h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Laplace-transformaties en Differentiaalvergelijkingen..
       
Zo, we kunnen nu eindelijk verder waar we drie lessen geleden waren gebleven.

In voorbeeld 1 van die les ging het over de volgende differentiaalvergelijking  y''  - 3y' + 2y = 4x  met  y(0) = 2 en y'(0) = 1
We pasten daar een Laplace-transformatie op toe, en dat veranderde de vergelijking in:
Nu zijn we (na de vorige les) eindelijk zo ver om deze F(s)  terug te transformeren zodat we een oplossing f(x) vinden.

Breuksplitsen:
Bij samennemen wordt de noemer:
As(s - 1)(s - 2) + B(s - 1)(s - 2) + Cs2(s - 2) + Ds2 (s - 1)
= As3 - 3As2 + 2As + Bs2 - 2Bs + 2B + Cs3 - 2Cs2 + Ds3 - Ds2
= s3 (A + C + D) + s2 (-3A + B - 2C - D) + s (2A - 2B) + 2B  = 2s3 + 5s2 + 4
Daaruit volgt:   A + C + D = 2  en   -3A + B - 2C - D = 5  en  2A - 2B = 0  en  2B = 4
Daaruit volgt vrij simpel dat  A = 2,  B = 2,  C = -9,  D = 9
De inverse Laplace-transformatie geeft dan  f(x) = 2 + 2x - 9ex + 9e2x
     

 

       
Hier zie je nog een keer samengevat hoe het werkt:
       

       
Zijn er nog valkuilen?
       
Nou, er is nog een klein probleempje, en dat komt van het feit dat je voor het maken van een Laplace-transformatie f(0) en  f '(0) nodig hebt.
Maar het kan natuurlijk best dat er bij een differentiaalvergelijking andere beginwaarden worden gegeven. Meestal worden de beginwaarden wel bij dezelfde x (of  t)  gegeven, (daarom heten het ook de beginwaarden), maar dat hoeft niet per se altijd bij x = 0 te zijn.

De oplossing is vrij eenvoudig. Misschien had je het zelf wel verzonnen:
       

schuif het hele probleem een stuk op!

       
Je schakelt gewoon over op een nieuwe variabele waarvan de beginwaarden wl bij nul zitten.
Het werkt z:
       
Voorbeeld :   y''  + 2y' = x + ex    met   y(2) = 4  en  y' (2) = 1

Als je de variabele p = x - 2 invoert, dan is p = 0 als x = 2  (waar de beginwaarden zijn gegeven)
p = x - 2  geeft  x = p + 2.  en daarmee kun je alle x-en vervangen:
Dat geeft de differentiaalvergelijking:   y'' (p + 2) + 2y' (p + 2) = p + 2 + ep + 2   Denk erom dat die p + 2 tussen haakjes aangeven dat y'' en y' daar een functie van zijn; het is niet ermee vermenigvuldigen!

Maar laten we nu ook de functie y verschuiven, en afspreken dat:   y(p + 2) = u(p
Dan is  y' (p + 2) = u' (p)  want p door p + 2 vervangen heeft geen invloed op de afgeleide (de kettingregel geeft factor 1)
er staat eigenlijk  dy/dx = dy/dp dp/dx  maar dat laatste is 1. En op dezelfde manier is y'' (p + 2) = u'' (p)

Dat geeft de nieuwe differentiaalvergelijking:    u'' + 2u'  = p + 2 + ep + 2  met  u(0) = 4  en  u' (0) = 1
En nou is 't weer een gewone differentiaalvergelijking met de beginwaarden bij 0 geworden..... Die u's zijn dus nu functies van p geworden, dat snap je hopelijk wel...
       
         
1. Geef een algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijkingen
         
  a. y''  + 2y = 2x  met  y(0) = -1  en  y' (0) = 0
   

x - cos(x2) - 1/2 sin(x2)

  b. y'' -  y'  = x2  met  y(0) = y' (0) = 1
   

-2/6x3 - x2 - 2x - 2 + 3ex

         
       
     
Het werkt natuurlijk ook bij hogere orde differentiaalvergelijkingen!

Alleen zul je daarvoor ook de Laplace-transformatie van de derde afgeleide, of zelfs de vierde of de vijfde.... moeten kennen.
Omdat  L(f ') = s L(f) - f(0)  en   L(f '') = s2L(f ) - sf(0) - f ' (0)  kun je ook L(f ''') bepalen:
L(f ''') = s2L(f ') - sf ' (0) - f ''(0)
= s2  (sL(f) - f(0)) - sf '(0) - f '' (0)
= s3 L(f) - s2 f(0) - sf '(0)  - f '' (0)  

Verder gaat het allemaal precies volgens dezelfde methode. Een voorbeeldje is wel genoeg, denk ik.  't Is namelijk nogal veel werk......

Voorbeeld.     Los op:  y '''(x) + 2y'(x) = x + 3e-x    met  y''(0) = 2 en  y'(0) = 1   en   y(0) = 1
Laplace transformatie:
s
3L - s2 - s  - 2 + 2(sL - 1) = 1/s2  + 3/(s + 1)
L(s3 + 2s) =   1/s2  + 3/(s + 1) + s2 + s + 2
Samenvoegen tot n breuk:
de noemer wordt  s4(s + 1)(s + 2),  dus de teller wordt bij samennemen van deze breuken gelijk aan:
As3(s + 1)(s + 2) + Bs2(s + 1)(s + 2) + Cs(s + 1)(s + 2) + D(s + 1)(s + 2) + Es4(s + 2) + Fs4(s + 1)
s5(A + E + F) + s4 (3A + B + 2E + F) + s3 (2A + 3B + C) + s2(2B + 3C + D) + s(2C + 3D) + (2D)
Dat moet gelijk zijn aan s5 + 2s4 + 3s3 + 5s2 + s + 1
2D = 1 geeft  D = 1/2
2C + 3D = 1 geeft dan  C = -1/4
2B + 3C + D = 5 geeft dan B = 21/8
2A + 3B + C = 3 geeft dan  A = -37/16
Dan blijft over  2E + F = 85/16  en    E + F = 53/16
Van elkaar aftrekken geeft E = 2  en dan is F = 21/16
 
De terugtransformatie geeft:     f(x)  = -37/16 + 21/8x - 1/8x2  + 1/12x3  + 2e-x + 21/16e-2x 
     

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)