© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. x(t) = t5 - 4t3   dus  x(1) = -3
x ' = 5t4 - 12t2  dus  x '(1) = -7

y(t) = t2   dus  y(1) = 1
y ' = 2t dus  y '(1) = 2

De raaklijn heeft helling  -2/7 en moet door het raakpunt (-3, 1) gaan.
1 = -2/7 • 3 = b geeft  b = 16/7
De raaklijn is de lijn y = -2/7x + 16/7
       
  b. x '(0) = 0
y '(0) = 0
Dat zou helling  0/0 geven en dat is onbepaald.....Daar kan van alles uitkomen....		  
       
  c. snijpunt y-as:   t5 - 4t3  = 0
t3 (t2 - 4) = 0
t = 0 ∨  t = 2  ∨  t = -2

t = 2 en t = -2 geven beiden het raakpunt  (0, 4)

x '(2) = 32  en  y '(2) = 4  dus dat geeft helling  4/32 = 1/8
De raaklijn is dan  y = 1/8x + 4

x '(-2) = 32  en  y '(-2) = -4  dus dat geeft helling  -1/8
De andere raaklijn is de lijn  y = -1/8x + 4

Omdat een kromme zichzelf kan snijden (voor verschillende t-waarden door hetzelfde punt gaan) kan hij in zo'n snijpunt dus verschillende hellingen hebben, dus ook verschillende raaklijnen.
       
2. x(t) = t3 - 4t  = 0
t(t2 - 4) = 0
t = 0  ∨  t = 2  ∨ t = -2
Dat geeft de snijpunten  (0, -1) en (0, e2)  en  (0, -3e-2)
Het gezochte raakpunt is  (0, e2) bij t = 2

x ' = 3t2 - 4  dus  x' (2) = 8
y '  = 1 • et + tet  - et = tet   dus  y '(2) = 2e2
De helling is dan  2e²/8 = 1/4e2
De raaklijn is de lijn  y = 1/4e2x + e2  
       
3. x(t) = t2 - 2t
x ' = 2t - 2

y(t) = lnt
y ' =  1/t

De helling is dan   1/(t(2t - 2))  en die moet 1/4 zijn.
t(2t- 2) = 4
2t2 - 2t - 4 = 0
t2 - t - 2 = 0
(t - 2)(t + 1) = 0
t = 2  ∨  t = -1

t = 2 geeft raakpunt  (0, ln2)  en de raaklijn  y = 1/4x + ln2
t = -1  geeft geen waarde voor y

conclusie:  b = ln2
       
4. O = (0,0) en P = (cost, sint)
De lijn OP heeft dan helling  Δy/Δx = (sint - 0)/(cost - 0) = sint/cost

x ' = -sint
y '= cost
De raaklijn heeft de helling  cost/-sint 

Vermenigvuldig die hellingen met elkaar:   sint/cost • cost/-sint   = -1  Dus dat staat loodrecht op elkaar.
       
5. x(t) = cos2t + cost  dus x(1/3p) = 3/4
x ' = 2cost • -sint - sint  dus  x '(1/3p) = -√3

y(t) = sin2t + sint  dus  y(1/3p) =  3/4 + 1/2√3
y ' =  2sint cost + cost  dus  y ' (1/3p) = 1/2 + 1/2√3

De helling bij t = 1/3p  is gelijk aan    (0,5 + 0,5√3)/-√3 = -1/6√3 - 1/2

3/4 + 1/2√3 = (-1/6√3 - 1/2) • 3/4 + b
b = 9/8 + 5/8√3

De raaklijn is de lijn  y =  (-1/6√3 - 1/2) • x + (9/8 + 5/8√3)
       
6. a. Evenwijdig aan de y-as:
x ' = -2t + 6 = 0 Þ  t = 3 
x(3) = 9 en y(3) = 9 dus dat is het punt (9,9)

Evenwijdig aan de x-as:
y'  = -t2 + 4t = 0 ⇒   t(-t + 4) = 0  ⇒   t = 0  Ú  t = 4
x(0) = 0  en  y(0) = 0  dus dat is het punt (0,0)
x(4) = 8  en  y(4) = 102/3  dus dat is het punt  (8, 102/3) 

       
  b. x = 0  geeft   -t2 + 6t  = 0  ⇒   t(-t + 6) = 0  ⇒    t = 0 ∨ t = 6
t = 0  geeft  y = 0
t = 6 geeft y = 0
Dus voor t = 0 en t = 6 gaat de kromme door de oorsprong.

x' (0) = 6  en  y '(0) = 0  dus voor t = 0 heeft de kromme helling 0
x' (6) = -6  en  y '(6) = -12 dus voor t = 6 heeft de kromme helling  -12/-6 = 2

