Lijnstukken in grafieken.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

   
In, om, tussen, onder en bij grafieken zijn een boel lijnstukken te tekenen. Deze les zullen we bekijken hoe je de lengtes van een aantal daarvan kunt berekenen.
We zullen drie verschillende basis-lijnstukken onder de loep nemen, in volgorde van makkelijk naar steeds moeilijker. Dat zijn verticale, horizontale en schuine lijnstukken.
   
1. Verticale lijnstukken.
   
Dat is natuurlijk kinderlijk eenvoudig: de lengte van een verticaal lijnstuk van een punt op de grafiek van f(x) naar de x-as toe is natuurlijk gelijk aan de y die bij dat punt hoort.
Als de x-coördinaat gelijk is aan p, dan is de y-coördinaat (en dus de lengte van dat lijnstuk) gelijk aan f(p). Lijkt me logisch.

   
Gevolg daarvan is dat de lengte van een verticaal lijnstuk tussen twee grafieken in gelijk is aan  f(x) - g(x)  of  g(x) - f(x). Dat hangt ervan af welke grafiek de bovenste is.

In de figuur hiernaast zou voor het getekende lijnstuk gelden dat L = g(p) - f(p)
Als bijvoorbeeld gevraagd wordt voor welke p de lengte van het lijnstuk gelijk is aan 4, dan los je gewoon de vergelijking  g(p) - f(p) = 4 op.

   
2. Horizontale lijnstukken.  
   
Die lijken op het eerste gezicht nog makkelijker.
De lengte van een horizontaal lijnstuk tussen de grafiek van f en de y-as bij  x = p is uiteraard gelijk aan p!!
En als de y-waarde gegéven wordt, dan kun je p  berekenen door op te lossen   f(p) = q.

Maar het wordt interessanter als het gaat om de lengte van een lijnstuk tussen twee grafieken in.

Als de waarde van q gegeven wordt, en je moet de lengte van het lijnstuk uitrekenen dan los je gewoon op  f(p) = q  en  g(p) = q  en het verschil tussen beide p-waarden die je vindt is de lengte van het lijnstuk. (hiernaast is dat   p2 - p1).

Maar als de vraag nou bijvoorbeeld is:  "Voor welke q heeft het lijnstuk tussen de grafieken lengte 4?"   Tja, dan wordt het lastiger.... Je kunt moeilijk allemaal waarden voor q gaan proberen.


Het handigst in zo'n geval is, om de x van het eerste punt p te noemen, dan is de x van het tweede punt gelijk aan p + 4. (zodat de lengte ertussen 4 is). Omdat die beide x-waarden dezelfde y moeten opleveren, moet gelden:  f(p + 4) = g(p)

Die vergelijking kun je (hopelijk) oplossen, en dat levert je p en daarna ook eenvoudig q.

   
3. Schuine lijnstukken.  
   
Voor de lengte van schuine lijnstukken is er maar één toverwoord:  "Pythagoras".
De afstand tussen de punten (a, b) en (c, d) is gelijk aan √((c - a)2 + (d - b)2).
Als je de volgorde van c - a of  d - b  per ongeluk verkeerd doet, dan maakt dat niet eens uit:  je moet toch kwadrateren.

Bedenk daarbij wél dat een willekeurig punt van de grafiek van f(x) de coördinaten
(p, f(p)) heeft.  

   
Voorbeeld:  Welk punt van de grafiek van y = 2x + 1 heeft afstand 13  tot het punt (16,4)?

De twee punten waar het om gaat zijn dan (16,4) en (p, 2p + 1)
Pythagoras daartussen geeft:   L = √((p - 16)2 + (2p + 1 - 4))2 = 13
Dat geeft na kwadrateren en haakjes wegwerken: 
p
2 - 32p + 256 + 4p2 - 12p + 9 = 169
   5p2 - 44p + 96 = 0
   p = 4,8  of  p = 4
Het zijn de punten  (4, 9) en  (4.8, 10.6)  

   
Verhoudingen van lijnstukken.
   
Als het gaat om gegeven verhoudingen van lijnstukken, dan werkt het eigenlijk precies zoals hierboven. Als twee lijnstukken de verhoudingen 2 : 3 hebben, dan zou ik de ene 2p noemen en de andere 3p.  En als die verhouding  5 : 8 is, zou ik ze 5p en 8p noemen, en ga zo maar door.

Twee voorbeelden zullen wel duidelijk maken hoe het in zijn werk gaat.
   
Voorbeeld.   De lijn x = p snijdt de grafieken van y = 5x en y = x2 in de punten A en B en de x-as in C. Voor welke p geldt  dat AB : BC = 2 : 3 ?

Oplossing:
Hiernaast zie je dat moet gelden  p2 = 3a  en  5p = 5a
Uit de tweede vergelijking volgt  a = p  en daarna geeft de eerste vergelijking
dat   p2 = 3p  ofwel  p = 0  of   p = 3.
p = 0 valt af  (AB = BC = 0) dus blijft over p = 3.

