gebroken functies


Gebroken Functies.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

verticale asymptoten

Gebroken functies zijn functies met in het functievoorschrift een breuk waarvan de noemer voor sommige x-waarden nul kan worden. Bij verticale asymptoten zagen we al dat de y dan niet bestaat, dus de grafiek zal daar een breuk vertonen.
Vandaar de naam gebroken functie.

De meest eenvoudige vorm van een gebroken functie is:

De grafiek van deze functie zal dus een verticale asymptoot hebben bij x = c.

Verder heeft deze grafiek ook een horizontale asymptoot: door voor x een erg groot getal te nemen wordt de breuk gelijk aan nul en blijft er over y = a. De horizontale asymptoot zal daarom de lijn y = a zijn.

De constante b kun je niet zo makkelijk in een grafiek herkennen. Die bepaalt namelijk hoe steil (hoe "krom") de grafiek nou precies loopt. b kun je het best bepalen door gewoon een punt uit de grafiek in te vullen in de formule.

Met een minteken.

Als die a of die c een negatief getal is, dan betekent dat gewoon dat de asymptoot ligt bij x = -c of bij y = -a dat had je waarschijnlijk zelf ook wel verzonnen. Let nog wel even op dat als c negatief is, die min wegvalt tegen de min die al in de formule staat. Bijvoorbeeld bij c = -3 wordt de formule y = a + ^b/_{(x
- - 3)} en dat schrijf je natuurlijk als y = a + ^b/_{(x + 3)}Maar als b negatief is.....??
Dan staat er bijvoorbeeld y = a + ^-3/_{(x - c)} en dat is hetzelfde als y = a - ³/_{(x - c)}
In dat geval is de grafiek "omgeklapt".

Als je preciezer wilt weten hoe dat allemaal zit en waardoor dat allemaal komt, dan moet je de lessen C6abcd van deze lessenserie bestuderen.

1. Schets de grafieken van de volgende functies. Doe dat zonder je rekenmachine te gebruiken.

y = 3 - ⁶/_{(x + 1)}

f(x) = 4 + ⁵/_x

y = ⁸/_{(x + 3)} + 7

y = -3 - ⁵/_{(x
- 4)}

f(x) = ^-2/_{(x
- 1)}

f(x) = ²/_{(6
-
x)} + 3

2. Geef mogelijke formules die horen bij de volgende zes grafieken:

Leerlingen die in een klas dicht bij elkaar zitten, kletsen in de regel meer met elkaar dan leerlingen die verder uit elkaar zitten. Voor de gemiddelde gespreksduur G (in minuten) per lesuur blijkt te gelden: G = ³²/_s - 4
Daarin is s de afstand tussen de leerlingen (in meter).

Voor welke s is dit een zinvolle formule als een lesuur 60 minuten duurt?

0,5 < s < 8

Grietje en Ellen kletsen nu gemiddeld 4 minuten per les met elkaar. Maar ze besluiten om 2 meter dichter bij elkaar te gaan zitten. Hoeveel minuten zullen ze daarna gemiddeld per les met elkaar kletsen?

ANDERE VORMEN.

Natuurlijk kunnen breuken op allerlei andere manieren in vergelijkingen voorkomen. Maar elke keer als er door nul wordt gedeeld is er "iets aan de hand". Hier zijn een paar voorbeelden van andere breuken en de manier om ze te "onderzoeken".

*voorbeeld 1.*

Wanneer wordt er door nul gedeeld? Als x = 2 dus daar zal een verticale asymptoot zitten. Vul voor x een heel groot (positief of negatief) getal in en je ziet dat er uitkomt y = 3. Dus dat zal een horizontale asymptoot zijn. Dat geeft een grafiek ongeveer als hiernaast.

*voorbeeld 2.*

Als je de noemer schrijft als (x - 2)(x - 3) zie je dat die nul wordt voor x = 2 en x = 3. Er zullen daarom TWEE verticale asymptoten zijn! Vul voor x een erg groot (positief of negatief) getal in en je vindt een horizontale asymptoot y = 0. De grafiek zal dus zowel links als rechts naar de x-as lopen.

*voorbeeld 3.*

Een vreemd geval. In ieder geval zal er bij x = 0 een verticale asymptoot zitten want dan wordt er door nul gedeeld en wordt ¹/_x heel groot, dus 2^1/xook. Maar als x negatief is en vlak bij nul (bijvoorbeeld x = -0,01) dan wordt ¹/_x een heel groot negatief getal. maar dan gaat 2^1/xjuist naar nul toe!!!! De grafiek loopt aan de linkerkant naar nul, en loopt aan de rechterkant naar de asymptoot! WAUW!!

*voorbeeld 4.*

Deze grafiek zal een asymptoot hebben bij x = 2. Maar als x < 2 dan bestaat de grafiek niet, want dan staat er de wortel uit een negatief getal. De grafiek zal daarom alleen aan de rechterkant van de asymptoot x = 2 bestaan.

