Haakjes (deel 1).

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Haakjes zijn de manier voor een wiskundige om in te grijpen in de normale gang van het rekenen.
Kijk, als de opgave is  3 4 + 7,  dan is afgesproken dat je eerst moet vermenigvuldigen en daarna pas optellen. Vermenigvuldigen, dat zorgde immers voor die blokjes? Maar als je nou tch graag wilt dat er eerst opgeteld wordt en pas daarna vermenigvuldigd? Hoe krijg je dat voor elkaar?

Hier springen haakjes te hulp.

Als je ergens haakjes omheen zet, dan maak je er eigenlijk kunstmatig n geheel (n blokje) van.
Als we vermenigvuldigen met lijm vergelijken zouden we haakje als plakband of een pleister kunnen zien.
(4 + 7) is opeens n geheel geworden, dus 3 (4 + 7)  k!  De haakjes plakken 4 + 7 aan elkaar, en door het vermenigvuldigen zit ook 3 eraan vastgeplakt; zoiets dus:

Voordat je iets drie keer kunt doen zul je toch echt eerst moeten uitrekenen wat er onder de pleister zit!
Rechts van het gelijkteken moeten we eerst uitrekenen wat de pleister voorstelt: dat is 4 + 7 en dat is 11.
Daarna doen we keer drie en komt er 33 uit.
De opgave:    4 (3 + 2) + (5 - 2) 8  + 2 (6 + 4 2) zou het volgende plaatje opleveren door een wiskundebril gezien:

Onder die pleisters zit achtereenvolgens 5 en 3 en 14  dus er staat  4 5 + 3 8 + 2 14 = 20 + 24 + 28 = 72

Maar nu het probleem....

Ok, makkelijk gezegd natuurlijk, die pleisters "gewoon even uitrekenen". Maar als er nou letters in staan? Dan kun je niets berekenen en loopt de hele boel dus vast!
Tch is er dan een manier om de pleisters te verwijderen. Dat zit hem hierin:

Als je  3 (4 + 2) berekent, dan moet je dus eerst 4 + 2 doen; daar komt 6 uit, en dan doe je 3 6 = 18.
Het is alsof er bij Sint Maarten aan de deur 3 kinderen staan die ik elk zes  snoepjes ga geven. Ze krijgen  elk vier dropjes en twee zuurtjes. Dan kan ik twee dingen doen. Ik kan het eerste kind een pakketje met zes snoepjes geven, daarna het tweede, en tenslotte het derde. Dan heb ik 3 6 = 18 snoepjes weggegeven, kijk maar:

Maar het kan ook anders. Ik kan ook eerst de dropzak pakken en elk kind 4 dropjes geven, en daarna pas de zuurtjestrommel om elk kind 2 zuurtjes te geven. In dat geval geef ik eerst 3 4 = 12 dropjes weg, en vervolgens 3 2 = 6 zuurtjes; samen uiteraard weer 18 snoepjes:

Waar komt het op neer? Wat hebben we hier nou eigenlijk ontdekt?
Nou,  3 (4 + 2)  is hetzelfde als  3 4 + 3 2.
JAWEL: het is gelukt: De haakjes zijn verdwenen!
Het is alsof het getal drie zich "verdeelt"  over zowel de 4 als de 2 binnen de haakjes. Deze grappige eigenschap heet de DISTRIBUTIEVE eigenschap (de "verdeel"-eigenschap).  Je zou het z in beeld kunnen brengen:

Bedenk dus dat zo'n blauwe pijl staat voor vermenigvuldigen.
Alhoewel deze eigenschap voor getallen dus niet echt nodig is, is het bij letters wl erg handig: 't is een manier om haakjes weg te halen.
En als er mr blokjes binnen de haakjes staan, dan maak je gewoon mr pijlen! Kijk maar:

Het blauwe vermenigvuldigingsteken verspreidt zich via de drie blauwe pijlen naar de drie blokjes die binnen de haakjes staan.

1. Schrijf de volgende uitdrukkingen zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk:
a. 3 (x + 4 + y)

3x + 12 + 3y

d. 5 (p + 4 + q)

5p + 20 + 5q

b. 5 (a + 2 + a)

10a + 10

e. 2 (5 + b + 3 + b)

16 + 4b

c. x (2 + y)

2x  + xy

f. p (a + 2 + b)

ap + 2p + bp

 

Vijf  adders onder het gras!

Er zijn vijf dingen die nog makkelijk fout kunnen gaan. Ze hebben te maken met het feit dat je wel in "blokjes" moet blijven denken: zowel binnen de haakje als erbuiten.

