verschilrijen


Verschilrijen.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Ik weet niet hoe het met jou is, maar als ik bij een IQ test of zo een rij getallen zie, en ik moet de volgende ervan proberen te raden, dan kijk ik eigenlijk meteen naar de verschillen tussen de getallen. Of er regelmaat zit in hoeveel erbij komt of vanaf gaat.
Neem de volgende rij:

4 - 6 - 10 - 16 - 24 - 34 - 46 - ....

Als je een beetje ervaring met regelmaat in rijen hebt, dan zie je meteen dat de verschillen van de getallen in deze rij gelijk zijn aan 2 - 4 - 6 - 8 - 10 - 12 - ....
Dus de volgende getallen zullen zijn 60 - 76 - 94 - .... enz.

Laten we eerst even wat notatie zaken afspreken.
Δu_n betekent "hoeveel erbij is gekomen om u_n te krijgen vanuit de vorige u_n_-1"
Ofwel in formule:

Δu_n = u_n - u_n_{- 1}

Als je de rij hierboven in een tabel zet, dan krijg je dit:

n	1	2	3	4	5	6	7	8
u_n	4	6	10	16	24	34	46	60
Δu_n	-	2	4	6	8	10	12	14

Als je de middelste rij even vergeet is het niet zo moeilijk een directe formule voor Δu_n te maken.
De rij voor Δu_n is namelijk gewoon een rekenkundige rij. En die kennen we....
De formule daarvan is Δu_n = 2n - 2
Maar dat maakt het mogelijk een recursieformule voor u_n zélf op te stellen, immers omdat Δu_n = u_n - u_n_{- 1} geldt ook u_n = u_n_-1 + Δu_nEen belangrijke eigenschap!!!!

u_n = u_n_-1 + Δu_n

Deze formule maakt het mogelijk om een recursieformule van een rij te maken als we van de verschilrij een directe formule hebben. In bovenstaand geval zou de recursievergelijking dus worden: u_n = u_n_{- 1} + 2n - 2

OPGAVEN

1.	Geef recursievergelijkingen voor de volgende rijen en bepaal met je GR de waarde van u₂₀ . De rijen beginnen steeds met u₁.

	a.	4 - 10 - 20 - 34 - 52 - 76 - ...

	b.	200 - 220 - 238 - 254 - 268 - ...

	c.	0 - ²/₅ - ³/₁₁- ⁹/₂₃ - ¹⁸/₂₄₁ - ³⁰/₅₄....

	d.

2.



4.

	Hierboven staat steeds een grijs tegelpad rondom een vierkant grasveld getekend. Het pad is over 1 tegel breed De grasvelden zijn achtereenvolgens 1, 2, 3.... tegels breed. Het eerste tegelpad kost 8 tegels, het tweede 12 tegels, het derde 16 tegels enz. Hoeveel tegels kost het 20^ste tegelpad?

5.

	Bekijk de serie figuren hierboven. In de eerste figuur (n = 1) zien we 1 vierkant, vandaar het getal 1 eronder. In de tweede figuur (n = 2) zien we 4 vierkanten van 1 × 1 en ook 1 vierkant van 2 × 2. Samen is dat 5 vierkanten. Zo staat onder elke figuur hoeveel vierkanten er te zien zijn. Dat geeft de rij getallen u_n met u₁ = 1

	a.	Bereken de getallen uit de verschilrij Δu_n en geef een directe formule voor Δu_n

	b.	Bewijs dat geldt: u_n = u_n-1 + n²

	c.	Hoeveel vierkanten zijn er op een plein van 100 × 100 vierkante tegels te ontdekken?

Verdieping: Polynomen

Laten we eens een eenvoudige rij bekijken: 1 - 4 - 9 - 16 - 25 - 36 - 49 - 64 - ...
Het is, dat heb je misschien al wel gezien, de rij van de kwadraten.
Ofwel u_n= n²
De verschilrij daarvan is zo mogelijk nog eenvoudiger. Die staat in de volgende tabel:

u_n	1	4	9	16	25	36	49	64
Δu_n	-	3	5	7	9	11	13	15

Die laatste rij zal je wel bekend voorkomen: de verschillen daarvan zijn allemaal gelijk aan 2.
Dus als we een volgende rij aan de tabel zouden toevoegen, waarin de verschillen van de verschillen staan, dan geeft dat steeds 2:

u_n	1	4	9	16	25	36	49	64
Δu_n	-	3	5	7	9	11	13	15
Δ(Δu_n)	-	-	2	2	2	2	2	2

En nou komt het: Dat blijkt voor elke kwadratische formule zo te zijn!!!
Het blijkt dat de formule u_n = an² + bn + c altijd als tweede verschilrij geeft 2a.
Het bewijs daarvan staat hiernaast.

Van een kwadratische formule zijn de verschillen van de verschillen constant
u_n = an² + bn + c geeft als tweede verschillen 2a.

Oké, en hoe vinden we die b en c?

Dat is gelukkig erg makkelijk.
Als je a hebt gevonden dan kun je van de tabel overal an² van aftrekken.
Dat geeft een nieuwe tabel voor bn + c. Kijk maar naar het volgende voorbeeld:

n	0	1	2	3	4	5	6	7
u_n	3	2	7	18	35	58	87	122
Δu_n	-	-1	5	11	17	23	29	35
Δ(Δu_n)	-	-	6	6	6	6	6	6

Dus hieruit volgt dat 2a = 6, dus a = 3.
Maak nu een nieuwe tabel:

n	0	1	2	3	4	5	6	7
u_n	3	2	7	18	35	58	87	122
u_n- 3n²	3	-1	-5	-9	-13	-17	-21	-25

Die laatste rij is het lineaire verband u_n = -4n + 3
Daarmee wordt de totale formule voor u_n: u_n = 3n² - 4n + 3

9.	Hieronder vind je een aantal rijen, steeds beginnend bij n = 0 Zoek eerst uit van welke van deze rijen de directe formule een kwadratische formule is, en geef vervolgens van die rijen de directe formule. De eerste term van de rij heet steeds u₀.

	a.	4 - 4 - 8 - 16 - 28 - 44 - 64 - ...
	b.	1 - 5 - 10 - 16 - 23 - 54 - 63 - ...
	c.	6 - 71 - 126 - 171 - 206 - 231 - 246 - ...
	d.	10 - 20 - 54 - 112 - 194 - 300 - 430 - ....

Kan het ook met hogere machten?
Jazeker.
Maar dat is meer iets voor een verdieping....van deze verdieping......