Het mooie bewijs...
Hiernaast zie je het vooraanzicht van een bol (rood) een kegel (blauw) en een cilinder (groen) die elkaar doorsnijden.
M is het middelpunt van de bol.
Omdat AM = MB = r  lopen de blauwe lijnen AD en AE onder een hoek van 45º met de bodemlijn DE. Het grondvlak van de kegel en de cilinder heeft daarom straal 2r.

Archimedes doorsneed deze figuren met een horizontaal vlak op willekeurige hoogte.
Dat is hiernaast paars getekend. Dat geeft nieuwe punten HI met de cilinder, JK op de bol, en LN op de kegel. P ligt op de as.

Bekijk nu  eerst driehoek AJO.
Omdat J op de rode cirkel ligt en AO daar een middellijn van is, is hoek AJO gelijk aan 90º (stelling van Thales).

In de driehoek hiernaast zie je nu dat  AJO en  APJ gelijkvormig zijn (ze hebben dezelfde hoeken)
Dus is  AJ/AO = AP/AJ  en daaruit volgt  AO • AP = AJ2 
Pythagoras in APJ geeft dan   AO • AP = AJ2 = AP2 + PJ2     .......(1)

Omdat MB = MA = r  geldt dat de blauwe lijn onder een hoek van 45º met de grondlijn loopt.
Dan geldt  HP = DO = AO en  LP = AP
Maar dan is  HP • LP = AO • AP  en volgens (1) is dit ook gelijk aan  AP2 + PJ2 
Maar vanwege de 45º hoek is dit ook weer gelijk aan  LP2 + PJ2 , dus  HP • PL = LP2 + PJ2    .......(2)
Kies nu een punt Z op het verlengde van  AO zodat  ZA = AO (zie hiernaast.
Dan geldt:

Vermenigvuldig nu de teller en noemer van de laatste breuk met p en er staat in de teller de oppervlakte van de cirkel die de doorsnede is van het horizontale vlak HI met de cilinder. 
En kijk! in de noemer staan dan de oppervlaktes van de cirkels die de doorsneden zijn van het paarse vlak met de kegel en de bol!  
Nee maar!!!

Hiernaast zie je wat er aan de hand is.

Het paarse vlak HI heeft een stuk van de cilinder afgesneden, en we hebben zojuist bewezen als we bovenstaande formule kruislings vermenigvuldigen, dat geldt:

AP • doorsnede groen = ZA • (doorsnede rood + doorsnede blauw)

En toen maakte Archimedes de laatste geniale denkstap......

Hij verplaatste de blauwe en de rode doorsnede naar punt Z!!!!

Hieronder is dat gebeurd.
In de rechterfiguur zijn alleen de doorsneden nogmaals getekend, maar nu 90º gekanteld.

Omdat geldt:   AP • doorsnede groen = ZA • (doorsnede rood + doorsnede blauw)  betekent dat, dat de drie doorsneden in de rechterfiguur in evenwicht zijn ten opzichte van punt A.
Wat we nu gaan doen is de hele cilinder schijfje voor schijfje "afbreken": we laten het horizontale vlak met HI erin vanaf punt A langzaam naar beneden gaan tot punt O, en verplaatsen elke keer de rode en de blauwe "doorsnedecirkels"  naar punt P. De groenen blijven op hun plek. Als we dat doen dan blijft de hele figuur bij elke stap in evenwicht rond punt A.
Dat geeft als we de hele cilinder hebben afgebroken zoiets:
De hele bol samen met de hele piramide in punt Z zijn in evenwicht met de cilinder tussen punt A en punt O.

 


Maar een hele cilinder tussen punt A en punt O is hetzelfde als de hele cilinder in punt M, dus de tekening hieronder geeft ook evenwicht:
Daaruit volgt:  (bol + kegel) • AZ = cilinder • AM
Maar omdat AM = 1/2AZ  geldt dus ook  bol + kegel = 1/2 • cilinder
ofwel:    bol = 1/2 • cilinder - kegel = 1/2π(2r)2 • 2r  -  1/3π(2r)2 • 2r 
⇒    bol = 1/6 • π • 4r2 • 2r = 8/6πr3 = 4/3πr3

Q.E.D!