Verticale Asymptoten.

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Een verticale asymptoot van een grafiek is een verticale rechte lijn waar die grafiek langs gaat lopen.
Hieronder zie je een aantal mogelijkheden. De verticale asymptoot is steeds de gestippelde rode lijn. Zoals je ziet heeft de laatste grafiek zelfs twee verticale asymptoten.

WAAR KOMEN WE DIE DINGEN TEGEN?

Er zijn een paar speciale gevallen, die we later zullen bestuderen bij logaritmen en tangens, maar de meest voorkomende plaats waar verticale asymptoten opduiken is als we delen door NUL.

en DAT MAG NIET!

Voor de x-waarden waarbij er door nul wordt gedeeld is er dus geen uitkomst, dus ook geen bijbehorende y-waarde. Dat betekent dat de grafiek bij die x-waarde niet kan bestaan.

WAAROM KUN JE NIET DOOR NUL DELEN?
Dat zit hem eigenlijk in de definitie van "delen".
Kijk, wij leerden op de basisschool  dat  6 : 2 = 3  omdat  3 2 = 6
Proberen we op precies dezelfde manier  4 : 0 = ?  dan moet er gelden  ? 0 = 4.  
En dat kan niet, want iets keer 0 is altijd 0. Daarom kan er uit 4 : 0 geen antwoord komen.
Je bent eigenlijk aan het proberen hoe vaak 0 in de 4 past, en dat is oneindig vaak.
WAT GEBEURT ER MET DE GRAFIEK OP DIE PLAATSEN?
Dat kunnen we onderzoeken door er vlak in de buurt te kijken. Laten we bijvoorbeeld kijken wat er gebeurt met de grafiek van y = 1/x vlak in de buurt van x = 0.
x -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0000....1 0 0,0000...1 0,001 0,01 0,1 1
y -1 -10 -100 -1000 -10000... 10000... 1000 100 10 1
Vlak bij x = 0 in de buurt worden de y-waarden heel erg groot (positief of negatief). De grafiek schiet omhoog of omlaag en gaat inderdaad langs een verticale lijn (de asymptoot) lopen.
PAS OP:  Je grafische rekenmachine tekent meestal de verticale asymptoot k. Bedenk goed dat die eigenlijk geen deel van de grafiek is!!!!!
Hiernaast staat de grafiek van y = 1/(x - 2) geplot op de TI-83. 
De verticale lijn bij x = 2 hoort dus NIET bij de grafiek.
   
  OPGAVEN
1 Geef de horizontale en verticale asymptoten van de grafieken van de volgende functies:
a. e.
   

y = -4 en x = 5

 

x = 0

b. f.
   

y = 0,4  en x = 0,4 

 

y = 8

c. g.
   

x = 1  en  y = 0

 

x = 4

d. h.
   

y = -1,5  en  x = 3

 

y = -4  en  x = -2 en x = -3

2. Gegeven zijn de functies fa(x) door: 

   
Druk de vergelijkingen van de asymptoten van de grafieken van deze functies uit in a
   

y = -2/a  en  x = 8/a 

3. a. Geef een mogelijke vergelijking van een functie met horizontale asymptoot  y = 4 en verticale asymptoot x = 5
     
b. Geef een mogelijke vergelijking van een functie met horizontale asymptoot y = -2 en verticale asymptoten x = 2 en x = -3
4. Op een middelbare school zullen verkiezingen worden gehouden voor het voorzitterschap van de leerlingenvereniging. Het is een gewilde functie dus er zijn veel kandidaten. Janet is n van de kandidaten en zij besluit om zichzelf te gaan promoten door flyers te gaan uitdelen onder de scholieren met daarop haar actiepunten.
Zij ontdekt dat het benodigde aantal flyers (A) om p procent van de leerlingen op haar te laten stemmen gelijk is aan:
     
a. Hoeveel procent zal op Janet gaan stemmen als ze 500 flyers laat uitdelen?
   

38%

b. Ze wil natuurlijk graag een meerderheid krijgen, en daarvoor zal minstens 50% op haar moeten gaan stemmen. Leg met deze formule uit waarom dat niet realistisch is.
     
5. Examenvraagstuk HAVO, Wiskunde B, 2014.
     
  De functie f is gegeven door:
 

   
  De grafiek van f snijdt de y-as in punt A en de x-as in punt B.
Punt S is het snijpunt van de asymptoten van de grafiek van f . Zie de figuur.
     
 

     
  Onderzoek met behulp van een berekening of A, B en S op n lijn liggen.
     
6. Examenvraagstuk VWO, Wiskunde B, 2017-I.
     
  Gegeven is de functie  f(x) = 5/(4x - 6)  

De grafiek van f wordt a eenheden naar boven verschoven. Zo ontstaat de grafiek van een functie g. De waarde van a kan zowel positief als negatief zijn.
De functie g heeft een inverse functie. De grafiek van de inverse functie van g heeft n verticale asymptoot. Ook de grafiek van g heeft een verticale asymptoot. Gegeven is, dat de afstand tussen deze twee verticale asymptoten gelijk is aan 4 .

Bereken exact de mogelijke waarden van a.
   

5,5 of -2,5

7. Examenvraagstuk VWO, Wiskunde B, 2019-II

De functie f wordt gegeven door:
 

     
  De grafiek van f heeft een horizontale asymptoot en een verticale asymptoot. In de figuur is de grafiek van f met de beide asymptoten weergegeven. De twee asymptoten snijden elkaar in het punt B.
Het punt
A is het snijpunt van de horizontale asymptoot en de y-as.
Het punt
C is het snijpunt van de horizontale asymptoot en de grafiek van f.
     
 

     
  Bewijs dat B het midden is van lijnstuk AC.
h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)