© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Vergelijkingen met sinus en cosinus.
Meestal krijg je bij vergelijkingen een ingewikkelde uitdrukking met hier en daar x-en en getallen en bewerkingen en altijd ergens het = teken.
Het doel is dan om ervan te maken  x = ....
Met de balansmethode halen we dingen bij de x weg door gewoon het omgekeerde te doen.
Dat werkte bijvoorbeeld zó:
Los op:  2x + 4 = 8
stap 1: ik wil +4 daar weg hebben, dan doe ik beide kanten  -4, dus   2x + 4 - 4 = 8 - 4  ⇒  2x = 4
stap 2:  ik wil •2 daar weg hebben, dan doe ik beide kanten  ÷2, dus   2x÷2 = 4÷2  ⇒  x = 2.  KLAAR.
Het kwam er op neer dat je van bewerkingen die je weg wilt hebben gewoon het omgekeerde toepast. Voor "PLUS" doe je "MIN" en voor "KEER" doe je "GEDEELD DOOR" en andersom. Die bewerkingen die elkaar opheffen heten elkaars  inverse
   
Ook voor sinx bestaat zo'n inverse en die heet arcsinx. Hij zit op de rekenmachine onder de knop  SIN-1  (dus  SHIFT - SIN)Die knop kan dus de bewerking sinx  voor ons weghalen uit vergelijkingen: 

sinx = a     x = sin-1(a) 

 
Bijvoorbeeld:
Los op:  8sinx - 4 = 1
stap 1:  ik wil -4 daar weg hebben, dan doe ik beide kanten +4, dus  8sinx - 4 + 4 = 1 + 4 ⇒  8sinx = 5
stap 2:  ik wil •8 daar weg hebben, dan doe ik beide kanten ÷8, dus  (8sinx)÷8 = 5÷8  ⇒  sinx = 0,625
stap 3:  ik wil "sin"  daar weg hebben, dan doe ik beide kanten  sin-1, dus sin-1(sinx) = sin-1(0,625)
links komt er dan x uit omdat sin en sin-1 elkaar opheffen
dat geeft   x = sin-10,625 en dat laatste is gelijk aan ongeveer 0,675
conclusie:  x = 0,675.
Helaas, zo simpel is het niet. Er zijn complicaties met die arcsinx.
Dat kun je wel zien aan de grafiek. Bij de laatste stap vonden we  sinx = 0,625 met als oplossing  x = 0,675.
In de grafiek betekent sinx = 0,625 dat je de grafiek van y = sinx moet snijden met de grafiek van y = 0,625:

Inderdaad is x = 0,675 een oplossing zoals je ziet. Maar waarschijnlijk zie je ook al het probleem:
Er zijn veel méér oplossingen!
Die sin-1 knop geeft ons maar één van de oneindig vele oplossingen.
Dat heeft twee redenen:

1.  De sinusgrafiek is periodiek.

De periode is 2p, dus als je een oplossing hebt, dan vind je 2π verderop wéér een oplossing en steeds 2π verder wéér eentje, maar ook 2π naar links toe vind je steeds meer oplossingen.
Dat geven we in onze vergelijking aan met  + k • 2π en daarmee bedoelen we dus eigenlijk:
+ k • 2π  :   "Je mag er best een geheel aantal keer 2π bij optellen of van aftrekken"

(er staat wel +  maar als we k negatief nemen, dan vinden we natuurlijk de oplossingen aan de linkerkant).
De oplossing is dus voorlopig:  sinx = 0,625  ⇒  x = 0,675 + k • 2π
Dat is mooi, dan hebben nu al een heleboel oplossingen voor onze vergelijking sinx = 0,625:

2.  Binnen één periode zijn er twee oplossingen.
De situatie hierboven geeft al een heleboel oplossingen, maar nog steeds niet ALLE! Dat komt omdat er binnen één periode ook al twee oplossingen zijn, en die tweede oplossing vinden we niet door k • 2π te doen.

Hoe het wel kan zie je hiernaast. Het blauwe punt geeft de tweede oplossing binnen deze ene periode.  Door de symmetrie van de sinusgrafiek weet je dat beide groene lijnstukjes even lang zijn, en die lengte weet je: 0,675.
Maar dan moet de tweede oplossing zitten bij  x = π - 0,675 (de plaats van de blauwe vraagtekens).

sinx = p  heeft  een tweede oplossing, en die is  π - eerste
En natuurlijk moet je ook met deze tweede oplossing k • 2π doen, omdat die tweede oplossingen zich ook om de 2π herhalen:

samengevat:
sinx = p  ⇒  x = sin-1 p + k • 2π       x = π - sin-1p + k • 2π

PAS OP TWEE DINGEN:

Denk erom dat je dit hele "gedoe" met die tweede oplossing en dat  k • 2π  toepast zodra je sin-1 gebruikt, dus zodra "sin" uit je vergelijkingen verdwijnt. Niet eerder en niet later!!!!

