De helling van een kromme.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Even het geheugen opfrissen:  hoe ging het ook alweer bij de helling van een "gewone" functie? 

Als je de helling in een punt P met een bepaalde xP wilt weten, dan bereken je eerst de coördinaten van P met de formule voor f(x).

Vervolgens kies je een punt Q vlak ernaast door xP + Δx te nemen (hoe dichterbij hoe beter dus die Δx moet zo klein mogelijk).

Je berekent ook de coördinaten van punt Q  met de formule voor f(x) en benadert vervolgens de helling door  Δy/Δx.

Je krijgt dan eigenlijk de helling van het rechte lijnstuk PQ, maar als die P en Q maar dichter en dichter bij elkaar worden gekozen dan nadert die helling naar de helling van de grafiek zelf, dus naar de afgeleide f '(x).

Het gaat natuurlijk veel sneller gewoon f '(x) te berekenen......

Bij parameterkrommen is het zwakke punt in dit verhaal dat er geen formule f(x) is, dus is er ook geen f ' te maken!

Je zou toch voor dezelfde aanpak kunnen kiezen, maar dan moet je deze drie stappen kunnen doen:
· bereken bij xP eerst t  (als dat lukt), dan kun je daaruit yP berekenen
· bereken ook bij xP + Δx de t (als dat lukt) dan kun je daaruit yQ berekenen.
· bereken tenslotte  Δy/Δx.

Maar deze aanpak heeft twee nadelen. Ten eerste is het nogal veel werk. Ten tweede stond er twee keer "als dat lukt" in deze omschrijving! Het is helemaal niet gezegd dat de vergelijkingen x(t) = xP zijn op te lossen!!
Het kan handiger als we ons concentreren op de t in plaats van de x. Dat is eigenlijk meestal bij parameterkrommen de handigste aanpak.......

   
Je kunt namelijk een punt Q  vlak naast P ook kiezen door een t vlak naast de vorige te kiezen. Door als het ware t + Δt te doen dus!!!

Dan zijn die Δx en Δy heel snel te berekenen omdat we wél de formules voor x(t) en y(t) hebben:

uit de grafiek van x(t) volgt dat  Δx/Δt = x'(t)  dus  Δx = x'(t) × Δt
uit de grafiek van y(t) volgt dat  Δy/Δt = y'(t)  dus  Δy = y' (t) × Δt

       
Kijk!  Dat is tenminste een resultaat waar je wat mee kunt!
       
       
Voorbeeld.

Gegeven is de parameterkromme  x(t) = t3 - 2t  en   y(t) = t2
a.  Geef een vergelijking van de raaklijn in het punt waar t = -1/2.
b.  In welk punt heeft deze kromme helling 0,4?

Oplossingen:

t
= - 1/2  geeft x = 7/8  en   y = 1/4   (gewoon invullen).
x'(t) = 3t2 - 2  dus  x'(-1/2) = -11/4.   Verder is   y'(t) = 2t  dus  y'(-1/2) = -1
Dan is y'/x' 4/5  dus de raaklijn heeft vergelijking  y = 4/5x + b
Het punt  (7/8 , 1/4) invullen geeft dan b = -9/20  dus de raaklijn is  y = 4/5x - 9/20

Als de helling 0,4 is, dan moet gelden   y'/x'  = 2t/3t2 - 2  = 0,4
Dat geeft  2t = 0,4(3t2 - 2)  = 1,2t2 - 0,8  ofwel  1,2t2 - 2t - 0,8 = 0
Dat heeft de oplossingen t = 2 en t = -1/3.
Invullen geeft de punten (4, 4)  en  (17/27, 1/9).
       
         
1. De kromme K wordt gegeven door  x(t) = t5 - 4t3  en   y(t) = t2
         
  a. Geef een vergelijking van de raaklijn aan K in het punt waar t = 1
         
  b. Leg uit waarom de vergelijkingen van de raaklijnen aan K in het punt (0,0) niet te berekenen zijn met de formule die je hebt geleerd voor de helling van een parameterkromme.
     
  c. Geef een vergelijking van de beide raaklijnen aan K in het andere snijpunt van K met de y-as. Leg uit hoe het kan dat een parameterkromme twee raaklijnen in één punt heeft.
         
2. De kromme K wordt gegeven door  x(t) = t3 - 4t  en   y(t) = tet - et  
         
  Geef een vergelijking van de raaklijn aan kromme K in het snijpunt met de positieve y-as.
       
y = 1/4e2x + e2
     
3. De kromme K wordt gegeven door  x(t) = t2 - 2t  en   y(t) = lnt
Voor welke b raakt de lijn  y = 1/4x + b de kromme K?
       

 b = ln2

         
4. De parametervoorstelling van een cirkel met middelpunt O en straal 1 is  x(t) = cost en  y(t) = sint
Toon aan dat voor een willekeurig punt P van deze cirkel geldt dat de lijn OP loodrecht staat op de raaklijn in P aan de cirkel.
         
5. De kromme K wordt gegeven door 
x
(t) = cos2t + cost  en   y(t) = sin2t + sint

Geef een vergelijking van de raaklijn in het punt waar t = 1/3π.

         
6. examenvraagstuk Wiskunde,VWO, 1984.
         
  Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is de kromme K gegeven door:
x = -t2 + 6t  en   y = -1/3t3 + 2t2   waarbij  t ∈ R
         
  a. Bereken de coördinaten van de punten van K waarin de raaklijn aan K evenwijdig is aan de x-as of aan de y-as.
         
  b. Toon aan dat er twee lijnen zijn die K in O raken.
Bereken de hoek van deze lijnen in graden nauwkeurig.
Teken K.
   

63º

  c. Voor welke p ∈ R+  geldt:  de lijn y = 2x - p  raakt  K ?
       

102/3

7. Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is voor t ∈ R de kromme K gegeven door:
         
 

         
  Bewijs dat de x-as een raaklijn is van K.
         
8. examenvraagstuk Wiskunde B VWO, 1988.

Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is de kromme K gegeven door:
x = t2 - t - 2  en   y = t2 + t + 1/4,  waarbij  t  ∈ R

         
  a. Bereken de coördinaten van de gemeenschappelijke punten van K en de coördinaatassen.
         
  b. Bereken de coördinaten van de punten van K waarin de raaklijn aan K evenwijdig is aan de x-as of aan de y-as.
         
  c. Onderzoek welke waarden de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen aan K kunnen aannemen.
         
9. examenvraagstuk Wiskunde B VWO, 1998.
         
  De kromme K is gegeven door:

 
     
  waarbij t ∈ [0, 2π] 
In de figuur hiernaast is K getekend.

De coördinaatassen zijn symmetrie-assen van K.
     
  a. Toon aan dat voor t 0, p en 2p de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan K in het punt (x(t), y(t)) van K gelijk is aan  -3sin2t
         
  R is een rechthoek waarvan de zijden evenwijdig zijn aan de coördinaatassen. De hoekpunten van R liggen op kromme K
         
  b. Bereken hoe groot de oppervlakte van R maximaal kan zijn.
         
  Voor elke a ∈  R  is de kromme Ka gegeven door:
 

         
  waarbij  t ∈ [0, 2π]

Voor elke a zijn de coördinaatassen symmetrie-assen van Ka.
In de volgende figuur zijn K2, K3 en K4 getekend.

         
 

         
  K3 snijdt zichzelf in het punt S op de positieve x-as.
         
  c. Bereken de hoek waaronder K3 zichzelf in S snijdt.
         
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)