Interpoleren en Extrapoleren.

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De vraag van vandaag is de volgende:

Stel dat ik een tabel heb met voor een aantal waarden van x de bijbehorende waarde van y
Zoals bijvoorbeeld deze tabel:
x 2 4 9 12 13
y 4,3 7,5 9,0 11,1 14,5
Kan ik nu berekenen welke waarde van y hoort bij x = 7?
Kan ik er een schatting voor maken?
Nou, eigenlijk kan dat natuurlijk niet, immers y kan alles zijn. We hebben geen formule, helemaal niets!

Toch gaan we een poging doen, onder een paar aannames.

Hiernaast staan de vijf punten uit de tabel getekend. We willen graag weten welke waarde y op de stippellijn zal hebben.

Nou, dat kan van alles zijn!

Kijk maar: hieronder staan een aantal mogelijke grafieken door deze vijf punten.

De y-waarde bij x = 7 varieert nogal!!!!!

Alle grafieken kloppen met de vijf gegeven stippen en de waarden bij x = 7 zijn  14 en  6,8 en 1,9.
Dat is dus met geen mogelijkheid te bepalen.
Daarom maken we de volgende aanname:
Neem aan dat tussen twee gegeven punten de grafiek een rechte lijn is
Dat betekent dat de grafiek eruit ziet als hiernaast.
We nemen dus aan dat de grafiek tussen x = 4 en  x = 9 loopt als lijnstuk PQ hiernaast. Dat geeft ons de mogelijkheid de waarde bij x = 7 te berekenen.
Je zou kunnen proberen een formule van lijn PQ op te stellen en dan in die formule x = 7 in te vullen... Maar het kan nog sneller.

Tussen P en Q neemt x toe van 4 naar 9. Dat is een toename van 5. De y neemt tegelijkertijd toe met 1,5. Per x is dat een toename van  1,5/5 = 0,3.

Het gezochte punt ligt bij x = 7, dus heeft een toename van 3 vanaf P. Daarom zal de y een toename van 3 0,3 = 0,9 hebben. De y die we zoeken wordt dan  7,5 + 0,9 = 8,4.

Het is nog makkelijker door een verhoudingsschema te maken met daarin de toename vanaf punt P:

   naar Q  naar het gezochte punt
Δx vanaf P 9 - 4 = 5 7 - 4 = 3
Δy vanaf P 9,0 - 7,5 = 1,5 ??
Op de plaats van de vraagtekens staat ?? = 3 1,5 / 5 = 0,9
Maar dat is de toename vanaf  P, dus omdat yP = 7,5 wordt  de gezochte waarde 7,5 + 0,9 = 8,4.
1. Benader door middel van lineaire interpolatie de waarde van het vraagteken in onderstaande tabellen.
Rond je antwoord, indien nodig,  af op drie decimalen.
a.
x 4 9 12 14 19 22
y 3,6 5,4 9,1 ? 16,8 22,3

11,3

b.
P   5,8 12,6 24,7 25,3 38,1
t 56,2 48,7 40,2 ? 32,5

39,855

c.
W -3,65 -6,38 -10,23 -15,75 -23,65
q 12,5 ? 5,7 1,2 -2,6
     

9,679

2. Onderzoek met lineaire interpolatie of het punt  (4.8 , 6.3)  ligt op het rechte lijnstuk tussen de punten  (2.8, 4.7)  en  (7.6, 8.3)
3. a. Tijdens het koken van water neemt de temperatuur in 5,3 minuten toe van 15,3C tot  86,6C
Bereken met lineaire interpolatie na hoeveel tijd de temperatuur  50C was.
   

2,58

b. Een sportauto trekt op van 0 tot 150 km/uur in 14 seconden.
Bereken met lineaire interpolatie na hoeveel seconden de snelheid  45 km/uur was.
     

4,2

   
4. examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 1994.
       
  De leefbaarheid van woongebieden wordt onder andere benvloed door lawaai en stank. Men heeft geprobeerd om de mate van overlast door lawaai en stank voor verschillende woongebieden met elkaar te vergelijken.
Geluidssterkte wordt gemeten in decibel (dB).
Via een lineaire schaal worden geluidssterkten vanaf 50 dB omgezet in een getal L, de lawaai-index. Zie de volgende figuur.
     
 

       
  Bij een geluidssterkte van 50 dB hoort een lawaai-index L = 0, bij 65 dB hoort L = 100. Geluidssterkten beneden 50 dB vindt men niet hinderlijk en krijgen lawaai-index L = 0.
Bereken de waarde van L die hoort bij een geluidssterkte van 61 dB.
     

73,33

EXTRAPOLEREN
Interpoleren was een manier om een schatting van een waarde te geven die tussen bepaalde waargenomen getallen ligt. Je kunt dezelfde rekentechniek ook gebruiken om een waarde te berekenen die naast de waargenomen getallen ligt.

