h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. 15/(x + 1) = 5 
15 = 5(x + 1)      (en x  ≠ -1)
15 = 5x + 5
10 = 5x
x = 2
       
  b. 8 - 4/(5 - x) = 6
8(5 - x) - 4 = 6(5 - x)    (en x 5)
40 - 8x - 4 = 30 - 6x
6 = 2x
x = 3
       
  c. 12/(2 + x) = 8/x
x
12/(2 + x) = 8    (en  x 0)
12x = 8(2 + x)       (en x -2)
12x = 16 + 8x
4x = 16
x = 4
       
  d. 2x - 1/x = -2x
2x2 - 1 = -2x2    (en  x 0)
4x2 = 1
x2 = 1/4
x = 1/2  of  x = -1/2
       
  e.
    5(x + 1) + x2 - 1 = 2x(x + 1)   (en  x -1)
    5x + 5 + x2 - 1 = 2x2 + 2x
0 = 2x2  + 2x - 5x - 5 - x2 + 1
0 = x2 - 3x - 4
0 = (x- 4)(x + 1)
x
= 4  of  x = -1
Maar x = -1 valt af dus blijft over x = 4  
       
  f. 18/(x - 1) = 4 + 10/(x + 1)
18 = 4(x - 1) + (x - 1)10/(x + 1)                  en  x 1
18(x + 1) = 4(x - 1)(x + 1)  + (x- 1)10     en  x -1
18x + 18 = 4(x2 - 1) + 10x - 10
18x + 18 = 4x2 - 4 + 10x - 10
0 = 4x2 - 8x - 32
0 = x2  - 2x - 8
0 = (x - 4)(x + 2)
x = 4  of  x = -2
       
  g. 1/(x + 1)  = 3 + 5/(x - 3)
1 = 3(x + 1) + (x + 1) 5/(x - 3)   en  x -1
(x - 3)  = 3(x + 1)(x - 3)  + (x + 1)5   en  x 3
x - 3 = 3(x2 + x - 3x - 3) + 5x + 5
x - 3 = 3x2 + 3x - 9x - 9 + 5x + 5
0 = 3x2 - 2x - 1
de ABC formule geeft dan  x = 1 of  x =  -1/3
       
  h. 2/(x - 1) = 4x/x - 3
2/(x - 1) = 4 - 3 = 1   en  x 0
2 = x - 1
x =
3
       
  i. 1/x + 4/x = 20x
1 + 4 = 20x2     (en x 0)
5 = 20x2
x2 = 1/4
x = 1/2  of  x = -1/2
       
  j.
   
    15x2 + x2 - 4 = 0     en  x2  - 4 0  dus  x 2  en  x -2  
    16x2 = 4
x2 = 1/4
x = 1/2  of  x = -1/2
       
2. Stel dat zoon er x dagen over doet, en vader dus x - 9
Dan doet de zoon in n dag  1/x  deel van de taak, en de vader  1/(x - 9) deel
Samen doen ze in een dag  1/x + 1/(x - 9) = (2x - 9)/(x - 9x)  deel van de taak.
Dat kost samen dus  (x - 9x)/(2x - 9) dagen en dat is gelijk aan 20.
x2 - 9x = 40x - 180
x2 - 49x + 180 = 0
(x - 45)(x - 4) = 0
x = 45  of  x = 4
x = 4 is onzin want dan doe t vader er -5 dagen over.
Dus x = 45 en de vader doet er 45 - 9 = 36 dagen over.
   
3.
  14.5(11t + 30) = 3t2 + 300
159,5t + 435 = 3t2 + 300
3t2  - 159,5t - 135 = 0
ABC formule geeft  t = 54  of  t = -5/6 
Als t = 54 het jaar 2000 is, dan is t = 0 het jaar 1946
       
4. a. 2005 is t = 5
H(5) = (40 5 + 160)/(5 + 2) = 360/7 = 51,43%
V(5) = (35 5 + 360)/(5 + 4) = 535/9 = 59,44%
H(5) is dus  8,01% lager
       
  b. Dat zie je door voor t een heel groot getal in de formules in te vullen.
H(t) wordt dan ongeveer gelijk aan 40% en V(t) ongeveer 35%
       
  c.
    (40t + 160)(t + 4) = (35t + 360) (t + 2)
40t2 + 160t + 160t + 640 = 35t2 + 70t + 360t + 720
5t2 - 110t - 80 = 0
t2 - 22t - 16 = 0
De ABC-formule geeft dan  t = 22,7  of  t = -0,7
De gezochte oplossing is t = 22,7 en dat is in het jaar 2022-2023
       
5. a. uiteindelijk zal het lijk een temperatuur van 5C krijgen, dus als je voor t in de formule een heel groot getal invult, dan moet er 5 uitkomen.
       
  b.
    10(t + 1) = 5t + 37
10t + 10 = 5t + 37
5t = 27
t = 27/5 = 5,4 uur  en dat is 5 uur en 24 minuten
De moord is gepleegd om 5 uur en 24 minuten vr 21:15, dus dat zal zijn om 15:51
   
