De inhoud van een bol.

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Hier staat een You-Tube filmpje om de inhoud van een bol in praktijk te vergelijken met de inhoud van een cilinder die er precies omheen past.

Uit het filmpje blijkt dat de inhoud van de bol 2/3 van de inhoud van de cilinder is. En omdat de inhoud van een cilinder gelijk is aan πr2 h = πr2 2r = 2πr3    is de inhoud van een bol gelijk aan   2/3   2πr3 = 4/3πr3 

Archimedes ontdekte al dat de inhoud van een bol gelijk was aan 4/3πr3  Hij vond het zelf zijn meest belangrijke ontdekking en wilde graag dat een schematische tekening daarvan op zijn grafsteen zou staan! Dat zou er dan ongeveer moeten uitzien als hiernaast.

Met die raadselachtige tekening daar onder bewees Archimedes de formule voor de inhoud van een bol.
Als je dit prachtige en ingenieuze bewijs wilt volgen click dan de grafsteen.....

Het bewijs heeft men gevonden als "palimpsest". Dat is een originele inscriptie die later is weggeveegd zodat het stuk perkament opnieuw gebruikt kon worden. 
Gelukkig is het bewijs van Archimedes slecht verwijderd, en nog leesbaar (het moest plaatsmaken voor Griekse orthodoxe gebeden).
Op 27 oktober 1998 werd het document door veilinghuis Christie's in New York verkocht aan een onbekende Amerikaanse verzamelaar voor $2.000.000,-

De Oppervlakte van een Bol.
Het was alweer Archimedes die een formule opstelde voor de oppervlakte van een bol.
Hij toonde aan dat een cilinder en een bol die dezelfde hoogte hebben, ook dezelfde gekromde oppervlakte hebben.
De oppervlakte van de bol hiernaast is dus gelijk aan de oppervlakte van de kegelmantel hiernaast. Omdat de omtrek van de bovenrand van de cilinder gelijk is aan 2πr, is de oppervlakte van de mantel gelijk aan 2πr h =  2πr 2r 
Dat is  4πr2.

oppervlakte bol =  4πr2 

   
  OPGAVEN
1. Een  tennisbal heeft een doorsnede van 6,5 cm.

a. Bereken de oppervlakte van deze tennisbal.
     
b. Een tennisbal is hol van binnen. Het blijkt dat het materiaal waaruit de tennisbal is gemaakt een inhoud heeft van 100 cm3
Bereken de dikte van de wand van een tennisbal.
 

a. 133 cm2
b.  1,06 cm

     
2. Een massief gouden bol met inhoud 1 liter wordt omgesmolten tot allemaal kogeltjes met diameter 1 cm.
       
a. Hoeveel zulke kogeltjes worden dat?

1909-1910

       
b. Hoeveel keer zo groot is de totale oppervlakte van het goud daardoor geworden?

12,4 keer

3. Hiernaast zie je een kegel met zijn ingeschreven bol. Van de kegel is de hoogte 12 cm en de straal van de grondcirkel 5 cm.
Hieronder staat een vooraanzicht:

       
  a. Toon aan dat BQ = 5  
       
  b. Toon aan dat TM = 12 - r  
       
  c. Toon aan dat r = 2,5  
       
  d. Bereken welk percentage van de inhoud van de kegel door de bol in beslag wordt genomen.
     

49%

4. Hoe massief is de aarde?
De aarde is ongeveer een bol. De omtrek van de evenaar is ongeveer 40000 km.
De massa van de aarde is ongeveer 6 1024  kg.
materiaal

soortelijk gewicht
(kg per m3)

water 1000
cementmortel 1900
aluminium 2700
basalt 3000
radium 5500
koper 8900
lood 11300
Hiernaast zie je een tabel van het soortelijk gewicht van een aantal stoffen.

Op welke lijkt de aarde gemiddeld het meest?

     

radium

5. De oppervlakte van Nederland is 41528 km2
De straal van de aarde is 6378 km.
Hoeveelste deel van de aardoppervlakte  wordt door Nederland in beslag genomen?
     

0,0081%

6. Tennisballen van het merk LX zitten verpakt in een cilindervormig blik. Neem aan dat de ballen er zowel horizontaal als verticaal precies in passen.

     
  a. Toon aan dat de oppervlakte van de cilindermantel van het blik gelijk is aan de oppervlaktes van de vier ballen tezamen.
     
  b. Toon aan dat de eigenschap van vraag a) geldt voor elk aantal ballen (verticaal gestapeld)  in een blik.
       
  c. Hoeveel procent van de inhoud van het blik wordt door de vier ballen in beslag genomen?
     

162/3%

  Je kunt tennisballen ook kopen in blikken van zes. Hieronder zie je twee manieren om ze in een blik te verpakken.
       
 

       
  d. Bereken voor beide verpakkingsmanieren hoeveel procent van de inhoud van het blijk door de tennisballen wordt ingenomen.
     

52,4% en 48,1%

       
7. Een emmer met de afmetingen hiernaast staat onder een lekkende kraan. Elke seconde valt er een druppel uit de kraan in de emmer.
De afmetingen van de emmer zijn gegeven in cm.

Neem aan dat de druppels bolvormig zijn met en diameter van 4 mm.

Hoe lang duurt het voordat een lege emmer vol zal zijn? Geef je antwoord in uren nauwkeurig

     

111 uur

       
8. De afvalbak van Curver hiernaast bestaat bij benadering uit een cilinder met een halve bol erop.

Bereken de inhoud in liters nauwkeurig.

     

705 liter

       
 

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)