© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. 2sin(x + 1/6π) =  1
sin(x + 1/6π) = 0,5
x + 1/6π = 1/6π + k2π  ∨  x + 1/6π = π - 1/6π + k2π
x = 0 + k2π  ∨   x = 4/6π + k2π
In [0, 2p] zijn de oplossingen  {0, 2/3π, 2π}
       
  b. 3 - 4sin(2x) = 2 
-4sin(2x) = -1
sin(2x) = 0,25
2x = 0,25 + k2π    2x = π - 0,25 + k2π
x =
0,13 + kπ   x = 1,44 + kπ
In [0, 2π] zijn de oplossingen  {0.13, 1.44, 3.27, 4.58}
       
  c. 3 - sinx = 5 - 2sinx
-
sinx + 2sinx = 5 - 3
sinx = 2
Geen oplossing
       
  d. 2 - sin(3x) = 1,8
sin(3x) = 0,2
3x = 0,20 + k2π  ∨  3x = π - 0,20 + k2π
x = 0,07 + k2/3π ∨   x = 0,98 + k2/3π
In [0, 2π] zijn de oplossingen  {0.07, 0.98, 2.16, 3.07, 4.26, 5.17}
       
  e. 1 + sin(x + 1/2π) = 1,5
sin(x + 1/2π) = 0,5
x + 1/2π = 1/6π + k2π     x + 1/2π = π - 1/6π + k
x = -
2/6π + k2π    x = 2/6π + k
In [0, 2π] zijn de oplossingen  {1/3π, 12/3π}
       
  f. 6 - 2 • sin(2x - π) = 5
2 • sin(2x - π) = 1
sin(2x - π) = 0,5
2x - π = 1/6π + k2π  ∨  2x - π = π - 1/6π + k2π
2x = 11/6π + k2π  ∨   2x = 15/6π + k2π
x = 7/12π + kπ   x = 11/12π + kπ
In [0, 2π] zijn de oplossingen  {7/12π, 11/12π, 17/12π, 111/12π}
       
2. a. 50 periodes per seconde betekent dat één periode 1/50 = 0,02 seconde duurt.
Dan staat in de formule 2π/0,02 = 314.
       
  b. 100 =  220sin(314t)
0,4545 = sin(314t)
314t = 0,472 + k2π    314t = π - 0,472 + k2π
t
= 0,0015 + 0,02       t = 0,0085 + k • 0,02
Daartussen ligt  0,0085 - 0,0015 = 0,0070 seconden van een volledige periode van 0,02 seconde.
Dat is 0,0070/0,02 • 100% = 35% 
       
3. a. Evenwichtslijn  h = 25
Amplitude 10
Periode:  1/80 minuut = 0,0125 dus in de formule staat 2π/0,0125 = 502,65
Beginpunt is in een maximum, dus de formule is  h(t) = 25 + 10 • cos(502,65t)
       
  b. 20 = 25 + 10 • cos(502,65t)
-5 = 10 • cos(502,65t)
-0,5 = cos(502,65t)
502,65t = 2,09 + k2π  ∨  502,65t = - 2,09 + k2π
t = 0,0042 + k • 0,0125   t = 0,0083 + k • 0,0125  
       
  c. amplitude, periode en evenwichtslijn zijn hetzelfde als voor de eerste wiek.

De wiek rechtsonder is pas in de top na 1/3 periode, en dat is 0,0125 • 1/3 = 0,00417 seconden.
De formule is daarom   h(t) = 25 + 10 • cos(502,65(t - 0,00417))

De wiek linksonder is pas in de top na 2/3 periode, en dat is 0,0125 • 2/3 = 0,00833seconden.
De formule is daarom   h(t) = 25 + 10 • cos(502,65(t - 0,00833))
       
