld wordt verdiend door de rijkste 20% van de mensen in de figuur hiernaast?
 

≈28%
       
Als getal om de inkomensongelijkheid van een groep weer te geven gebruiken economen de zogenaamde Gini-coëfficiënt. Dat is de oppervlakte tussen beide grafieken gedeeld door de oppervlakte onder de blauwe lijn (en die is 5000).
   
2. Leg duidelijk uit waarom een Lorentzkromme altijd onder de lijn y = x ligt.
   
3. In een toeristische plaats zijn maar liefst 20 restaurants. Er zijn 4 dure restaurants (met elk één of meer Michelin-sterren), en 16 goedkopere. De vier dure restaurants zorgen voor 60% van de omzet, de 16 goedkoperen maken dus samen 40% van de omzet.
Teken een Lorentzkromme die deze verdeling weergeeft, en bereken de Gini-coëfficiënt.
     

0,6
       
4. Voor een land geldt de Lorentzkromme  y = b • x1,3
Bereken de waarde van b in vier decimalen nauwkeurig.
     

0,2512
       
5. Stel dat je de Lorentzkromme van de inkomens van een groep mensen hebt gemaakt.
Hoe zal die dan veranderen als:
           
  a. Iedereen er  €100,- bij krijgt.
           
  b. Iedereen er 10% bij krijgt?
           
  c. Iedereen €100,- minder krijgt.
           
6. In de volgende tabel is de bevolking van een gebied in 10 groepen verdeeld, gerangschikt naar de hoeveelheid geld die men in een jaar bij de verzekering declareerde voor de gezondheidszorg. De laagste groep declareerde het minst aan de gezondheid (dat waren dus de gezondste mensen), de hoogste groep besteedde het meest. Elke groep bestond uit 10% van de bevolking.
           
 
groep 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
% van totale besteding 0,0% 0,1% 0,6% 1,2% 2,0% 3,4% 5,4% 9,1% 16,5% 61,7%
           
  Teken bij deze gegevens een Lorentzkromme.
           
       
       
Het berekenen van de Gini-coëfficiënt.

Normaal gesproken is die Gini-coëfficiënt niet zo makkelijk uit te rekenen. Maar als je een formule voor de Lorentzkromme hebt, dan kan je GR dat voor je doen. Ik zal uitleggen hoe dat gaat.
 
  Stel de Lorentzkromme heeft formule  y = 0,1 • x1,5
Voer dan in de GR in:  Y1 = X - 0,1 • X^1,5 
(dat is de formule voor de afstand tussen de Lorentzkromme en de blauwe lijn y = x.
Zet je WINDOW  op 100 bij 100
Gebruik nu:    calc -  ∫f(x)dx  (optie 7)
Kies Lower Limit X = 0  en Upper Limit  X = 100, en je ziet je GR de oppervlakte berekenen.
Er komt in dit geval 1000 uit, dus de Gini-coëfficiënt gelijk aan 1000/5000 = 0,2)
       

       
Als je de procenten op de assen van de Lorentzkromme niet  als een getal tussen 0 en 100 weergeeft, maar als een getal tussen 0 en 1,  dan kun je veel Lorentzkrommen benaderen door de functie y = xa  (met a een getal groter of gelijk aan 1). Immers de grafiek gaat dan altijd door (0,0) en (1,1).
       
7. Voor de Lorentzkromme van een land geldt ongeveer  f(x) = 0,02512x1,8
Bereken de Gini-coëfficient van dat land.
         

0,28
           
8. De Gini-coëfficiënt van de Verenigde Staten in 2000 was ongeveer 0,40.
Bepaal welke a van de Lorentzkromme y = xa  daarbij past.
         

21/3
           
       
Het opstellen van een  Lorentzkromme.
       
Als je een tabel met een aantal meetpunten van de Lorentzkromme hebt, dan kan je GR daar ook de best passende formule  y = a • xb  bij verzinnen.
Stel dat vijf kinderen in een gezin elk een hoeveelheid zakgeld krijgen, en dat de zakgeldverdeling als volgt is:
       
kind A B C D E
zakgeld €2,00 €3,50 €5,00 €5,00 €9,50
       
De totale hoeveelheid zakgeld in een week is dan  €25,00
In de volgende tabel zie je hoeveel procent van de kinderen hoeveel procent van die 25 krijgen.
       
kind A B C D E
% van kinderen 20 40 60 80 100
zakgeld €2,00 €3,50 €5,00 €5,00 €9,50
% van zakgeld 8 22 42 62 100
       
Dat geeft de punten  in de figuur hiernaast  ((0,0) is ook gebruikt).

Je GR kan daar een passende formule bij maken.
Dat gaat zo.

Zet de meetgegevens in de lijsten L1 en L2 van je GR. Dat kan via STAT - EDIT. Zet de x-waarden (% van de kinderen in L1 en de y-waarden (% van zakgeld in L2).

Gebruik nu STAT - CALC - PwrReg (optie A)
Zet daar achter (L1, L2, Y1) en je GR produceert een formule van de vorm y = axb  en zet hem bovendien meteen voor je in Y1.

       

       
De formule van de Lorentzkromme wordt in dat geval  y = 0,077  • x1,54
Dan de oppervlakte uitrekenen tussen Y1 en y = x geeft in dit geval een Gini-coëfficiënt van ongeveer 0,27.
       

     

afstandenboom

      
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)