Grotere bomen.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Het systeem met die kansbomen lijkt prima te werken natuurlijk, maar het kan gebeuren dat de bomen die je moet tekenen erg groot worden. Dat geeft praktische problemen.
Neem het volgende voorbeeld:
Ik liet laatst per ongeluk een aantal punaises op de grond vallen, en daar viel me meteen wat aan op: ze kunnen namelijk op twee manieren neerkomen:  

Maar die twee mogelijkheden komen niet even vaak voor.  Op de foto zie je bijvoorbeeld dat van de 10 punaises er 2 met de punt omhoog liggen en 8 met de punt omlaag.
Ik ging op onderzoek uit en gooide expres 500 punaises op de grond. Natellen leverde dat er 98 met de punt omhoog lagen en 402 met de punt omlaag. Dat doet mij vermoeden dat de kans om met de punt omhoog te belanden gelijk is 0,2 en met de punt omlaag dus 0,8. Laten we aannemen dat die getallen kloppen.

Hoe groot is nu de kans dat van de 30 punaises die op de grond vallen er precies 10 met de punt omhoog liggen?

De kansboom die daarbij hoort ziet er zσ uit:

Dit is maar een klein stukje van de hele boom. We hebben nog maar 7 van de 30 punaises laten vallen. Het is veel te veel werk die hele boom te gaan tekenen (de laatste rij krijgt al 230 streepjes en dat is ongeveer 1 miljard!  Met ιιn streepje per seconde zouden we daarvoor zo'n 34 jaar non-stop bezig zijn!!!!). Bovendien ook al zou die boom zijn getekend, dan zal het niet te doen zijn om te kijken welke takken nou precies 10 punaises met de punt omhoog en 20 met de punt omlaag zouden hebben.
Dit vraagt om een andere systematischer aanpak.
Die gaat in 5 stappen:
STAP 1.  Begin een stukje van de kansboom te tekenen.
Dat is hierboven al gebeurd. Natuurlijk is een kleiner stukje ook al wel genoeg, 't is meer om een idee te krijgen van wat er aan de hand is.
STAP 2.  Schrijf ιιn gunstige tak op.
Noem H = punt omhoog en L = punt omlaag. Een gunstige tak is er eentje met 10 H's en 20 L's
Bijvoorbeeld  HHHHHHHHHHLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
STAP 3.  Bereken de kans op deze ene tak.
De tak hierboven heeft kans  0,2 • 0,2 • 0,2 • ... • 0,8 • 0,8 • 0,8 • .....  en daar staat 10 keer 0,2 en 20 heer 0,8.
Dat geeft kans  0,210 • 0,820  (ongeveer 0,00000000118).
STAP 4.  Beredeneer hoeveel zulke gunstige takken er zijn.
Bedenk dat elk rijtje letters met 10 H's en 20 L's een gunstige tak is. De vraag is dus  "Hoeveel zulke rijtjes letters zijn er?". Maar die vraag hebben we al eerder beantwoord toen we het hadden over anagrammen, dat waren ook rijtjes letters en het aantal manieren berekenden we met combinaties nCr.
In dit geval zijn er  30 nCr 10 = 30045015 zulke rijtjes dus ook zoveel gunstige takken.
STAP 5.  Vermenigvuldig de kans op ιιn zo'n tak met het aantal takken.
KANS = (30 nCr 10) • 0,210 • 0,820  = 0,0355
Bedenk wel dat deze aanpak alleen werkt als de boom regelmatig is. Die laatste stap mag namelijk alleen als de kans op elke gunstige tak gelijk is, en dat is alleen zo bij regelmatige kansbomen.
Dat dit een voorbeeld was MET terugleggen maakt niet uit; ook zonder terugleggen werkt deze aanpak.
Kijk maar naar het volgende probleem:
In een klas van 28 leerlingen hebben er 8 hun huiswerk niet geleerden 20 wel.
De leraar gaat 10 verschillende leerlingen overhoren.
Hoe groot is de kans dat van deze 10 er 4 hun huiswerk niet hebben geleerd?
Laten we de 5 stappen volgen:
STAP 1.  Hiernaast. W = wel geleerd, N = niet geleerd. Het valt direct al op dat de boom wel regelmatig is, maar de kansen bij de takken variλren nogal!