6. a. P = 0,5  en  a = 5  en  G = 61  invullen:   0,5 = 13,33 5/61 - 0,15u
0,5 = 1,0926 - 0,15u
0,15u = 0,5926
u = 0,5926/0,15 = 3,95
Dus na 4 uur mag zij weer rijden.
       
  b. voor 2006:   13,33 a/70 - 0 = 0,5  dus  0,1904a = 0,5  dus  a = 0,5/0,1904 = 2,6
vanaf 2006:  13,33 a/70 - 0 = 0,2  dus  0,1904a = 0,2  dus  a = 0,2/0,1904 = 21,1

Dat scheelt dus 1,5 glas.
       
  c. invullen van de gegevens geeft  13,33 a/G  - 0,15 2 = 0,5
13,33 a/G - 0,3 = 0,5
13,33 a/G = 0,8   
vermenigvuldig nu alles met G:
13,33a = 0,8G
a = 0,8/13,33 G
a = 0,06G
       
7. a. 16 = 36/(x + 1)
⇒ 16(x + 1) = 36 
⇒  16x + 16 = 36 
⇒  16x = 20 
⇒  x = 20/16 = 1,25
Dat is een afstand van 1250 m. 
       
  b. Noem de bijen 1 en 2.
x2 = x1 - 1
y2 = 1,4y1 

twee vergelijkingen met twee onbekenden: vul de eerste y1 in in de tweede formule:

vanaf hier kan het (intersect) met de GR. Algebrasch is natuurlijk veel leuker:
breng x1 + 1 en x1 naar de andere kant:
1,4 36 x1 = 36(x1 + 1)
  50,4x1 = 36x1 + 36
  14,4x1 = 36 
  x1 = 2,5 km
De andere afstand is dan x2 = 1,5 km
       
8. a. 5,0 uur is  5,0 60 = 300 minuten.
300 = 15 + 7,2/(0,0785-0,0034T)
285 = 7,2/(0,0785-0,0034T)
0,0785 - 0,0034T = 7,2/285 = 0,02526...
-0,0034T = -0,05323...
T = 15,66, dus ongeveer 16C
       
  b. Er is een verticale asymptoot als de noemer van de breuk nul is, dus als  0,0785 - 0,0034T = 0
0,0034T = 0,0785  ⇒ T = 23 C
Als de temperatuur naar 23C nadert, dan wordt de overlevingstijd oneindig groot. Dat betekent dat de watertemperatuur dan meer levensbedreigend is, dus niet meer van invloed is.
       
9. a. 15 =  (36t + 13)/(3 + 2t)
15(3 + 2t) = 36t + 13
45 + 30t = 36t + 13
32 = 6t
t
= 51/3  dus dat zijn ongeveer 53 minuten
       
  b.
t 0 2 4 6 8 10
T 4,33 12,14 14,27 15,27 15,84 16,22
ΔT - 7,8 2,1 1,0 0,6 0,4

       
  c. De temperatuur van de koelkast is de temperatuur van de fles op t = 0
Dat is    (36 0 + 13)/(3 + 2 0) = 13/3 = 41/3  C

De temperatuur van de kamer is de temperatuur die de fles uiteindelijk gaat krijgen.
Vul voor t een heel groot getal in.
Dat geeft T = 18C
       
10. a. Vul een waarde uit de tabel in, bijvoorbeeld p = 3 en R = 74
74 = 62 + 118/(9 + c)
12 = 118/(9 + c)
12(9 + c) = 118
108 + 12c = 118
12c = 10
c = 0,8
       
  b. De remweg is minimaal als p maximaal is.
Vul voor p een oneindig groot getal in, dan vind je  R ≈ 62 m
       
  c. Halveren betekent  p = 0,5p0
0,5p0p/(0,1x + 1)
0,5 = 1/ (0,1x + 1)
0,1x2 + 1 = 2
0,1x2 = 1
x2 = 10
x = √10 = 3,162
Dat is ongeveer 3162 km
       
  d. R = 70  geeft  70 = 62 + 118/(p + 1,4)
8 = 118/(p + 1,4)
8(p2 + 1,4) = 118
8p2 + 11,2 = 118
8p2 = 106,8
p2 = 13,35
p
= 3,65 mm

3,658/(0,1x + 1)
3,65(0,1x2 + 1) = 8
0,365x2 + 3,65 = 8
0,365x2 = 4,35
x2 = 11,917
x = 3,452
Dat is dus 3452 km.
       
11. a. 37500 gebruikers betekent A = 375
375 = 500d/(d + 5)
375(d + 5) = 500d
375d + 1875 = 500d
1875 = 125d
d
= 15  dus dat is op 15 november
       
  b. Vul voor d een heel groot getal in.
Dat geeft  A ≈ 500  dus dat zijn 50000 gebruikers.
       
  c. Zet de formule van A in Y1 en die van B in Y2 van de GR.
Intersect geeft  t = 23,2 dagen
Op 23 november komt de gekraakte versie uit.
       
  d. Als d groter wordt, dan wordt de noemer groter en de teller blijft gelijk
Dus wordt de hele breuk kleiner.
       
   
       
   
 
 

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)