Voorbeeld.  De lijn y = p  snijdt de grafieken van y = 5x en y = x2 in de punten A en B en de y-as in C.  Voor welke p geldt  dat AB : AC = 3 : 5 ?

Oplossing.
Hiernaast zie je dat moet gelden   5 • (5a) = (8a)2  immers de y waarden van A en B moeten gelijk zijn.
Daaruit volgt  25a = 64a2   ofwel  a = 0  of  a = 25/64  
Omdat  p = 5a   geeft dat  vervolgens  p = 0  of  p = 125/64
p = 0 valt af (AB = AC = 0), dus blijft over  p = 125/64

   
   
  OPGAVEN
   
1. Gegeven zijn de functies f(x) = x2 + 1  en  g(x) = 0,5x

     
  a. Een verticale lijn x = p (met p > 0) snijdt de grafieken van f en g in de punten A en B zodat AB = 6. 
Bereken p.
   

  p = 2,5

  b. Een verticale lijn x = q (met q > 0) snijdt de grafiek van f in A en de grafiek van g in B en de x-as in C, zodat  BC : AB = 3 : 17
Bereken q.
   

 q = 3 of 1/3

     
2. Gegeven zijn de functies  f(x) = 6 + √x  en  g(x) = x,   beiden voor  x 0

     
  a. Een horizontale lijn y = p snijdt de grafieken van f en g in de punten A en B zodat AB =  51/4 . Bereken p.
   

7,5 of  (13+46)/2

  b. Een horizontale lijn y = q  met  q < 9  snijdt de grafiek van f  in A, de grafiek van g in B en de y-as in C, zodat  AC :  AB =  25 : 9
Bereken q
   

 81/2 

       
3. Welk punt van de grafiek van y = 3√x heeft afstand 20  tot de oorsprong?
     

(16,12)

       
4. Gegeven zijn de parabolen  P1y = 2x2 + 6x + 8  en  P2y = 4x - x2 + 3
Tussen deze twee parabolen worden een aantal verticale lijnstukken x = p getekend.
     
  a. Voor welke p heeft zo'n lijnstuk lengte 5,07?
   

-7/10 en 1/30

  b. Wat is de minimale lengte van zo'n lijnstuk?
   

42/3

     
  Maar je kunt natuurlijk net zo goed tussen deze parabolen een aantal horizontale lijnstukken tekenen. 
Als je een lijn y = q met  31/2 < q < 7 tekent dan heeft die vier snijpunten met de twee parabolen.  Kies daarvan de twee snijpunten die op verschillende parabolen liggen en zo dicht mogelijk bij elkaar. Dan heb je daartussen een horizontaal lijnstuk.
       
  c. Hoe lang is dit lijnstuk voor q = 6?
     

21/2 - 1/25

  d. Bereken voor welke q dit lijnstuk lengte 1,7 heeft.
     

q 6,71

       
5. De lijn y = ax snijdt de parabool y = x2 in O(0,0) en in punt P.
Voor welke a is de lengte van lijnstuk OP gelijk aan √90? Geef een algebraïsche berekening.
     

a = 3 of -3

       
6. Gegeven zijn de functies f(x) = 1/x  en g(x) = x2  voor x > 0.
Een horizontale lijn y = p snijdt de y-as in punt A, de grafiek van f in punt B en de grafiek van g in punt C.
       
  Voor welke p geldt  AB : BC = 8 : 117 ?  
     

p = 6,25

       
7. Gegeven zijn de functies f(x) = 1 + √(x + 8)  en g(x) = 1/2x
De lijn y = p snijdt de grafiek van f in punt P, de grafiek van g in punt Q en de y-as in punt R.

Er zijn twee mogelijkheden waarbij PR : PQ = 2 : 3 zoals hiernaast te zien is.

 
  a. Bereken de twee bijbehorende p-waarden in twee decimalen nauwkeurig.
   

 4.39  en  1.83

  b. Er zijn drie horizontale lijnen waarvan de grafieken van f en g een stuk van lengte 10 afsnijden.
Geef de vergelijkingen van die drie lijnen.
   

y = 1 en 3 en 6.58

 
       
8. Een horizontale lijn y = q snijdt de grafiek van y = 4√x - x in de punten A en B zodat AB = 2,4. 
Bereken q
     

q = 3,91

9. A is het punt  (0, q)
De lijn y = q  snijdt de grafiek van y = x2 - 4x + 5  in de punten B en C.
Bereken q als geldt dat  AB : BC = 2 : 3
     

q = 149/49 of 101

10. De lijn y = q snijdt de grafiek van y = sinx  voor  0 < x < p  in de punten A en B zodat AB = 2.
Bereken q in drie decimalen nauwkeurig.
     

q = 0,540

   
   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)