© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

1. Blauw zijn de asymptoten, rood is de grafiek:
       
 

       
  Die f  is nog een aparte:   2/(6 - x) + 3  =   2/-(x - 6) + 3   =    -2/(x - 6) + 3    =   3 - 2/(x - 6)
       
2. a. asymptoot x = 5 geeft  y = a + b/(x - 5)
asymptoot y = 1  geeft  y = 1 + b/(x - 5)
punt (6,2) invullen geeft  2 = 1 + b/(6 - 5)  ofwel   2 = 1c + b en dat geeft b = 1
Een mogelijke formule is  y = 1 + 1/(x - 5)
       
  b. asymptoot x = 1  geeft  y = a + b/(x - 1)
asymptoot y = -2  geeft  y = -2 + b/(x - 1)
punt (2, 0) invullen geeft  0 = -2 + b/(2 - 1)  ofwel  0 = -2 + b  en dat geeft b = 2
Een mogelijke formule is y = -2  + 2/(x - 1)
       
  c. asymptoot x = 4  geeft  y = a + b/(x - 4)
asymptoot y = 1 geeft  y = 1 + b/(x - 4)
de grafiek is omgeklapt, dus dat wordt  y = 1 - b/(x - 4)
punt (5, 0.5) invullen geeft  0,5 = 1 - b/(5 - 4)  ofwel  0,5 = 1 - b  en dat geeft b = 0,5  
Een mogelijke formule is  y = 1 - 0,5/(x - 4)
       
  d. asymptoot x = 3 geeft  y = a + b/(x - 3)
asymptoot y = -2  geeft y = -2 + b/(x - 3)
de grafiek is omgeklapt dus dat wordt  y = -2 - b/(x - 3)
punt (2, -1) invullen  geeft  -1 = -2 - b/(2 - 3)  ofwel  -1 = -2 - - b en dat geeft b = 1 
Een mogelijke formule is  y = -2 - 1/(x - 3)   
       
  e. asymptoot x = 1  geeft  y = a + b/(x - 1)
asymptoot y = 5  geeft  y = 5 + b/(x - 1)
punt (2, 7) invullen geeft  7 = 5 + b/(2 - 1)  ofwel  7 = 5 + b  dus b = 2
Een mogelijke formule is  y = 5 + 2/(x - 1)
 
       
  f. asymptoot x = -2  geeft  y = a + b/(x + 2)
asymptoot y = 0 geeft  y = b/(x + 2)
punt (0, 2) invullen  geeft 2 = b/(0 + 2)  ofwel 2 = b/2  dus  b = 4
Een mogelijke formule is  y = 4/(x + 2)  
 
       
3. a. G moet tussen 0 en 60 liggen

G = 0 geeft 0 = 32/s - 4
32/s = 4
s = 8

G = 60 geeft  60 = 32/s - 4
32/s = 64
s = 0,5

Dus s moet tussen  0,5 en 8 liggen.
 
       
4. a. verticale asymptoot als 2x + 5 = 0  dus als  x = -2,5

horizontale asymptoot:  vul voor x een heel groot getal in. Dat levert  y ≈ 0,5
       
  b. verticale asymptoot als x2 + 3x = 0
x(x  +3) = 0
x = 0 ∨  x = -3
er zijn dus twee verticale asymptoten.

horizontale asymptoot:  vul voor x een heel groot getal in. Dat levert y = 0
       
  c. de wortel bestaat alleen als  x - 3 ≥ 0  dus als x ≥ 3
verticale asymptoot als  √(x - 3) = 0  dus bij x = 3.  Maar alleen vanaf de rechterkant loopt de grafiek daar naar toe.

horizontale asymptoot:  vul voor x een heel groot getal in, dat levert y = 0
       
  d. verticale asymptoot als x2 - 3x - 10 = 0
(x - 5)(x + 2) = 0
x = 5  ∨  x = -2
er zijn dus twee verticale asymptoten.

horizontale asymptoot:  vul voor x een heel groot getal in, dat geeft  y = 0
       
  e. De wortel bestaat alleen als 3/(2x - 4) ≥ 0   Dat is zo als  2x - 4 > 0 dus als  x > 2
verticale asymptoot als 2x - 4 = 0  dus als x = 2. Maar alleen vanaf de rechterkant loopt de grafiek daar naar toe.

horizontale asymptoot:  vul voor x een heel groot getal in. Dat geeft y = 0
       
  .f. verticale asymptoot als x - 1 = 0  of  3x + 12 = 0  dus als  x = 1  ∨  x = -4
er zijn dus twee verticale asymptoten.

horizontale asymptoot:  vul voor x een heel groot getal in. Dat geeft  y ≈ 2 + 0 = 2
       
5. a. Als de functie niet bestaat voor x < 3 zou ik iets proberen als  y = √(x - 3)
Als er een verticale asymptoot is bij  = 3 moet er dan ook nog door nul gedeeld worden voor x = 3.
Dat kan bijvoorbeeld met  y = 1/√(x - 3)
       
  b. Met een verticale asymptoot bij x = 2 probeer je meteen iets als  y = 1/(x - 2)
Omdat het altijd positief moet zijn kun je het kwadraat ervan nemen:  y = 1/(x - 2)2
       
  c. Verticale asymptoot x = -2  geeft iets als  y = 1/(x + 2)
Dat gaat naar nul voor x oneindig groot.
Horizontale asymptoot y = 3 krijg je door y = 1/(x + 2) + 3
       