4. a. Evenwichtslijn is  x = 0
Amplitude is 1,2
Periode is 1/20 minuut is 3 seconden. Dus in de formule staat 2π/3
Beginpunt is in het minimum, dus we maken er een gespiegelde cosinus van.
x(t) = -1,2 • cos(2πt/3)
       
  b. xQ = 4 + 3cos(1/3πt).
Evenwichtslijn x = 4
Amplitude 3
periode:  in 3 seconden komen 15 tanden voorbij (wiel 1) dus 30 tanden duurt 6 seconden.
In de formule staat daarom 2π/6 = 1/3π
Beginpunt is in het maximum, dus een cosinusfunctie
       
  c. 4 + 3cos(1/3πt) = 2,5
3cos(1/3πt) = -1,5
cos(1/3πt) = -0,5
1/3πt = 1/3π + k2π  ∨  1/3πt = - 1/3π + k2π
t = 1 + k • 6   ∨    t =  5 + k • 6
       
  d. Evenwichtslijn is y = 0
Amplitude is 3
Periode is 6 seconden, dus in de formule staat daarom 2π/6 = 1/3π
Beginpunt in 0 en gaat omhoog, dus we nemen een gewone sinus
y = 3sin(
1/3πt)

2 = 3sin(
1/3πt)
sin(
1/3πt) = 2/3
1/3πt = 0,73 + k2π    1/3πt = π - 0,73 + k2π
t = 0,70 + k • 6   ∨   t = 2,30 + k • 6
       
5. a. 50 + 50sin(0,1904t) = 10
50sin(0,1904t) = -40
sin(0,1904t) = -0,8
0,1904t =  -0,93 + k2π   ∨    0,1904t = π - - 0,93 + k2π
t = -4,87 + k • 33   ∨    t = 21,37 + k • 33
       
  b. 50 + 50sin(0,2244t) = 80
50sin(0,2244t) = 30
sin(0,2244t) = 0,6
0,2244t = 0,644 + k2π ∨  0,2244t = π - 0,644 + k2π
t = 2,87 + k • 28   ∨    t = 11,13 + k • 28
Hoger dan 80% is tijdens de eerste periode op de dagen t =  3, 4, 5, 6, ..., 11 en dat zijn er 9
Een periode duurt 28 dagen dus in een jaar zijn er 365/28 =13 periodes.
Dan zal E  13 • 9 = 117 dagen hoger dan 80% zijn.
       
6. De oppervlakte van de driehoek is  1/2 • basis • hoogte = 1/2 • basis • a
Als dat gelijk is aan 1/6πa  dan moet gelden  basis = 1/3π
Er zijn drie mogelijkheden:
       
 

       
  Mogelijkheden 1 en 2 staan in de linkerfiguur. Omdat de grafiek symmetrisch is in de lijnen x = 1/2π en x = 3/2π geeft dat de mogelijkheden:
       
  1. xA = 1/2π - 1/6π = 1/3π   en  xB = 1/2π + 1/6π = 2/3π
in dat geval is  a = 1 - 5cos2 (1/6π) = 1 - 5 • 1/4 = -1/4
       
  2. xA = 3/2π - 1/6π = 4/3π  en  xB = 3/2π + 1/6π = 5/3π
in dat geval is  a = 1 - 5cos2 (4/3π) = -1/4
       
  Mogelijkheid 3 staat in de rechterfiguur. Omdat de grafiek symmetrisch is in x = π  geeft dat:
       
  3. xA = π - 1/6π = 5/6π  en xB = π + 1/6π = 7/6π
in dat geval is  a = 1 - 5cos2(5/6π) = 1 - 5 • 3/4 = -21/4
       
7. a. 125cos(2π/745 • t) = 40
cos(2π/745 • t) = 0,32
2π/745 • t = 1,245  + k2π   ∨  2π/745 •= -1,245 + k2π
t = 147,62 + k • 745  ∨   t = 597,38 + k • 745
Daartussen ligt  D = 450 minuten
       
  b. z = h(t1) = 125 • cos(2π/745 • t1)
Als de droogligtijd D is, dan blijft er van de periode van 745 minuten nog  (745 - D) minuten over waarin het water hoger staat dan de zandbank.
Uit de symmetrie van de grafiek volgt dat dat er aan beide zijden een stuk van 0,5(745 - D) zit, en dat is gelijk aan t1.
t1 = 0,5(745 - D) invullen in de z-formule:
z = 125 • cos(2π/745 • (0,5 • (745 - D))
z = 125 • cos(π/745 • (745 - D))
z = 125 • cos(π - π/745 • D)
       
8. 1/(2sinx + 3) = 1/4
2sinx + 3 = 4
2sinx = 1
sinx = 1/2
x = 1/6π + k2π  ∨  x = 5/6π + k2π
xB = 1/6π - 2π = -15/6π
xE = 5/6π
De afstand is dan  15/6π + 5/6π = 22/3π
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)