Laplace-transformaties.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Weet je nog, vroeger, toen je nog maar net met wiskunde was begonnen? Toen het leven nog simpel was??
Toen kreeg je bijvoorbeeld de balans-methode.

Dat werkte als volgt:  je had een vergelijking die je moest oplossen, bijvoorbeeld 2x + 4 = 10
En dan ging je aan beide kanten van het "=" teken hetzelfde doen, om de vergelijking eenvoudiger te maken.
In dit geval deed je waarschijnlijk eerst beide kanten "-4"  want dan hield je over  2x = 6
En daarna deed je beide kanten "/2"  want dat gaf  x = 3.
       

als je beide kanten van een vergelijking hetzelfde doet, dan blijft het kloppen.

       
Een differentiaalvergelijking is natuurlijk ook een vergelijking....

Dus daar mag je ook best beide kanten hetzelfde doen.

Nou is een Laplace-transformatie  "iets" dat je aan beide kanten van een differentiaalvergelijking kunt doen waardoor al die vervelende afgeleides eruit wegvallen!  Een Laplace-transformatie laat alle y''''  en  y''  en y''  en zo verdwijnen en maakt er gewone y  van. 
Daardoor wordt een differentiaalvergelijking omgezet in een algebra-probleem. En dat is (vaak) makkelijker op te lossen.

       
Wat gaan we aan beide kanten doen om die vervelende afgeleides kwijt te raken?
       
Oké, daar komt íe:
       

       
Die f(t) is dus de hele linkerkant of de hele rechterkant van een differentiaalvergelijking.
Let goed op:  aan de rechterkant wordt er een integraal over t uitgerekend. Dat betekent dat die kant geen functie van t meer is. De integraal is een functie van s.  Bij een Laplace-transformatie stap je over van de variabele t naar de variabele s.
       
Waaróm verdwijnen die afgeleides?
       
Laten we L(y' ) berekenen, dan zien we dat vanzelf.
Met partieel primitiveren vind je het volgende:
 
Aan de rechterkant staan nu twee stukken
In het eerste stuk aan de rechterkant kun je voor t de grenzen invullen.
Dat geeft  f(∞) e-s - f(0) ∙ e-s∙0  = f(∞) 0 - f(0)1 =  - f (0)
(dat gaat er wel van uit dat voor de functie f  bij oneindig geldt,  dat  f/ex  naar nul gaat) 
Het tweede stuk is de Laplace transformatie van fs • L(f )
Samen geeft dat:

       
En als je hierin overal  f vervangt door f ' dan krijg je: 
L(f '' ) = s • L(f ' ) - f ' (0) = s • (s • L(f) - f(0)) - f ' (0) = s2 • L(f) - sf(0) - f ' (0)
       

       
Bovendien geldt voor Laplace transformaties de volgende handige eigenschap:
       

L(a f + b g) = a • L(f ) + b • L(g)

       
Dat volgt erg eenvoudig direct uit de eigenschappen van integralen. Bewijs het zelf maar als je er echt dringende behoefte aan hebt......
Met deze laatste drie eigenschappen kunnen we nu elke tweede orde differentiaalvergelijking omzetten naar een "gewone" vergelijking.
       
Voorbeeld  1.  
Gegeven is de differentiaalvergelijking:   y''  - 3y'' + 2y = 4x  met  y(0) = 2 en y'(0) = 1
Maak van deze vergelijking een "gewone" vergelijking
Eest neem je (á la balansmethode) van beide kanten van de vergelijking de Laplace transformatie:
L(y''  - 3y'' + 2y) = L(4x)  
⇒  L(y'' ) - 3L(y' ) + 2L(y) = L(4x)
⇒  s2L(y) - sy(0) - y' (0) - 3(sL(y) - y(0)) + 2L(y) = L(4x)
⇒  L(y) • (s2 - 3s + 2) - (2s + 5) = L(4x)    .....(1)

Eerst maar eens die Laplace-transformatie van 4x uitrekenen. Partieel primitiveren geeft:
Daarmee wordt vergelijking (1):   L(y) • (s2 - 3s + 2) - (2s + 5) = 4/s2
Daarmee zijn alle afgeleides verdwenen, en is dit een algebraïsche functie voor L(y) geworden.

Maar omdat we natuurlijk een functie voor y zélf willen hebben zullen we nog een manier moeten vinden om een "terug-transformatie" toe te passen. Een soort omgekeerde Laplace-transformatie die van een vergelijking met L(y) en s ons weer terugbrengt in de  gewone wereld van y en x

En verder is het ook nog maar de vraag of we altijd zomaar die Laplace-transformatie van het deel met de x-en  (zoals hier 4x) kunnen uitrekenen.

Dat lijkt me een mooi project voor de volgende twee lessen:

•  Volgende les:   hoe maak ik Laplace-transfomaties?
•  Les daarna:  hoe maak ik inverse Laplace-transformatie?

Daarna komen we wel weer terug op de differentiaalvergelijkingen.
       
         
1. Maak van de volgende differentiaalvergelijkingen een "normale" vergelijking voor de Laplace-getransformeerde functie L(y)
         
  a. y'' + 8y = 5  met  y(0) = 3  en  y'(0) = 3
         
  b. y''  - 2y' + y  = ex  met  y(0) = -1  en  y' (0) = 1   (neem  aan dat  s > 1)
         
  c. y''  + 5y'  + 6y = x  met  y(0) = y' (0) = 2
         
2. a. Stel een formule op voor de Laplace-transformatie van de derde afgeleide f '''  van een functie f . In je formule mogen (uiteraard) geen afgeleides meer voorkomen
         
  b. Kun je een algemene formule opstellen voor de Laplace-transformatie van de  nde afgeleide f (n) van een functie f?
         
         
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)