6. a. 120 mensen op 3 · 30 = 90 m2 is per persoon  90/120 = 0,75 m2  
     
  b. 50 = 87 - 26/(M + 0,05)
dat kan natuurlijk met de GR, maar algebraïsch is 't veel leuker:
-37 = -26/(M + 0,05)
-37(M + 0,05) = -26
-37M - 1,85 = -26
24,15 = 37M
M = 24,15/37 = 0,65
       
  c. Neem M een oneindig groot getal (dan kun je zeker vrij lopen)
dan wordt het stuk  26/(M + 0,05)  gelijk aan nul.
Dus wordt V = 87 m/min.
87 m/min = 87m/1 min = 0,087 km/(1/60)uur = 0,087/(1/60) km/uur = 5,22 km/uur
 
       
  d. V = 70 geeft in de eerste grafiek M = 1,5
M = 1,5 geeft in de onderste grafiek  N = 140
 
 
       
  e. Als de snelheid van de voetgangersstroom V m/min is, dan verlaat een stuk tunnel van lengte V meter per minuut de tunnel.
De oppervlakte van dat stuk is  3·V
Als de module M is, dan bevat dat stuk dus  3V/mensen, dus  N = 3V/M
Met de oorspronkelijke formule voor V geeft dat dan: 
   

    Invoeren bij Y1 in de GR en dan calc - maximum  geeft  M = 0,522 en N = 239
Dan is  239 = 3V/0,522  ofwel  V = 41,6 m/min.
       
7. a. T(0) = 120/3 = 40  ˚C
Dus als het 2 graden daalt moet gelden T = 38 ˚C
38 = (37t + 120)/(t + 3)
38(t + 3) = 37t + 120
38t + 114 = 37t + 120
t = 6.
Het duurt dus 6 uur.
       
  b. Vul voor t een heel groot getal in, bijv. 1000000
Dat geeft  T = 37,00009 dus de temperatuur zal uiteindelijk 37 ˚C worden.
       
  c. 37,6 =  (37t + 120)/(t + 3)
37,6(t + 3) = 37t + 120
37,6t + 112,8 = 37t + 120
0,6t = 7,2
t = 7,2/0,6 = 12 uur.
 
       
8. a. de zesde maand loopt van t = 5 tot t = 6
t = 5 geeft N = 18000 + 12000/(1 + 2,5) = 18000 + 3429 = 21429
t = 6 geeft  N = 18000 + 12000/(1 + 3) = 22000
Er komen dus  22000 - 21429 = 571 mieren bij.
       
  b. 16000 = 18000 - 12000/(1 + 0,5t)
-2000 = -12000/(1 + 0,5t)
-2000(1 + 0,5t) = -12000
-2000 - 1000t = -12000
10000 = 1000t
t
= 10  dus na 10 maanden
       
  c. vul voor t een heel groot getal in, bijv. 1000000
Dat geeft N = 18000 - 12000/500001 = 17999,9
uiteindelijk zullen er ongeveer 18000 mieren komen.
       
9. a. Als T kleiner dan 15 is, dan is 225/T2  groter dan 1, en dan wordt P negatief.
Dat kan niet, want P is een percentage en zal tussen 0 en 100 moeten liggen.
       
  b. Als T groter wordt, wordt T2 ook groter
Dan wordt  225/T2  kleiner
Dan wordt 1 - 225/T2  groter
Dan wordt  100(1 - 225/T2) ook groter. 
 
       
  c. De helft betekent P = 50
50 = 100(1 - 225/T2)
0,5 = 1 - 225/T2   
-0,5 = -225/T2
-0,5T2 = -225
T2 = 450
T = √450 = 21,2
 
       
  d. 160 mensen gebruiken 1,6P  consumpties, dus dat levert  0,5 · 1,6P = 0,8P euro op
de kosten zijn  1 + 3 • (T - 15)
De winst is dan   W = 0,8P - (1 + 3(T - 15)) en met de formule voor P levert dat:
W  = 0,8 · 100(1 - 225/T2) - (1 + 3(T - 15))
Zet deze formule in Y1 van de GR
calc - maximum levert T = 22,9 ˚C en W = 20,98
       
10. a. begintemperatuur:  t = 0 geeft  T = 800/b = 80  dus  b = 10
eindtemperatuur:  neem voor t een heel groot getal, dan moet er 22 uitkomen.
Als t heel groot is, dan is  at + 800 ongeveer gelijk aan at
Als t heel groot is, dan is t + 10 ongeveer gelijk aan t
Dan staat er T = at/t = a = 22
       
  b. T = 50 en t = 6 en  a = 20  geeft   50 = (20 · 6 + 800)/(6 + b)
50 = 920/(6 + b)
50(6 + b) = 920
300 + 50b = 920
50b = 620
b = 12,4
 
       
  c.  20 + 520/(t + b)
= 20(t + b)/(t + b) + 520/(t + b)
= (20t + 20b + 520)/(t + b)
dan moet gelden  20t + 20b + 520 = 20t + 800
20b + 520 = 800
20b = 280
b = 14 
 
       
  d. 40 = (20t + 800)/(t + 10)
40(t + 10) = 20t + 800
40t + 400 = 20t + 800
20t = 400
t = 20
de vloeistof is warmer voor 0 < t < 20
 
       
  e. Kies twee punten van een grafiek, bijvoorbeeld van de rode grafiek (4, 60) en (8, 50)
invullen:   60 = (4a + 800)/(4 + b)   en  50 = (8a + 800)/(8 + b)

60 = (4a + 800)/(4 + b)
60(4 + b) = 4a + 800
240 + 60b = 4a + 800

50 = (8a + 800)/(8 + b)
50(8 + b) = 8a + 800
400 + 50b = 8a + 800
b = 0,16a  + 8

Vul deze tweede in voor b in de bovenste vergelijking:
240 + 60(0,16a + 8) = 4a + 800
240 + 9,6a + 480 = 4a + 800
5,6a  = 80
a = 14,3

Dan is b = 0,16a + 8 = 10,3
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)