In de grafiek hiernaast zou je de waarde bij t = 8  kunnen schatten door het eind van de grafiek (het lijnstuk tussen t = 5 en t = 6) "door te trekken".

Als je afleest  (5, 4.6)  en  (6, 5.3) dan geeft dat de volgende berekening (op dezelfde manier als bij interpoleren):

  naar Q naar het gezochte punt
Δx vanaf P 1 3
Δy vanaf P 0,7 ?
Daaruit volgt  ? = 3 0,7/1 = 2,1  dus het nieuwe punt heeft N = 4,6 + 2,1 = 6,7
5. Hieronder vind je een grafiek voor de autoverkopen van de belangrijkste vijf merken in de verenigde Staten in 2008. Op de verticale as staat het marktaandeel in procenten.

a. Als Chrysler de gegevens van het eerste halfjaar zou gebruiken om te extrapoleren, dan zou men voor het eind van het jaar op een erg sombere voorspelling uitkomen. Welke voorspelling?
   

4%

b. Als GM de gegevens van Juni tot en met September zou gebruiken om te extrapoleren, dan komt men voor het eind van het jaar op een erg zonnige voorspelling uit. Welke voorspelling?
   

36%

6. Hieronder zie je een grafiek van de AEX-index van maandag 9 maart 2009. De grafiek komt van de internetsite van  Beursplaza.

a. Een belegger probeert de koers om 17:00 te voorspellen door te extrapoleren met de gegevens van  11:00 uur en 15:00 uur. Op welke slotkoers komt hij dan uit?  Hoeveel procent zit hij naast de werkelijke koers?
   

0,38%

b. Een andere belegger probeert ook de koers om 17:00 te voorspellen en komt uit op een koers van 200.
En van de meetpunten die hij heeft gebruikt is de meting van 14:00 uur. Van welk tijdstip kunnen de gegevens van de andere meting die hij heeft gebruikt zijn geweest?
7. Voor het aantal inwoners (in miljoenen) van Nederland geldt de volgende tabel:
jaar 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005
inwoners 10,68 11,42 12,21 12,96 13,60 14,09 14,45 14,89 15,42 15,86 16,33
a. Als iemand in 1960 met de gegevens van 1955 en 1960 door middel van lineair extrapoleren zou berekenen hoeveel inwoners Nederland in 2012 zal hebben, welke waarde zou hij dan vinden?
   

19,116

b. Welke waarde voor de bevolking in 2012  zou iemand vinden die de gegevens van 2000 en 2005 gebruikt?
   

16,988

c. Leg duidelijk uit hoe het komt dat de antwoorden op de vragen a en b van elkaar verschillen.
       
8. Iemand beweert:  "Als je bij een vloeiend verlopende grafiek elke keer met interpoleren een lagere waarde dan de werkelijke waarde vindt, dan zul je elke keer met extrapoleren een hogere waarde dan de werkelijke waarde vinden".
Leg met een grafiek duidelijk uit waarom dat zal kloppen!
   
9. Toen de mensen in 1957 voor het eerst AOW kregen ("van Drees gingen trekken" noemde men dat, naar minister Drees die de AOW in het leven riep) was het aantal AOW-ers 738.693. In 1968 werd de mijlpaal bereikt van n miljoen 65-plussers.
   
  a. Geef met behulp van lineair interpoleren een schatting van het aantal AOW-ers in 1960.
     

809959

  b. Geef met behulp van lineair extrapoleren een schatting van het jaar waarin het aantal AOW-ers de 2 miljoen zal bereiken.
     

2008

  Het AOW-pensioen wordt voor het grootste deel betaald door de mensen die nog werken en nog geen 65 jaar zijn. Naar verhouding zullen steeds minder werkenden gaan betalen voor steeds meer AOW'ers In 1957 waren er nog zestien 65-plussers op honderd mensen tussen 20 en 65 jaar. In 1989  was dit al gestegen naar 22
       
  c. Bereken door lineaire extrapolatie het aantal 65-plussers per 100 mensen in 2011.
     

26,125

10 examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 2015.

Het lijkt goed te gaan met het terugdringen van het gifgebruik in de aardappelteelt. Nederlandse aardappelboeren gebruikten in 1998 gemiddeld 32 kg chemische bestrijdingsmiddelen (gif) per hectare (ha). In 2007 was dat gedaald tot 24,5 kg per ha. En het gebruik daalt nog steeds.

Neem aan dat dit gebruik lineair afnam en ook na 2007 op dezelfde wijze lineair blijft afnemen.

Bereken hoeveel kg gif per ha er dan in 2015 gebruikt wordt.

   

17,83

   
 

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)