4. Onderzoek het gedrag van de volgende functies.

a. Geef een formule voor een functie met verticale asymptoot x = 3 en die niet bestaat voor x < 3

b. Geef een formule voor een functie die een verticale asymptoot heeft bij x = 2 en overal positief is.

c. Geef een formule van een functie met een verticale asymptoot y = -2 en een horizontale x = 3.

(Examenvraagstuk)

Treinreizigers die op het station te U. uitstappen kunnen de uitgang van het station alleen bereiken via een voetgangerstunnel. De tunnel is 30 meter lang en 3 meter breed. De snelheid van de voetgangersstroom in de tunnel is afhankelijk van de drukte. Een maat voor de drukte is het gemiddeld aantal m² per voetganger.
Deze maat noemen we de module.
Op een zeker moment bevinden zich 120 mensen in de tunnel die allen in de richting van de uitgang lopen.

Bereken voor deze situatie de module

0,75

Het verband tussen de snelheid van de voetgangersstroom (V) en de module (M) wordt gegeven door de formule:

V in meters per minuut en M in m² per voetganger.
De grafiek die bij deze formule hoort staat hieronder.

Bereken de module bij een snelheid van 50 m/min. Geef je antwoord in 2 decimalen nauwkeurig.

0,65

Als een voetganger ongehinderd kan lopen is zijn snelheid ongeveer 5 km/uur. Onderzoek of dat in overeenstemming is met de formule.

Er bestaat een verband tussen de waarde van M en het aantal voetgangers dat per minuut de tunnel verlaat (= N). Het verband tussen M en N staat grafisch weergegeven in de volgende figuur:

Schat met deze twee grafieken zo nauwkeurig mogelijk hoeveel mensen er per minuut de tunnel verlaten als de snelheid van de voetgangersstroom 70 m/min is.

ongeveer 120

Leid een formule af voor het aantal voetgangers per minuut als functie van M en bepaal daarmee bij welke snelheid het aantal voetgangers dat de tunnel verlaat maximaal is.

41,6 ^m/_min

Bij courante infecties (neus-keelholteontsteking, oorontsteking, bronchitis, angina e.d.) krijgen jonge kinderen snel koorts. Om de koorts te verminderen is paracetamol het meest gebruikte en ook het veiligste middel.
Verder komen ook de middelen ibuprofen en ketoprofen in aanmerking.
Na toedienen van zo'n middel neemt de koorts af.
De volgende formule blijkt te gelden:

T is de lichaamstemperatuur in ºC en t de tijd in uren met t = 0 op het moment van toedienen.

Hoe lang duurt het voordat de temperatuur 2ºC is gedaald?

6 uur

Hoe hoog zal de temperatuur uiteindelijk worden?

37ºC

Bereken algebraïsch na hoeveel tijd de temperatuur gelijk is aan 37,6 ºC.

12 uur

Het aantal mieren in een mierenheuvel groeit zeer snel. Voor het aantal mieren op tijdstip t geldt:

N is het aantal mieren, t de tijd in maanden.

Bereken hoeveel mieren er de zesde maand bijkomen.

429

Bereken algebraïsch na hoeveel maanden er 16000 mieren zullen zijn.

Hoeveel mieren zullen er uiteindelijk zijn?

18000

In een bioscoop merkt men dat er meer drankjes worden gekocht als de temperatuur omhoog gaat.
Het percentage bioscoopbezoekers (P) dat een drankje koopt hangt af van de temperatuur (T) volgens de formule:

Leg uit waarom deze formule alleen geldt voor T ≥ 15

Laat zien dat bij stijgende temperatuur het aantal consumptiegebruikers inderdaad toeneemt.

Bij welke temperatuur gebruikt de helft van de mensen een consumptie? Geef een algebraïsche berekening.

21,2

Uiteraard brengt en hogere temperatuur ook extra kosten met zich mee.
Die kosten worden gegeven door K = 1 + 3 • (T - 15).
De winst op een verkochte consumptie is €0,50, en de gemiddelde bezetting op een avond is 160 mensen.

Geef een formule voor de winst W als functie van de temperatuur T. Bereken vervolgens de maximale winst.

20,98

10.

Een goede thermosfles kan vloeistof erg lang op dezelfde temperatuur houden.
Voor een bepaald type fles geldt het model:

Daarin is T de temperatuur (in °C) en t de tijd in uren met t = 0 op het moment van sluiten van de fles. a en b zijn constanten die afhangen van de omgevingstemperatuur en de begintemperatuur van de vloeistof.

Bereken a en b als de vloeistof begintemperatuur 80°C heeft, en als de kamertemperatuur 22°C is.

22 en 10

Neem a = 20.

Voor welke b zal de temperatuur van de vloeistof na 6 uur gelijk zijn aan 50°C?

12,4

Voor welke b is deze formule te schrijven als T(t) = 20 + ⁵²⁰/_{(t
+ b)} ?

b = 14

Neem b = 10, en a = 20.

Bereken algebraïsch hoe lang de vloeistof in dat geval warmer dan 40°C zal zijn

20 uur

Hieronder zie je een grafiekenbundel voor allerlei verschillende a en b waarden

Bereken bij één van die grafieken de bijbehorende waarden voor a en b