STAP 2.  gunstig is bijv.  NNNNWWWWWW
STAP 3.  de kans daarop is 
8/28 • 7/27 • 6/26 • 5/25 • 20/24 • 19/23 • 18/22 • 17/21 • 16/20 • 15/19
Dat is ongeveer 0,0009845
STAP 4.  er zijn  10 nCr 4 = 210 zulke takken.
STAP 5. de kans is dus  210 • 0,0009845 = 0,2067
Maar die laatste stap, dat bij elkaar optellen van al die 210 gunstige takken, dat mag alleen maar als de kans op elke gunstige tak hetzelfde is. En er staan bij deze boom wel allemaal verschillende kansen. Klopt dat wel?
Gelukkig wel, en dat zie je als je een paar zulke gunstige takken opschrijft:
NNNNWWWWWW  heeft kans  8/28 • 7/27 • 6/26 • 5/25 • 20/24 • 19/23 • 18/22 • 17/21 • 16/20 • 15/19  = 0,0009845
NNWNWWWNWW  heeft kans   8/28 • 7/27 • 20/26 • 6/25 • 19/24 • 18/23 • 17/22 • 5/21 • 16/20 • 15/19 = 0,0009845
WNWWWWNNWN   heeft kans  20/28 • 8/27 • 19/26 • 18/25 • 17/24 • 16/23 • 7/22 • 6/21 • 15/20 • 5/19 = 0,0009845
en ga zo maar door.
De kansen blijken inderdaad gelijk, en je zult al wel zien waar dat door komt.
De noemers van deze breuken zijn steeds precies hetzelfde  (28 • 27 • ... • 19)
In de tellers staan steeds de getallen  20, 19, 18, 17, 16, 8, 7, 6, 5  met elkaar vermenigvuldigd. Het enige dat verschilt is de volgorde, maar dat maakt voor de uitkomst natuurlijk niet uit.
   
  OPGAVEN
1. Joop staat in een rooster op punt (0,0)
Hij gaat wandelen over de roosterlijnen. Elke keer als hij bij een kruising komt gooit hij een dobbelsteen. Bij 1 of 2 gaat hij omhoog (Noord) en bij 3, 4, 5 of 6 gaat hij naar rechts (Oost). 

Jaap staat in punt (4,6).
 

  a.  Bereken de kans dat Joop bij  Jaap uitkomt.
 

0,0569

  b.  Bereken de kans dat Joop tussen Jaap en Joep doorwandelt.
 

0,8194

2. Een basketbalspeler heeft bij een vrije worp kans 40% dat hij raak gooit en kans 60% dat hij mist. Als hij scoort krijgt hij 1 punt. In 20 worpen verwacht je dan dat hij gemiddeld 8 punten zal scoren.
Hoe groot is de kans dat hij in 20 worpen precies 8 punten scoort?
     

0,1797

3. Ik ben gek op BINGO.
Bij BINGO krijgt iedereen een kaart van 5 bij 5 hokjes met daarin 25 verschillende getallen (van 1 tm 100). De spelleider heeft een enorm apparaat met 100 ballen genummerd 1 tm 100 erin. Hij trekt er willekeurig een bal uit en roept het nummer. Als dat nummer op mijn kaart staat kan ik het doorstrepen.
Hoe groot is de kans dat ik na 10 omgeroepen ballen al 4 nummers op mijn kaart heb kunnen doorstrepen?

     

0,1471

4. Twee dammers, laten we ze A en B noemen, gaan 20 wedstrijden tegen elkaar spelen.
Bij elke wedstrijd zijn er 3 mogelijke uitkomsten:  winst voor A, winst voor B of remise.
De dammers kennen elkaar goed en weten dat de kansen op deze drie uitkomsten respectievelijk gelijk zijn aan  0,30 en 0,20 en 0,50.
Hoe groot is de kans dat dammer A in deze tweekamp 5 keer wint, 3 keer verliest en 12 keer gelijkspeelt?
 

0,0335

   
5. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2007.

Bij de bepaling van een veilige dijkhoogte spelen kansen een grote rol. Rijkswaterstaat stelt als veiligheidsnorm voor rivierdijken een dijkhoogte waarbij hoogstens 1 keer per 4000 jaar een overstroming wordt verwacht.

Neem bij de beantwoording van de volgende drie vragen aan dat de rivierdijken in Nederland precies aan de hierboven gestelde norm voldoen, dus een hoogte hebben waarbij de kans op een overstroming in een jaar gelijk is aan  1/4000.