Als je later een vergelijking waarin staat k • 2p ergens door gaat delen of ergens mee gaat vermenigvuldigen, dan moet je die k • 2π óók delen of vermenigvuldigen.
Hoogste tijd voor een voorbeeldje:
Los op in [0, 2π]:    8sin3(x - 1/4π) - 3 = 1
Oplossing:
  8sin3(x - 1/4π) - 3 = 1
⇒  8sin3(x - 1/4π) = 4
⇒  sin3(x - 1/4π) = 1/2
  3(x - 1/4π) = 1/6π + k • 2π     3(x - 1/4π) = π - 1/6π + k • 2π
⇒   x - 1/4π = 1/18π + k 2/3π    ∨    x - 1/4π = 5/18π + k 2/3π
   x = 11/36π + k 2/3π  ∨  x = 19/36π + k 2/3π
Tussen 0 en 2π  geeft dat de volgende zes oplossingen:
x = 11/36π ∨  x = 35/36π  ∨   x = 59/36π  ∨  x = 19/36π  ∨  x = 43/46π  ∨  x = 67/36π
De rode stap is de moeilijkste. Daar gaat het het vaakst fout.
In de stap daaronder (de vijfde regel) is k • 2π óók door 3 gedeeld.
1. Los algebraïsch op  (neem x uit  [0,2p]). Rond je antwoorden indien nodig af op twee decimalen:
             
a. 2sin(x + 1/6π) =  1

{0, 2/3π}

d. 2 - sin(3x) = 1,8

{0.07, 0.98, 2.16, 3.07, 4.26, 5.17}

b. 3 - 4sin(2x) = 2 

{0.13, 1.44, 3.27, 4.58}

e. 1 + sin(x + 1/2π) = 1,5  

{1/2π,12/3π}

c. 3 - sinx = 5 - 2sinx

geen opl.

f. 6 - 2 • sin(2x - π) = 5

{7/12π, 11/12π, 19/12π, 23/12π }

2.
Wisselspanning die op onze stopcontacten staat bestaat uit een sinusoïde met amplitude 220 (Volt).
De frequentie is 50 Hz, dat wil zeggen dat er 50 sinusoïden per seconde plaatsvinden.
de formule voor de spanning als functie van de tijd kan gegeven worden door  V(t) = 220sin(314t)
     
a. Leg duidelijk uit waar die factor 314 in deze formule vandaan komt.
     
b. Bereken algebraïsch hoeveel procent van de tijd de spanning méér dan 100V is.
         

35%

Hoe gaat het met cosinus?
Nou, gelukkig bijna hetzelfde als met sinus. Ook hier vinden we twee series oplossingen die steeds k • 2π van elkaar verschillen. Er is slechts één verschil, en dat zie je in de grafiek van cosx hiernaast.

cos-1(0,625) geeft als eerste oplossing ongeveer  x = 0,896
Uit de symmetrie van de cosinusgrafiek zie je dat de tweede oplossing (die blauwe vraagtekens) nu gelijk is aan  2π - 0,896 dus  "2π min de eerste".

cosx = p  ⇒  x = cos-1 p + k • 2π       x = 2π - cos-1p + k • 2π

3. De drie wieken van een windmolen zitten vast in hun draaipunt op een hoogte van 25 meter boven de grond. Elke wiek is 10 meter lang, en de wieken maken hoeken van 120º met elkaar.
Op tijdstip t = 0 staat één wiek recht omhoog.
De wieken maken op dit moment 80 omwentelingen per minuut, en draaien op het plaatje tegen de klok in.

De hoogte van het uiteinde van deze wiek kun je het makkelijkst beschrijven met een cosinusfunctie

     
a. Geef een vergelijking voor de hoogte (in meter) van het uiteinde van deze wiek als functie van de tijd t (in seconden).
     
b. Geef op algebraïsche wijze vier tijdstippen waarop het uiteinde van deze wiek zich bevindt op 20 meter hoogte.
   

0.25, 0.5, 1, 1.25

c. Geef vergelijkingen voor de uiteinden van de andere twee wieken als functie van de tijd.
4. Twee tandwielen zijn opgesteld als in de tekening hiernaast. Het kleinste wiel (15 tanden) heeft het middelpunt in de oorsprong en wordt aangedreven zodat het ronddraait met 20 omwentelingen per minuut.
Het grootste wiel (30 tanden) zit met het middelpunt vast in punt (4,0) en gaat meedraaien.
Op tijdstip t = 0 is de situatie als hiernaast.
Punt P is een punt op de rand van het kleinste wiel, en punt Q een punt op de rand van het grootste wiel.

     
a. Geef een formule voor de x-coördinaat van punt P als functie van de tijd t (in seconden).
   