1. Blokjes binnen de haakjes.
Neem de som   5 ( x + 2 y)
Als we proberen de haakjes weg te halen, dan maken we van die blauwe pijlen. Maar daarbij moet je je wel bedenken dat 2 y  n geheel is (n blokje) dus daar hoeft ook maar n pijl naartoe! (Dus NIET eentje naar de 2 n eentje naar de y)
Het moet dus z:

2.  Blokjes vr de haakjes
Ook vr de haakjes kan meer dan alleen maar n getal staan.
Bijvoorbeeld:   3 x (4 + 2 y)
Nu is 3 x n blokje, dus er gaan twee pijlen: eentje van het blokje 3 x naar het blokje 4  en de andere van het blokje 3 x naar het blokje  2 y. Je ziet dat we nu al bezig zijn met blokjes binnen blokjes!!!! Het ziet er dus z uit:

3.  Een minteken binnen de haakjes.
Bedenk daarbij dat een minteken voor een getal hetzelfde is als  "+ - ".  Dus als er staat  5 - 4x  dan kun je dat het best (in gedachten) lezen als 5 + -4x. Dan gaat het wegwerken van de haakjes vanzelf.
2 (5 - 3x)  gaat als volgt:

En zo ziet dan   3 (-5 - 2x)  eruit:

4.  Een minteken vr de haakjes.
Stel dat er staat   -(3 + 4x), wat moet je dan met dat minteken?
Nou, 't is erg simpel:  er staat hier eigenlijk  -1 (3 + 4x).  Die 1 is weggelaten omdat hij niet nodig is, immers  -1 5 = -5,  en  -1 4 = -4  enz.
Met zo'n  -1 in gedachten ervoor is het wegwerken makkelijk: het geeft  -1 3 + -1 4x = -3 - 4x 

Op dezelfde manier gaat   5 - (2x - 4):
5. Vergeet de vorige lessen niet!
Bedenk goed dat we deze les alleen maar bezig zijn geweest om n blokje te vereenvoudigen. Natuurlijk kunnen er nog steeds mrdere blokjes in een som zitten. Dat was in het allerlaatste voorbeeld ook al zo.
Neem de opgave   2 + 3 (x - 4) + (x + 3) 5 + 6 2
Die ziet er z uit:

Het is dus streng verboden "alvast"  2 + 3 uit te rekenen: die zitten in verschillende blokjes en kun je NIET samennemen.
Na haakjes wegwerken staan er maar liefst  6 blokjes:  2 + 3x - 12 + 5x + 15 + 12
Maar na samennemen zijn er nog maar twee over:    8x + 17
Da's toch een stuk simpeler dan wat er oorspronkelijk stond.......
   
   

balansmethode

   

kwadraten

OPGAVEN
2. Schrijf de volgende uitdrukkingen zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk:
a. 2a(3 + 3b)

6a + 6ab

g. 6p - 2p (-3 + q)

12p - 2pq

b. 5 + 2(6x - 4)

12x - 3

h. 2(2a + 3b) - 3(a - 4b)

a + 18b

c. 3x - 4(2 + x)

-x - 8

i. 12n - 3n(4 - m)

3mn

d. -6(3x + 4y)

-18x - 24y

j. 13 - 2(-3x - 4y)

13 + 6x + 8y

e. -2(4a - 5b)

-8a + 10b

k. -2(a - 2b) - 5b

-2a - b

f. 4 - (3y - 6)

10 - 3y

l. -x(-3 - 4y) + 3x(2 + 6x)

9x + 4xy +18x2

3. Los op door eerst de haakjes weg te werken en dan de balansmethode te gebruiken:
a. 5 - 2(x + 3) = -5x + 6

x = 7/3

d. 7 + 7x = -7(-5 - 3x)

x = -2

b. 2(3x + 5) = 8 - 4x

x = - 1/5

e. 5 - (x - 5) = 6x + 12

x = - 2/7

c. 6(4 - 3x) = 2(5x + 8)

x = 2/7

f. -4( 5 - 3x) = 12 - 2(4 - 2x)

x = 3

               
               
Leuk Spelletje...
               
Hier heb ik een strookje papier met een heleboel haakjes, ruitjes en vraagtekens:
               

               
De vraagtekens staan voor de cijfers 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
De ruitjes staan voor de bewerkingen:   +  of 

Speler A verandert het meest linkse vraagteken in een cijfer.
Daarna verandert speler B het ruitje ernaast in een + of een
 en het volgende vraagteken in een cijfer.
Daarna verandert speler A het ruitje ernaast in een + of een  en het volgende vraagteken in een cijfer.

En zo gaat dat alsmaar door (van links naar rechts) totdat alle tekens zijn veranderd.
Elk cijfer mag maar n keer worden gebruikt. Dan staan er dus precies alle cijfers van 0 tm 9 en een onbekend aantal keer + en
.

Je kunt dan uitrekenen wat er uit deze som komt.
Als de uitkomst een oneven getal is heeft speler A gewonnen, als het een even getal is heeft speler B gewonnen.

Ik zou zeggen:  ga het spelletje eerst een paar keer spelen!!!!

Zie je hoe speler A altijd kan winnen?
               

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)