© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. r = 3,25
O = 4 • π • 3,252 = 421/4π
 
       
  b. inhoud van de hele bal:  4/3π • 3,253 = 143,7933
inhoud lege binnenruimte  143,7933 - 100 = 43,7933
43,7933 = 4/3πr3
43,7933 = 4,189r3
r3 = 1,455
r = 2,19
De dikte is dan  3,25 - 2,19 = 1,06 cm
       
2. a. diameter 1 cm betekent straal 0,5 cm
de inhoud is dan 4/3π • 0,53 = 0,5236 cm3
1 liter is 1000 cm3  dus dat zijn 1000/0,5236 = 1909 kogeltjes (en een klein beetje)
       
  b. oorspronkelijke straal:  4/3πr3 = 1000
r3 = 238,73
r = 6,20
oorspronkelijke oppervlakte:  4π • 6,202 = 483,60
nieuwe oppervlakte: 1909 • 4π • 0,52 = 5997,3
Dat is  5997,3/483,60 is ongeveer 12,4 keer zo groot. 
       
3. a. De driehoeken BMP en BMQ zijn gelijk, want ze hebben twee dezelfde zijden en een rechte hoek. Dus is BQ = BP = 5

     
  b. TP = 12, en voor TM gaat daar weer r (=MP) van af.
     
  c. Pythagoras in driehoek TPB:  122 + 52 = TB2  = 169  dus  TB = 13
TQ = TB - BQ = 13 - 5 = 8
Pythagoras in driehoek TMQ:  (12 - r)2 = 82 + r2
144 - 24r + r2 = 64 + r2
24r = 80
r
= 31/3
       
  d. Inhoud hele kegel is  1/3π • 52 • 12 = 314,16
Inhoud bol is 4/3π • (31/3)3 = 155,14
Het percentage is dan  155,14/314,16 • 100% = 49%
 
       
4. 2πr = 40000 geeft  r = 6366,2 km
de inhoud is dan  4/3π • 6366,33 = 1,08 • 1012  km3 en dat is  1,08 • 1021  m3
de dichtheid is dan   6 • 1024  / 1,08 • 1021 =  5556 kg/m3
de aarde lijkt het meest op radium. 
       
5. De oppervlakte van de aarde is  4 • π • 63782 = 5,1 • 108 km2 
Nederland is daarvan  41528/5,1 • 108 = 0,00008ste deel, en dat is ongeveer 1/12000 ste deel
       
6. a. Stel dat de straal van een tennisbal gelijk is aan r
Dan is de hoogte van het blik 8r en de straal van het grondvlak r
De oppervlakte van de cilindermantel is dan 2πr • 8r = 16πr2

De oppervlakte van een bal is 4πr2  dus de oppervlakte van vier ballen is  16πr2
Dat is inderdaad gelijk.
       
  b. Voor één bal is de oppervlakte 4πr2
De hoogte van de cilinder is dan 2r dus de oppervlakte  2πr • 2r = 4πr2
Dat is gelijk.
Meer ballen opstapelen is hetzelfde als meer cilinders van één bal op elkaar zetten, dus dat blijft gelijk. Bij elke bal extra komt er ook een cilindermantelstuk van 2r hoogte extra bij.
       
  c. Inhoud van de cilinder:  πr2 • 8r = 8πr3
Inhoud van 4 ballen:  4 • 4/3πr3 = 16/3πr3
Dat is  2/3 deel
       
  d. Methode A:
Het blik is 6r bij 4r bij 2r dus heeft inhoud  48r3
6 ballen hebben inhoud  6 • 4/3 πr3 = 8πr3
dat is  8π/48 • 100%  = 52,4%
 
       
    Methode B:
h2 + r2 = (2r)2  dus  h2 = 3r2  dus  h = r3
Het blik is  2r + r3 bij 7r bij 2r  (zie hiernaast)
De inhoud is dan    (2r + r3) • 7r • 2r = 52,25r3 
6 ballen hebben inhoud  6 • 4/3 πr3 = 8πr3
dat is  8π/52,25 = 48,1%

       
7. Zie het vooraanzicht van de emmer hiernaast.
Uit gelijkvormige driehoeken volgt:   15/(27 + h) = 10/h
15h = 10(27 + h)
15h = 270 + 10h
5h = 270
h
= 54 dus de hele hoogte van de kegel is 81

De hele kegel heeft inhoud 1/3 π • 152 • 81 = 6075π
Het onderste deel heeft inhoud  1/3π • 102 • 54 = 1800π

De emmer heeft dan inhoud 6075π - 1800π = 4275π = 13430 cm3

       
  één druppel water heeft inhoud  4/3π • 0,23 = 0,03351 cm3
dan passen er 13430/0,03351 ≈ 400000 druppels in de emmer
dat duurt 400000 seconden en dat is ongeveer 111 uur
       
8. De straal van de bol en van het grondvlak van de cilinder is  38 cm.

Inhoud cilinder:   π • 382 • 130 = 187720π
Inhoud halve bol:  1/24/3π • 383 = 365811/3π

Samen is dat 2243011/3π = 704663 cm3  ≈  705 liter
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)