Het is erg onwaarschijnlijk dat in twee opeenvolgende jaren overstromingen optreden. Toch gebeurde dat in 1994 en 1995

   
  a. Bereken de kans dat in twee opeenvolgende jaren overstromingen optreden.
       

6,25•10-8

  De kans dat er in een periode van 100 jaar gιιn overstroming optreedt, is redelijk groot.
         
  b. Bereken deze kans. Geef je antwoord in 3 decimalen nauwkeurig.
       

0,975

  c. Bereken de kans dat in een periode van 100 jaar er precies twee jaren zijn met overstromingen. Geef je antwoord in 4 decimalen nauwkeurig.
       

0,0003

         
6. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 2010.

Om kogelwerende vesten van een bepaalde kunststof te testen, worden er kogels op afgevuurd met verschillende snelheden. Men kijkt of de kogel door het vest is gedrongen. De testresultaten zijn verwerkt in de figuur.

         
 

         
  In de figuur kun je bijvoorbeeld aflezen dat van de kogels met een afvuursnelheid van 450 m/s er 80% door het vest heen gaan. Je kunt ook zeggen: “Wanneer een kogel afgevuurd wordt met een snelheid van 450 m/s is de kans 0,8 dat die door het vest heen gaat.”

Een arrestatieteam overweegt de aanschaf van deze vesten. In een test worden series van vijf schoten op een vest afgevuurd. De afvuursnelheid van de kogels is 420 m/s.

De kans dat er in een serie van vijf schoten geen enkele kogel door het vest dringt, is ongeveer 0,17.
         
  a. Toon dat met een berekening aan.
         
  In elke serie is de kans dus 0,17 dat er geen enkele kogel door het vest dringt. De test bestaat uit acht series.
         
  b. Bereken de kans dat er in drie van de acht series geen enkele kogel door het vest dringt.
       

0,11

  Om verschillende typen kogelwerende vesten te vergelijken, kijkt men naar de V50. Dit is de afvuursnelheid van kogels waarbij 50% van de kogels door het vest heen dringt.
         
  c. Is een vest met een hogere V50 beter of slechter? Licht je antwoord toe.
         
  d. Een deskundige berekent dat de kans dat er van een serie van 5 schoten precies eentje door een vest gaat gelijk is aan 0,30.
Bereken in dat geval de kans dat er van een serie van 5 schoten precies 3 door het vest gaan.
       

0,19 of 0,0053

7. Examenvraagstuk VWO Wiskunde C, 2013.

In het voetbalseizoen 2008-2009 hield een grote supermarktketen een actie: bij elke besteding van 10 euro aan boodschappen kreeg je ιιn zakje met vijf voetbalplaatjes. Deze plaatjes konden in een verzamelalbum geplakt worden waarin de 18 eredivisieclubs stonden. Per club kon je 15 plaatjes inplakken. In totaal waren er dus 18•15 = 270 verschillende plaatjes. Er zijn miljoenen plaatjes gedrukt. We nemen aan dat de plaatjes willekeurig over de zakjes verdeeld werden en dat er van alle plaatjes evenveel waren.

Het is mogelijk dat er vijf plaatjes van dezelfde club in een zakje zitten (daar kunnen dan nog dubbele plaatjes bij zitten).
De kans op vijf plaatjes van dezelfde club is heel klein.

         
  a. Bereken deze kans. Rond je antwoord af op zeven decimalen.
         
  Karin, die niet van voetballen houdt, heeft 12 plaatjes waaronder 3 van PSV. Peter en Maarten krijgen ze. Peter mag blindelings 6 plaatjes trekken uit de 12; de 6 die overblijven zijn voor Maarten.
       

0,0000095

  b. Bereken de kans dat Peter alle drie de plaatjes van PSV trekt.
       

0,0909

         
8. Als je twee dobbelstenen hebt dan kun je het spelletje HOOG-LAAG spelen.
Je moet vooraf gokken of het resultaat van de worp met de twee stenen HOOG (9, 10, 11, 12) zal zijn of LAAG (2, 3, 4, 5). Ertussenin mag je niet zeggen.  De kans op HOOG is ongeveer  0,28, en op LAAG ook.
         
  a. Bereken deze kans exact.    
       

5/18

  Iemand speelt 4 keer.    
         
  b. Bereken de kans dat hij precies twee keer goed gokt.
       

0,2414

       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)