© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. y''  + 2y = 2x  met  y(0) = -1  en  y' (0) = 0
    L(y''  + 2y) = L(2x)
s2L - sy(0) - y'(0) + 2L = 2/s²
s2L  + s - 0 + 2L = 2/s²
L(s2 + 2) = 2/s²  - s
L = 2/(s²(s² + 2))  -  s/(s² + 2) 

eerste deel breuksplitsen  (een verkorte poging):   A/s +  B/(s² + 2) = 2/(s²(s² + 2))
A(s2 + 2) + Bs2  = 2 
s2(A + B) +  2A = 2   geeft  A = 1 en B = -1
L = 1/s - 1/(s² + 2) - s/(s² + 2)
Dat eerste deel zal bij terugtransformeren x worden, die andere twee lijken op  cosax en sinax
L = 1/s  -  1/22/(s² + (2)²s/(s² + (2)²)

terugtransformeren:
f(x) =  x  - 1/2 sin(x2)cos(x2)
       
  b. y'' -  y'  = x2  met  y(0) = y' (0) = 1
L(y'' - y') = L(x2)
s2L - sy(0) - y'(0)  - sL + y(0) = 2/s³
L(s2 - s)  - s - 1  + 1 = 2/s³
L(s2 - s) = s2/s³  
L = s/(s² - s)  + 2/s4(s - 1)
L = 1/(s - 1)  +  2/(s4(s - 1))

breuksplitsen tweede term:
2/(s4(s - 1)) = C/s^4 + D/s³ + E/s² + F/s + G/(s - 1)
C(s - 1) + Ds(s - 1) + Es2(s - 1) + Fs3(s - 1) + Gs4  = 2
Cs - C + Ds2 - Ds + Es3 - Es2 + Fs4 - Fs3 + Gs4 = 2
s4(F + G) + s3(E - F) + s2(D - E) + s(C - D) - C = 2
Dat geeft  C = -2  en  C = D = E = F = -2  en  G = 2
L = 1/(s - 1) - 2/s^4 - 2/s³ - 2/s² - 2/s + 2/(s - 1)
L = 3/(s - 1)   - 2/s^4 - 2/s³ - 2/s² - 2/s
L = 3/(s - 1) -  1/36/s^4 - 2/s³ - 2 • 1/s² - 2 • 1/s

terugtransformeren:  f(x) = 3ex - 1/3x3 - x2 - 2x  - 2
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)