Voor de x-coördinaat van punt Q blijkt te gelden:  xQ = 4 + 3cos(11/3πt).
     
b. Leg duidelijk uit waar deze formule vandaan komt.
     
c. Bereken algebraïsch wanneer de x-coördinaat van Q gelijk is aan 2,5
   

0.5 + k • 1.5
1 + k • 1.5

d. Geef een formule voor de y-coördinaat van punt Q en bereken daarmee algebraïsch wanneer die y-coördinaat gelijk is aan 2.
       

0,17 + k • 1,5
0,58 + k • 1,5

5. Er schijnen bepaalde cycli te zijn die bekend staan als ons "bioritme". Het zijn een soort "inwendige klokken" in ons lichaam. Men onderscheidt een Emotionele toestand, een Fysieke toestand en een Intellectuele toestand. Deze cycli beginnen op de dag van je geboorte vanuit hun evenwichtsstand te stijgen, en volgen vanaf dat moment een sinusoïde.
Laten we de evenwichtsstand 50% nemen, en de maxima en minima 0% en 100%.
De periode is voor de drie cycli verschillend: Emotioneel heeft periode 28 dagen, Fysiek heeft periode 23 dagen en Intellectueel heeft periode 33 dagen.
Er geldt:

E(t) = 50 + 50sin(0,2244t)
F(t) = 50 + 50sin(0,2732t)
I(t)  = 50 + 50sin(0,1904t)

Daarin is t de tijd in dagen, met t = 0 op je geboortedag.
Hier kun je je bioritmen laten bepalen:  http://www.starmanproductions.nl/bioritme/bioritme.html
a. Bereken algebraïsch voor welke t je Intellectuele cyclus gelijk is aan 10%
   

t = 18 + k 33
t =
24 + k • 33

b. Bereken algebraïsch op hoeveel dagen gedurende je eerste levensjaar je Emotionele cyclus hoger dan 80% is.
   

88 á  89

   
6. Gegeven is op interval  [0, 2π]  de functie  f(x) = 1 - 5cos2x  waarvan je de grafiek hiernaast ziet.

De lijn y = a snijdt de grafiek van f in de punten A en B zodat de oppervlakte van driehoek OAB gelijk is aan 1/6 πa

Voor welke waarden van a is dat zo?
     
7. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2016-II.
     
  In de Waddenzee varieert de waterhoogte in de loop van de tijd. Eb en vloed wisselen elkaar voortdurend af in een getijdencyclus met een periode van ongeveer 745 minuten. De waterhoogte in het oostelijke deel van de Waddenzee kan worden benaderd met de formule:  h = 125 • cos(t/745)

Hierbij is h de waterhoogte in cm ten opzichte van NAP (Normaal Amsterdams Peil) en is t de tijd in minuten. Tijdstip t = 0 komt overeen met een moment waarop h = 125 .

In het oostelijk deel van de Waddenzee liggen verschillende zandbanken die gedurende een deel van een getijdencyclus droog komen te liggen.
De droogligtijd D is het aantal minuten per getijdencyclus dat een zandbank niet geheel onder water ligt. De droogligtijd hangt af van de hoogte van de zandbank: de hoogte van het hoogste punt van de zandbank ten opzichte van NAP.

In het oostelijk deel van de Waddenzee bevindt zich een zandbank met een hoogte van 40 cm boven NAP.
In onderstaande figuur is de grafiek van de waterhoogte h getekend. Tevens is de hoogte van deze zandbank weergegeven. Gedurende één periode zijn er twee tijdstippen waarop de waterhoogte h gelijk is aan de hoogte van de zandbank. We noemen deze tijdstippen t1 en t2 . Het verschil tussen t2 en t1 is de droogligtijd D.

     
 

     
  a. Bereken algebraïsch de droogligtijd D van deze zandbank. Rond je antwoord af op een geheel aantal minuten.
     
 

Op drooggevallen zandbanken kunnen waddenvogels voedsel vinden. Daarom willen natuuronderzoekers het verband weten tussen de hoogte van de zandbanken en de tijd dat ze droog liggen.

Met z duiden we de hoogte in cm van de zandbank aan, ten opzichte van NAP. Er geldt dan:
z =  125 • cos(π - π • D/745)

     
  b. Bewijs dit.
     
8. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2017-I
     
  De functie g is gegeven door:
 

   
  De lijn m is gegeven door y = 1/4.
Op het interval [-2π, 2π]
snijdt m de grafiek van g achtereenvolgens in de punten B, C, D en E. Zie de volgende figuur.
   
 

   
  Bereken exact de afstand tussen  B en  E
 

22/3π

   
   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)