Een lijn met helling 2 maakt een hoek a met een horizontale lijn waarvoor geldt  tanα = 2   
Dan is  α = tan-12 = 63º
Dat is ook de hoek tussen de raaklijnen.
       
  c. De helling moet gelijk zijn aan 2.
y '/x' = (-t² + 4t)/(-2t + 6) = 2
2(-2t + 6) = -t2 + 4t
t2  - 8t + 12 = 0
(t - 2)(t - 6) = 0
t = 2  ∨  t = 6

t = 2  geeft het punt  (8, 51/3)  dus  51/3 = 2 • 8  - p  en dat geeft  p = 102/3
t = 6 geeft het punt  (0, 0)  dus  p = 0  maar die valt af (niet in R+)
       
7. y = 0
4sint - 2sin2t = 0
4sint - 4sintcost = 0   (want  sin2x = 2sinxcosx)
4sint (1 - cost) = 0
sint = 0  ∨   cost = 1
t = 0 ∨  t = π

x ' = 4cost dus  x '(0) = 4  en  x '(p) = -4

y ' = 4cost - 4cos2t   dus  y '(0) =  0  en  y '(p) = -4

Dan is de helling bij t = 0 gelijk aan  0/4 = 0 dus raakt de kromme voor t = 0 de x-as.
       
8. a. x = t2 - t - 2  = 0
(t - 2)(t + 1) = 0
t = 2 ∨  t = -1
Dat geeft y = 61/4  y = 1/4  en de punten  (0, 1/4)  en (0, 61/4)

y = t2 + t + 1/4 = 0
(t + 1/2)2 = 0
t = -1/2
Dat geeft  x = -11/4  en het punt  (-11/4, 0)  
       
  b. x ' = 0
2t - 1 = 0  ⇒  t = 1/2.
Dat geeft  x = -11/4  en  y = 1  dus in  (-11/4, 1) is de raaklijn evenwijdig aan de y-as

y ' = 0
2t + 1 = 0  ⇒  t = -1/2
Dat geeft  y = 0 en x = -11/4  dus in (-11/4, 0) is de raaklijn evenwijdig aan de x-as.
       
  c. y'/x' =  (2t + 1)/(2t - 1)   
     
    Dat kan alles aannemen behalve de waarde 1 (daar heeft deze grafiek een horizontale asymptoot)
       
9. a. x ' = -2sint
y ' = 3 • 4sin2t • cost
y '/ x' = 12sin²tcost/-2sint  = -6sintcost = -3sin2t
       
  b. Als de x-coördinaat van de rechterzijde van de rechthoek gelijk is aan 2cost dan is de breedte van de hele rechthoek 4cost
Als de y- coördinaat van de bovenkant van de rechthoek gelijk is aan 4sin3t dan is de hoogte van de hele rechthoek 4sin3t
De oppervlakte is dan  8sin3t • 4cost = 32sin3tcost

Die is maximaal als de afgeleide nul is;
96sin2t cost • cost + 32sin3t • -sint = 0
32sin2t (3cos2t - sin2t) = 0
sin2t = 0  ∨  3cos2t - sin2t = 0
sint = 0  ∨  tan2t = 3

sint = 0 valt af want dan is de oppervlakte nul.
tan2t = 3
tant = √3
t = 1/3π
Dan is de oppervlakte 32 • (1/2√3)3 • 1/2 = 6√3
       
  c. y = 0
4sin3t - 3sint = 0
sint(4sin2t - 3) = 0
sint = 0  ∨  4sin2t - 3 = 0
sint = 0 ∨ sin2t = 3/4
sint = 0  ∨ sint = 1/2√3 ∨  sint = -1/2√3
Dat geeft   t =  0, 1/3π, 2/3π, π, 11/3π, 12/3π
dat geeft respectievelijk   x = 2, 1, -1, -2, -1, 1
De waarde die dubbel voorkomt op de positieve x-as is x = 1 bij   t = 1/3π en 12/3π   

y ' = 12sin2t • cost - 3cost.  Dus  y'(1/3π) = 3  en  y '(12/3π) = 3
x ' = -2sint  dus  x' (1/3π) = -√3  en  x' (12/3π) =  -√3

Bij t = 1/3π is de helling van de kromme   3/-√3 = -√3 en die maakt een hoek van tan-1(-√3) = -60º met de positieve x-as
Bij t = 12/3π is de helling van de kromme   3/√3 = √3 en die maakt een hoek van tan-1(√3) = 60º met de positieve x-as

De hoek waaronder de kromme zichzelf snijdt is dan 120º  (of 60º als je de scherpe hoek wilt noemen)
       
       
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)