Een frequentiepolygoon

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Een frequentiepolygoon heet ook wel een lijndiagram. Het is een andere manier om een tabel met meetgegevens grafisch weer te geven. Zeg maar om er een plaatje van de maken. Het komt er heel eenvoudig eigenlijk op neer dat je de middens van de staven van een histogram met elkaar verbindt. Kijk maar hoe dat in zijn werk gaat:

Er zijn deze keer maar twee dingen waar je op moet letten:
1. Kijk goed wat het klassenmidden is!
  Als je een histogram hebt, dan zie je makkelijk wat de klassenmiddens zijn, namelijk gewoon de middens van de staven. Maar als je uit een tabel direct een frequentiepolygoon wilt tekenen moet je soms goed uitkijken.
Dat zit hem weer in de klassenindelingen en klassengrenzen. Neem bijvoorbeeld de volgende frequentietabel:
   
 
meting 3 - 5 6 - 8 9 - 11 12 - 14 15 - 17 18 - 20
aantal 6 10 15 18 12 7
   
  De klassen zijn 3-5 en 6-8 enz.  Dat doet je natuurlijk vermoeden dat de klassenmiddens gelijk zijn aan  4, 7, 10, ...
Maar dat hoeft niet!
Dat komt door die dubbelzinnige aanduiding van de klassengrenzen. Waar ligt bijvoorbeeld de meting 5,6?  Als de metingen worden afgerond, dan ligt hij in klasse 6-8  maar als de metingen worden afgekapt ligt hij in klasse 3-5.
En dat heeft wel gevolgen voor de klassenmiddens!
   Bij afronden zijn de klassen eigenlijk [2.5, 5.5〉 en [5.5, 8.5〉 en [8.5, 11.5〉
en dan zijn de middens gelijk aan  4, 7, 10, enz.
   Bij afkappen zijn de klassen eigenlijk
[3, 6〉 en [6, 9〉 en [9, 12〉 
en dan zijn de middens gelijk aan 4.5, 7.5, 10.5
, enz
Dat laatste zou bijvoorbeeld het geval zijn als het om de leeftijden van jongeren zou gaan; dan zijn de gemeten getallen afgekapt!
   
2. Maak de totale oppervlakte 100%
Als je bij een histogram de breedte van de staven gelijk stelt aan 1, dan is de totale oppervlakte altijd gelijk aan het totale aantal metingen. Dat is logisch, immers om het totaal aantal metingen te vinden tel je gewoon alle frequenties bij elkaar op. Deze eigenschap van een histogram vinden wiskundigen erg plezierig. Als ik als wiskundeleraar bijvoorbeeld een histogram heb van de cijfers van mijn klas op het laatste proefwerk, dan kan ik in n oogopslag ongeveer zien hoeveel procent van de klas onvoldoende heeft: dat is namelijk in de middelste figuur hieronder hoeveelste deel de rode oppervlakte is van het totaal (zal zo'n 25% zijn schat ik).

  Maar in de rechterfiguur "zweeft die polygoon en is er niet  een totale oppervlakte te geven die 100% weergeeft. Je kunt niet van de uiteinden recht omlaag gaan, want dan mis je de twee helften van de buitenste staven.
Om dat probleem  te verhelpen tekenen we in gedachten naast het histogram aan beide kanten een staaf met hoogte NUL en verbinden de middens daarvan k met het polygoon. Linksonder zie je dat nu de totale oppervlakte onder het polygoon gelijk is aan de totale oppervlakte onder het histogram. In het midden zie je het eindresultaat.
 

Nu is in de middelste figuur de totale oppervlakte 100% en kun je in de rechterfiguur proberen te schatten hoeveel procent van de klas onvoldoende had, net als in het histogram.
   
Voor- en nadelen van het frequentiepolygoon.
   

voordelen:
Het continue zijn van een verdeling komt beter tot uitdrukking. De overgang tussen twee klassen is niet zo abrupt als bij een histogram. Om deze reden wordt een frequentiepolygoon soms zelfs als een vloeiende lijn getekend. In dat geval heet het een frequentiecurve.
Je kunt makkelijk meerdere polygonen bij elkaar in n figuur tekenen. Bij histogrammen moet je ze dan naast elkaar tekenen en dat is een stuk minder overzichtelijk.
   
nadelen:
De klassengrenzen zijn minder duidelijk af te lezen.
     
   

   

frequentiedichtheid

   

statplot TI-83

   
1. Hieronder staat een tabel met de wachttijden van mensen bij een loket. Teken daarvan een frequentiepolygoon.
         
 
45 67 105 134 156 84 158 146 203 99
180 20 113 91 118 176 140 178 210 135
23 124 186 101 216 86 189 149 95 249
184 110 197 36 109 190 75 146 133 245
160 53 151 67 64 175 138 48 145 214
233 132 66 111 163 206 126 188 71 122
         
2. In de figuur hieronder zie je twee frequentiepolygonen in n figuur.
         
 

         
  Op de x-as staat de hoeveelheid zakgeld die kinderen krijgen en op de y-as het aantal kinderen. Er is verschil gemaakt tussen jongens en meisjes.
         
  a. Van welke klassenindeling is gebruikt gemaakt?
         
  Er zijn 135 meisjes ondervraagd en 105 jongens.
         
  b. Hoe volgt dat uit deze figuur?
     
  c. Maak een schatting voor het percentage jongens dat minder dan  5,00 zakgeld krijgt.
     
  d. Iemand beweert: De grafiek van de jongens ligt bijna overal onder die van de meisjes, dus de jongens krijgen minder zakgeld. Leg uit waarom deze bewering onzin is.
     
  e. Maak twee nieuwe frequentiepolygonen met deze keer de frequenties in procenten. Probeer daaruit iets op te merken over welk van beide groepen meer of minder zakgeld dan de ander krijgt.
         
3. Bij een verkeerstelling is geteld hoeveel  fietsers een kruispunt per minuut passeerden, en dat leverde de volgende tabel op:
         
 
aantal fietsers per minuut 7 8 9 10 11 12
frequentie 12 24 14 10 6 3
         
  a. Teken een frequentiepolygoon bij deze tabel
         
  b. Hoe lang duurde de verkeerstelling?
     

69 minuten

       
     

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)